1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Тем не менее проективная геометрия относится к числу весьма содержательных и крайне необходимых геометрий. Чуть позднее мы остановимся на одном важном проективном свойстве четырех коллинеарных точек, а пока отметим ряд свойств проективной группы РСЦ1х). 1) Согласно замечанию, сделанному после формул (8), группа РСИЯ содержит в качестве подгруппы аффинную группу А11(во), действующую на аффинной нарте Жо (а также группы А11(Е,), 1= 1,2,...,п).
2) Будем говориггп что точки хо,хы,,,,хпе~ п-мерного проективного пространства Р(Ъ') находятся в общем положении, если никакие и + 1 из них не лежат в одной гиперплоскости. Другими словами, любые а+ 1 векторов хо,хы ..., х ы хвьы ..., х +~ линейно независимы. Теорема 3. Пусгпь хо, хы ..., х„нг и уо, уы ..., у„+г — — две системы точен в Р(Ъ'), находящихся в общем положении.
Тогда существует, и притом единственное, проективное преобразование А Е РС1~Ъ~), длл которого Ах, = у,, 1 = О, 1,..., и+ 1. Доказательство. Согласно определению (хг, ха,; хо+~ ) = 1 = (у~ ~ ую уп ~-г), поэтому существует невырожденный линейный оператор А', для которого А'х, = у„1 < 1 < и + 1. (10) На первый взгляд, не остается никакого произвола для отыскания 248 Гл.
5. Квадрггки А. Но условие Ах! = у; в терминах векторов хо у; Е Г приобретает вид Ах! = Л уо Л! ~ О, 0 < ! < и+ 1. Так как Л 1А = А, то нормируем А условиеь! Ло = 1. Определим теперь линейный оператор В: Ву, = Л,У„1 < ! < п + 1, (11) и, пользуясь тем, что скаляры Л, находятся в нашем распоряжении, подберем их так,чтобы выполнялось условие В-4'хо = уо. (12) Из определения системы точек в общем положении следует, что влы и', -! =,) !хо у =,~ и!у, (13) г=1 г=.1 причем все коэффициенты о„!1! отличны от нуля. В соответствии с (10) имеем гг-!-1 п-Ь! я-1-1 и -1- 1 ЕА хо = В(~ огА хг) = В(Х~г огу г = ~' огВу! = ~ о!Лгу! г=1 г=1 г=1 г=1 Ввиду (13) нам остается положить о,Л, = г о 1 < ! < и+ 1, чтобы УдовлетвоРить Условию (12).
СкалЯРы Л, = !1,. ~11!, а вместе с ними и преобразования (11) полностью опредеяены. Положив теперь А=НА', мы получим однозначно определенный линейный оператор, которому соответствует проективное преобразование А с требуемыми свойствами. ь.! Ясно, что теорема 3 аналог теоремы 8 из З 3 гл. 4, относящейся к аффинным преобразованиям. СлеДствие. Любые две тРойки хо, х1, хг и Уо, Угг Уз попаРно различных точек на проективной прямой Р однозначно определяют проективное преобразование Р' — > Р1, переводяи!ее соответственно х, вуо1=0,1,2.
Это утверждение означает между прочим, что свойство точки лежать между двумя другими точками не является проективным. Из теоремы следует также (утверждение о единственности А), что не всякую четверку точек на прямой можно перевести в заданную. 3) Пусть Р(Г), Р(И') . - две т-мерные плоскости в Р(И). Тогда они РСБ(гг)-конгрузнтны, т.е, ит можно перевести д'руг в друга проективным преобразованием. В самом деле, пусть Г = (Пагцг,...,и„,), 9 8. Лроектпвные пространства 249 Дополним 1по;...,и ) до базиса (но;...,и„„ ...,н„), (все, ...,но,) до базиса (зво,...,зко„ ...,зч„) пространства Р и рассмотрим линейный оператор А; 1" -у 'о', для которого Ан; = и и з = О, 1,...,и.
Тогда Айз = й;, А2 зспнз = А(2,о;н,) = 2,о;тип так что А(Р(П)) = Р(И'). 4) Всякое проективное преобразование.0 плоскости Р(Г) с Р(Ъ') може|п бьппь продолжено до проективного преобразования всего пространства Р(Ъ'). В самом деле, вместе с по, цм ..., и векторы 'Оно, 'Рны ... ..., 'Внт также образуют базис подпространства Г С Ъ'.
Пу.сть (но,...,понцте„...,н„), (Вне,...,Юн „,зя,оеы...,зко) — базисы в Р, получающиеся дополнением указанных базисов в Г. Полагая Ан,='Вп„О<г<т, (ам аз) = (аы аз) = Г = (аг, аз) = (аг, аз). Обозначим через (а, Ь) о,д (14) определитель матрицы перехода от базиса (с, с1) двумерного векторного пространства к другому его базису (а, Ь): а = ос +,Зе1, Ъ = Тс + бс1. В силу условий, наложенных на точки а„можно образовать выраже- ние (15) Опредоление 6. Выражение (15) называется двойным отношение.н четырех то зек аы аг, аз, вл.
Следует, конечно, убедиться, что ~аз, аг, аз, аз) зависит только от точек а,, а не от выбора векторов а, (вспомниьц что Ла, = а,), т.е. оно не меняется при замене а, на Л,а,. Ан,=ио т+1(з<зц мы получим линейный оператор А: Ъ' -в Г, которому соответствует проективное преобразование А: Р(Р) — у Р(Р'), совпадающее с В на РЮ.
8. Двойное отношение. Пусть Р" = Р(1') --. проективное пространство и аы аг, аз, ав четыре точки из Р(ь'), лежащие на прямой Р = Р(Г),причем аз ф аз, аз ф аз, аг ф аз, аг ~ а4. Это значит, что 250 ! л. д. Квадрини Действительно, заменил| а| на Ь| — — Ла!.
Если а| = а|, аз = ча! + да», то Ь! = Ь|,аз = уЛ |Ъ| + ба»,и поэтому (а| а») у б уЛ | д (Ь| а»)' Множитель при этом, очевидно, тоже не меняется. Так же обстоит дело при замене аг на Лаг. Заменим теперь а» на Ь» = Ла». Если а| = а|, аз — — уа! + ба», аг = аг, аз = "/аг + б'а», то а| =а|, аг =аз, аз = ча! + бЛ |Ь,|, аз = у'аг + б'Л |Ь», и поэтому у' б Л ' (аг,а») (а! а») 7 б (а,а) 1 О аг, а» у' д' Отношение в правой части (15) при этом не меняется.
Так же обстоит дело при замене аз на Лаз. Одновременная замена а; на Ла, сводится к последоватт аьной замене одного из них, поэтому двойное отношение четырех точек корректно определено формулой (15). Теорема 4. Двойное отношение не л»еняется нри ароективно|а преобразовании.
т.е. то (Аа, АЬ) = Г = (Ас, А|1), а соотношениям, связывающим базисы (а, Ь) и (с, »1) ! а = ос+)3»1, Ь = ус+ б|1, соответствуют ровно такие же соотношения в плоскости Г: Аа = оАс+ ДА»1, АЬ = уАс+ бА»1. [Аа|,Ааг,Ааз,Аа»] = [а|,аг,аз,а»] (1б) для любого А Е РСЦ1'). Доказательство. Пусгь А Е С! (е'), 5| — двумерное векторное подпространство в 1', Г = А(5|). В салу невырожденности А любые два линейно независимых вектора перейдут под действием А в линейно независимые. Если теперь (а, Ь) = 5| = (с, |1), у у. Лроектаазньм пространства 251 Это значит, что (а Ь) а Уз (Аа АЬ) Стало быть, в применении к нашей ситуации имеем [Ааа,Ааз, Ааз,Ааа~ = [Ааа,Ааз,Ааз Ааа) = (.4аз,.даз ) (.Ааз,.4аз ) -' ( аз, аз ) (аз, аз ) = [аз, .аз, аз, аа).
П а; = [аз: А), [17) з = 1,2,3,4. Смысл [17) ясен из общего определения однородных координат в про- ективном пространстве. Если аз = аз, аз = уаа + баа, то [18) Кроме того, из соотношения азе+ с3за = ~[азе+ ууаГ) + б[аае+ ууаГ) получаем аз = уаз + даа, )уз = 'уА + бА. Поэтому =б баа дА аа А аз А аа А аз )Уз Тсса + баа 'уА + бА что в сочетании с [18) дает — 1 аа А аа А (,)= аз, аз ') аз уза аз,аа/ аз А Аналогично — 1 аз ууз аа А (аз, аз ) аз уаз аз, аа сцз,Зз Таким образом, по определении> [6) двойного отношения имеем Д оз аз,'3з аа А [ас,аз,аз,аа) = [19) аз А аз узз 9.
Выражения двойного отношения в координатах. ВвеДем на пРЯмой Р[1У) с точками аз, аз аз, аа, ДлЯ котоРых можно задать двойное отношение, некоторую однородную систему координат. Именно, пусть сУ = [е, Г) и а, = а,е+ АГ, а = 1, 2,3,4. Тогда 252 Гл. 5. Квадрики Если сз, ф О, 1 < 1 < 4, и хз =,31/а4, то из (19) следует 1 х1 1 хз 1 хг 1 хл [а1,аг,аз,ал[ = 1 х1 1 хл 1 хг 1 хз т.е. (хз — х1)(хл — хг) [а1 аг аз а4[— (хл — х1)(хз — хг) Выражение (20) или эквивалентное ему выражение (20) ХЗ Х1 Х4 Х [а„аг,аз,ал[ = хг хз хг у4 можно брать в качестве определения двойного отношения, но это не очень удобно, потому что формально оно зависит от выбора аффинной карты (усговие а, ~ О, 1 < 4 < 4), в то время как выражение, стоящее в правой части равенства (19), имеет смысл и в том случае, когда одна из точек а, является несобственной (бесконечно удаленной). Если за бесконечно удаленную точку по отношению к карте Уе выбрана точка а4 = (О: 1), то из (19) получаем [а1, аг, аз, йл [ = хз — хг Если, сверх того, выбрать аз за начало координат (1: 0), .а а за единичную точку (1: 1), то хз — — О,хг = 1 и [аг,аг,аз,ал) = х1.
(21) Это не что нное как координата точки а1 в системе координат, в которой ал — бесконечно удаленная,аз — нулевая и аг †единичн точки. Полезно и такое рассуждение. Будем выбирать не точки, а однороднукз систему координат на Р' = Р(Г). Пусть аз,аг,аз три фиксированные точки прямой Р', а1 ~ аг. Положим е = иа1, Г = раг, где скаляры р, р таковы, что аз = е+Е Тогда а1 = (1: 0), аг = (О: 1), аз — — (1; 1). Если теперь а4 — — (а 1 3) --- произвольная точка на Р, то по формуле (19), где следует положить а1 — — 1, (11 = 0; ог — — О, 422 — — 1, оз = 1, находим [аз.,аг,аз,ал) = а/21. Мы видим, что отношение однородных координат 41,,3, задающее точку а4, само однозначно определяется двойным отношением [а1, аг, аз, ал[. Таким образол4, справедлива у у. Лросктнвныс прес|иронси|ее 253 Доказательство. Необходимостьусловия (22) спедуетиз (16), коль скоро Ь, = Аа|.
Пусть теперь выполнено условие (22). Согласно свойству 3) про- ективной группы, найдется проективное преобразование Й: Р1'г') — 4 -+ Р!И), переводящее прямую Р(!7), на которой лежат точки а„в прямую Р(И'), на которой лежат точки Ь, Согласно следствию тео- ремы 3 существует проективное преобразование В прлмой Р(И'), переводящее Ва, в Ь,, 4 = 1,2,3. Используя свойство 4) проектив- ной группы, продолжим '0 до просктивного преобразования А| всего пространства Р(1г). Преобразование А = А|Й переводит точки а, в точки Ь„| = 1, 2, 3, соответственно, а точку а| в некоторую точку с4 на прямой Р1Иг). По теореме 4 имеем ~а|,а|,аз,ал] = ~Ь1,Ь2,Ь|,с4], что с учетом (22) дает [Ъ1 Ь2.,Ьз,Ь4] = !Ьг>Ь2~Ьч,ся].
Из теоремы 5 следует, что ся = Ь4. П УНРА|КНЕНИЯ 1. В основе знаменитого кодо Хзмяннго Н длины 7 лежит конфигурация из семи точек и семи прямых проективной плоскости Р|Р| (7 = 2| 4- 2 4- 1). Эта конфигурация схематично изображена на рис. 21. В каждой строке матрицы инцидентностн,1 стоят потри единицы: они отвечают трем точкам на одной прямой. Каждая строка служит также кодовым словом в П веса 3. Кодовые слова веса 4 составля|от матрицу Х: О 1 1 О 1 О О 1 1 О О О О 1 1 1 О О О 1 О 1 О О О 1 О 1 О О 1 1 О 1 О О О 1 О О 1 О; 1 1 О 1 О О 1 О О 1 О 1 1 1 1 О О 1 О 1 1 1 О О 1 О Х= 1 О 1 1 1 О О О 1 О 1 1 1 О О О 1 О 1 1 1 Теорема 5. При трех попарно различных фиксированных точках а|, а|, аз просктивной прямой Р' всякая чсо|верп|ая точка ая Е Р однозначно задается двойным отнои|ением !а|, ах, аз, ал].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
