1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Гц ~/ Л, (14') Аффинные названия нсвырожденных квадрик: эллипсоид И12), в = и, рис. 13), гиперболоид Я12), 0 < в < г = п, рис. 14, 15), эллиптпческий параболоид ((14), в = п. — 1, рис. 16), гиперболиче- ский параболоид И14), 0 < в < г = п — 1, рис.
17), переносятся на евклидовы квадрики, у которых, однако, появляются непрерывные инварианты 1параыетры) — так называемые полуоси а,. Их 1во1в)- инвариантность есть следствие 1во(К)-инвариантности величин Л„ ьое, р, установленной в теореме 3 из 3 1. С аффинной точки зрения, например,все эллипсоиды эквивалентны при данном и "единичной сфере'.
С евклидовой же точки зрения даже у сферы имеется свой инвариант ее радиус Л = аг =... = ап (эллипсоид с равными по- луосями). Эллипсоид с полуосями аг > аг » ... а„> О, очевидно, можно считать вписанным в сферу радиуса аы поскольку расстояние ° Э, ".'Э г--сг-к Р-- ЙГг +*1. хг хп 1 з я г з 1 = —. +... + —," > —. (х~ +... + хй)., оз ''' аг ае з п г 234 Гл. 5.
Квядряки т е. х~+... +х~ ( ие1ы причем равенство достигается в точке 1а1, О,... ...., О). Аналогично, а„радиус сферы, вписанной в эллипсоид. В случае гиперболоида полуоси а,х1,..., а„называются мни имли полуосями. Эта терминология отражает тот факт, что в сечении гиперболоида плоскостью х1 — — ... — — х„= О нет вещественных точек. Вообще, исследование квадрик при помощи сечений обычный геометрический прием, .вносящий элемент наглядности в многомерную картину. Ряс. 16 уг Е Кеадрикп е ай)финном и ееклидоеом проглпронсьчеах 235 Сечения эллипсоида гиперплоскостями х; = соп81 ( аг дадут снова эллипсоиды в пространстве размерности и — 1. Сечения гиперболоидов отличаются большим разнообразием.
Гиперболу х171а1 — хгг/а' = 1 при и = 2, двуполостный и однополостный ги- перболоиды ,г ,г г з хг 1 2 3 — + — — —.=1 а2 а2 а2 ' а2 а2 аг г 3 1 2 3 при п = 3 мы можем изобразить на чертеже 1рис. 14, 15). Гиперболоиды трех различных типов при п = 4 сводятся к ним и к эллипсоидам при помощи сечений. Так, например, двуполостный гиперболоид ,.2 2 2 ,.2 2 3 4 аг аг аг аг 1 2 3 4 встречающийся в теории относительности, состоит из двух связных компонент, расположенных в полупространствах х1 > а1 и х1 ( а1. Его сечения гиперплоскостями х; = соп81, 1 > 1, являются обычными двуполостными гиперболоидами, а сечение гиперплоскостью х1 = сопзс, ~х1~ > аь, дает эллипсоид.
Столь же многообразно семейство параболоидов. Мы не останавливаемся подробно ни на их анализе, ни на анализе конусов и цилиндров (эллиптических, гиперболических, параболических). УПРАЖНЕНИЯ 1. Убедиться, что з аффинном пространстне А размерности 3 над Е любая кзадрика может быть задана з надлежащей системе координат одним из следующих уразнений: 2. Пусгь У киадрика з енклидоиом точечном пространстзе Е . Если се уразнением н ортонормирозанном репере 1о;ег,...,е„) будет Л,х~ ф 2 2 р,х, + ро = О, =1 ,=1 то говорят о репере слоеных напраелсния кзадрики Е 1зспомним о "главных осях" кзадратичной формы). Найти главные напрааления кзадрик: а) 2хг 4- уг — 322 -~- 12ху -~- 4хг -~- 8уг 4- 18 = О.
б) 622 -'; 5уг -~- 722 ф 4ху — 4хз — 8х — 103 -~- 142 — 6 = О. 1) 2 г г 4) хг — хг = 2хз:, 7) .24,8 .2 О. 10) х', ф х, '= 1; 13) г .г .О; 16) х-,' -~- 1 = 0 2) .24 х2 .2 5) 21 4- хг = 2хз; 8) тг+ хг ф хгз — — 0; 11):сг =- 2хг; 14) хг — 1 =- О; 17) х-' = О. 3) лч хг .г 5) лг4 хг+тг = — 1 2) хг1 ф хг г— — — 1; 12):сг — хг =- 1; 15) хг-1-х2 =0=0; 1 2 Гл. 5. Кепдрики 236 3. Упражнению З.З.З на экс гремальныс значения вещественной кеадратичной форьгы д(х) можно придать больший геометрический смыка Напомним, что речь идет о значенилх фи) при )(ъ)! =- 1., или, что то же самое, о значениях г??еУД» )з. Убедиться етом,что шах ф(и) =- ппп ~(ъ'), 1~=э И 1 (аналогично при перемене местами шзх и шш). Пусть, скажем, и = 2 и 4(к) = ох- Е 2бхр Е ту = 1 уравнение эллипса.
Если Л„? = 1,2, корни характеристического многочлепа Лз — (ел 4- у)Лф (о? — бз) = О и (х„у,) -. соотеетстаующие точки экстремума, то х~ -~- рз = 1?'Л,, т.е. один из корней отвечает квадрату миниюльного (а второй максимального) расстояния ог начала координат до эллипса. Заодно получаются услоаие перпендикуллрности главных осей (папраплений) эллипса и формула х/~/а~ — бз длл площади эллипса (обоснозать|). 4. При каких значенилх параметра Зкзадрика х1 -~-хз -~-хз -~- 2зхгхз 4- 21х1хз 4- 2?хзхз — 41 = О леллетсл .эллипсоидам? 5. Найти аффинный тип кривой, лзллюшейсл пересечением кеадрики хз1 4 бхз з-1- хз з-~- 2хгхе -1- 2хзхз -~- бх~ хз — 2хг -' бхз Ь 2хз = О и плоскости 2хг — хз -~- хз = О. б.
Когда деа гиперболоида имеют общий асимптотический конус? 7. Какую кеадрику напоминает башне П!ухоза е Москее? 2 З.Проектнвные пространства Развитие проективной геометрии, особенно в первой половине Х1Х века, оказало существенное влияние на всю математику. Мы кОснЁмся лишь немногих фактов, относящихся к ней, отсылая за подробностями к учебному пособию ~2) и к специальной литературе. 1. Модели проективной плоскости.
В аффинной плоскости над полем й любые две точки лежат на единственной прямой, а любые две непараллельные прямые пересекаются в единственной точке. Напомним из курса аналитической геометрии построение проективной плоскости Рз = ЯРз, в которой: 1) любые две различные точки лежат на единственной прямой; й) любые две различные прямые пересекаются в единственной точке. Для построения Рз начнем с произвольного трехмерного векторного пространства 1У над Я и определим Рз = Р(Р), считая точкой р Е Р(Ъ') одномерное векторное подпространство (пряглую) в 1?, а прямой й С Р1Р) -- двумерное векторное подпространство в Г. Точка р лежит на проективной прямой Ь (или инцидентна с 1,), когда аффинное подпространство р содержится в А. Свойство инцидентности 1), очевидно, выполнено: если р ~ д точки, то они же являются различными прямыми в Р, так что их суммой будет двумерное подпространство Л, т.е.
прямал в Р(1д), причем единственная у ок Провктнвныв пространства 237 прямая, содержащая р и 9. Далее, две различные проективные прямые Х, и ЛХ суть различные двумерные подпространства в 1', так что их суммой А+ ЛХ в Г должно быть все пространство К, Поэтому по формуле (7) из 2 2 гл. 1 имеем Жш(Х П ЛХ) = с1цп Х + с11ш ЛХ вЂ” йп11Х + ЛХ) = 2 + 2 — 3 = 1. Это означает, что Х, П ЛХ вЂ” — одномерное аффинное подпространство, т.е, единственная точка р Е Р(1'), в которой пересекаются проективные прямые Х, и ЛХ.
Свойство инцидентности й), таким образом, тоже выполнено. Выше была приведена одна из реализаций просктивной плоскости, близкая к тому, что принято называть связкой в аффинном пространстве. Мы добьемся известной наглядности в изображении проективной плоскости, используя также следующую модель. Рнс. 1З Рвс. 18 Пусть й = К .. поле вещественных чисел. В евклидовом пространстве К = Р1~ берется двумерная сфера Яа: та+да+с =1. Каждая прямая, проходящая через начало о в с1в, пересекает единичную сферу в двух диаметрально противоположных точках, а каждая плоскость, содержащая о, пересекает сферу по большой окружности. В проективном пространстве ЯР за точку можно брать пару а (с, Р) диаметрально противоположных точек (рис. 13), а за прямую большу.ю окружность на Я-', считая, что точка р = (1, Р) лежит на прямой Х., когда большая окру жность Х, проходит через 1 и Р, Совершенно очевидно, что две различные большие окружности пересекают Яа точно в одной паре (с, Р) диаметрально противоположных точек.
Свойства инцидентности 1), й) выполнены. Можно ограничиться рассмотрением нижней полусферы 5~, состоящей из всех точек (и, д, с) в йв с яз + рз + са = 1, с ( О (рис. 19). Ее границей является экватор Я~ С Яз с уравнением ла + уа = 1 и с .= О. Одна из диаметрально противоположных точек сферы Я~ 238 Гл. 5. Квадриии должна лежать на Я~, а обе только в том случае, когда они будут диаметрально противоположными точками экватора 5~. Итак, точка р Е ИР есть точка полусферы Я при условии, что диаметрально противоположные точки ее экватора отождествллются. Прямой А в ЯРэ считается пересечение с Яэ любой большой окружности на Яэ. В частности, сам экватор Я с отождествленными противоположными 1 точками является прямой в ЯР .
Рассмотрим аффннную плоскость П, касательную к полусфере о~ в ее южном полюсе (0,0, — Ц, и спроектируем полусферу из начальной точки о на П. Это значит, что точке 1 Е 5~ '1 51 ставится в соответствие точка 1' Е П, лежащая на прямой, соединяя>щей о и 1. Очевидно, что проекция ,1. 52 ~ 51 > П является взаимно однозначным отображением. Каждой прямой на ЯРз, т.е.
дуге большой окружности на Я-', отображение я ставит в соответствие прямую на П. Отображение и ~ переводит точки в точки, сохранял инцидентность. Образом и ' будет множество всех точек в Ес-', за исключением точек прямой Во, представзенной экватором о1 полусферы 52 . Таким образом, проективная плоскость может быть получена из аффинной плоскости добавлением всех точек некоторой новой проективной прямой Ьв, называемой бесконечно удаленной прямой. Любое множество параллельных прямых на аффинной плоскости отображается прн и ' на множество дут больших окружностей на Я-, проходящих через концы некоторого диаметра экватора У.
При этом определяется пара (1, 1') диаметрально противоположных точек экватора, т.е., по соглашению., одна точка на Ьо. Стало быть, добавление бесконечно удаленной прямой к аффннной плоскости есть добавление точек пересечения всех тех пар параллельных прямых, которые не пересекаются в П. Следует заметить, что бесконечно удаленная прямая Ев не является аффинной прямой. В отличие от проективной плоскости, проективная прямая ЯР изображается точками окружности (одномерной сферы) без отождествления диаметрально противоположных точек. В самом деле, ИР~ есть пучок прямых, проходящих через фиксированную точку О о обычной плоскости (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
