1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Действительно, предположив существование линейной зависимости с какими-то коэффициентами Л" " .б Я и обращаясь с левой частью и .. Зл этого равенства, как с тензором Т, выше, мы немедленно приходим к выводу, что Л~„' ~' = О. Размерность пространства 7"'з равна числу различных базисных вокторов (9). Она совпадает, следовательно, с числом по+в всевозможных наборов индексов 1ы...,1юуы..., 1ю каждый из которых независимо от других пробегает значения от 1 до и. Из соображений наглядности координаты (8) тензора Т следовало бы размешать в виде пространственной кубической таблицы. Размерность куба равна валентности тензора Т. Привычные нам строки, столбцы, квадратные матрицы будут частными случаями таких (р+ у)-мерных таблиц.
Резюмируем сказанное в виде следующего утверждения. Тоорема 1. Тензоры на И типа (р,у) составляют векторное пространшпво Т„"(Г) размерности прав с базиснымп векторами е" З... Зе'" Зе, З... Зе где (ем...,е„) базис пространства Г, а (е',...,ен) дуальнмн1 базис пространства 1'*. Суи1ествует, и притом только один, тензор с наперед заданными координатами Т," ";~'. 266 Гл. 6. Тензорм еь — — ~ аь е„1г = 1,..., и. (13) Обозначив через В = (о') матрицу, транспонированную к матрице перехода от (е') к (е' ), мы должны писать е = ~Ь;е' (14) в точном соответствии с правилом суммирования по "разноэтаж- ным" одинаково обозначаемым индексам. Введем вспомогательную матрицу В ' = С = (с'): е =~с;е т Используя свойство (7) дуальных базисов, находим с = (~ с, е, е'.) = (е, е'.) = (е, ~ а'.е,) = а .
Стало быть, С = А и е =~а,е 1 Далее, В = А ', и мы видим, что матрицей перехода от (е') к (е' ) является 'В = '(А 1) = '.4 ' матрица, которую называют нонтраградиентной к А. Найдем теперь координаты Т' ~,' 'и нашего тензора Т в базисе е' З...Зе 'Зе, З...Зе Зч По определению (см. (8)) Итак, справедлива 4. Тензоры в разных системах координат.
Нам нужно получить правило изменения координат тензора при переходе к новому базису. Пусть (е',,..., е'„) - - какой-то другой базис пространства 1', (е',..., е'") — дуальный к нему базис пространства 1" и А = (а' ) —. матрица перехода от (е,) к (е';). Элементы а' матрицы А обозначены так, что верхний индекс указывает номер строки, а нижний номер столбца. В этих обозначениях у 1. Начала тензорного исчисления 267 Т ' — 5 РТ , а,"',.
гг .лр Х л гг .лр г', л'„ (15) Говорят, что в формуле (15) матрица .4 = (а,') действутп на верхние индексы координат тензора, а матрица В = (Ь') = А на нижние индексы. Определение тензора, данное в самом начале, можно теперь высказать иначе,назвав тензором на балтина (ргй) соответствие Т, относящее каждому базису пространства 1' систему из тат" скаляров Т„'л~' (внизу стоят р ковариантных индексов, вверху г7 контравариантных индексов) таким образом, что системы, отвечающие различным базисам, связаны между собой соотношениями (15). Действия над тснзорами, сформулированные на языке полилинейных форм, легко описать и на координатном уровне. Скажем, если Я и Т два тензора одинакового типа, то их линейной комбинацией оЯ +,ВТ называется тензор с координатами о У' " .-Р Д Т." '.". гг Лр г г...
гр Произведением тензоров 1ь)~,'" ~г) и (Л~г"'~1 ) любых типов будет тензор с координатами Ту " у 1 " 1 лзг" з о1 Ьг..а ггг ° лр Ьг Я (16) Это определение на самом деле от выбора базиса не зависит, поскольку применение к левой части (16) преобразования (15) сводится к перераспределению величин а~, 5'г между множителями Я и Й в правой части. Пример Хь Рассмотрим линейный оператор и на Н, Ьйы видели (сы. пример 1), что р можно интерпретировать как тензор типа (1, Ц.
Это согласуется И С МатрИЧНЫМИ ОООЗиаЧЕПИяМИ. ЕСЛИ 1' = (Ег,...,Еп) И Л-ЕЬ = Х, 1СЕ„тО В случае перехода к новому базису по формулам еь .—.— 2 оуе„ ед =- ~ Ьье'„) Ььо~ = Ьь~ будем иметь Е рьье' = теь — ~ огре, = и оууге. = ~ о' угь" е' Отсюда 1 г, —— 2 о)угб", 117) Теорема 2. При переходе от дуальных базисов (ез), 1е1) пространспгв к' и 1'* к новым дуальным базисам гпех же пространств гго формулам (13) и (14) координаты твнзора Т типа (р,г7) преобразуютпся по формулам 268 Гл.
б'. Тгнзоры как э го и должно быть для теизора и = 1Т), один раз кевариаитиего и один раз ! кеитравариаитвоге. Формула Оу) в иных обозначениях вам уже встречаласж нри выражении матрицы линейного оператора в различных базисах. Тензоры в физике и математике рассматриваются большей частью как гсометрические объекты [наборгя величин) произвольной природы, подчиняющиеся правилу преобразования [15). Для физики, кроме того, важны не сами тензоры, а тензорные поля [тензор кривизны, тензор гравитационного поля и пр.). Коротко говоря, под тензорньлж полем понимается отображение пространства Г в множество всех тензоров данного типа на 1'.
Подробности см. в [2, ч. 4, з 8). 5. Тензорное произведение пространств. Операция тензорного произведения тензоров допускает естественное обобщение,находящее многочисленные применения в дифференциальной геометрии, теории прсдставцений групп,и н мателсатичегкой физике. Не стремясь к максимальной общности, необходимость в которой у нас вряд ли возникнет [а если так, то зачем вводить ее заблаговременноу), ограничимся достаточно интересной конструкцией тензорного произведения векторных пространств. Эта конструкция найдет применение в [ВА П1).
Теорема 3. Пусть Г, И' -- векторные пространства над полем Я. Тогда существуюпс векторное пространство Т над й и билинейное отображение т: Г х И' — л Т, удовлетворяющее условиям: [ТЦ если чы...,че Е Г линейно независижьс и им...,иь Е И', то 2,. т[чби,) = О ==у лчс = О, ..., лчь = О; [Т2) $ если лч1,...,иь Е И' линейно независимы и ч,,...,чь Е 1', то 2',т[ч„чс,) =О==ьчл =О, ..., чя =О: [ТЗ) т — сюръективное отображение, т.е. Т = [т[ч, ис) [ ч б 1', чч б И')и. Кроме того, пара [т,Т) универсальна в спож смысле, чпсо какова бьл ни была пара [т',Т'), сосгнолщал из векплорного пространства Т' и билинейного отображения т': Г х И' -+ Т', найдетсл единственное линейное отображение о.: Т е Т', длл которого т~[ч,чч) = = о [с[и, ис)), ч Е Г, и' Е 14'. Доказательство. Ниже дается лишь набросок необходимых рассуждений.
а) Если Г = [еы...,ен)я, И' = [1ы...,Г )я, то [Т1) — [ТЗ) эквивалентны в совокупности единственному. условию: векторы т[ео 1 ), 1 ( л ( и, 1 ( у ( тч состааяяют базис пространства Т. б) Для любого пт-мерного пространства Т над зс отображение т с ч = 2 ', оиеб чч = 2, СЗз11 можно определить соотношением т[ч, чч) = ~ орЗ'1' ', у и Начала тензарнага исчисления 269 где (ФО ~ 1 < 1 < и, 1 < у < ти) .. базис в Т. Согласно а) пара (г,Т) удовлетворяет условиям (Т1) — (ТЗ), и все пары получаются таким способом. в) 7)ля всякой пары (г', Т') с билинейным отображением т': 1'х х И' — ~ Т' определим линейное отображение о: Т вЂ” а Т', полагая п(2 У, со) = ~"-~,;;г'(еоГ ), 7, Е й.
Согласно а) и б) т'(ч,зч) 2,'о,7ут'(е„гу) = п(2 о,Я1„) = а(г(ч,ча)). Обратно: если о(т(ч, чл)) = т'(ч, чл), то о(Ф, ) = п(т(е Ч Г )) = г'(еб Г ). г) Предположив существование двух универсальных пар (т, Т), (т', Т'), мы легко обнаруживаем, что линейные отображения и: Т вЂ” ~ Т', и': Т' — а Т являются на самом деле взаимно обратными изоморфизмами: и' о и = ет, и о и' = ет . Таким образом, Т = Т', причем изоморфизм и: Т -+ Т' обладает свойством, указанным в формулировке теоремы. П Определение 5. Пару (т, Т), однозначно определенную с точностью до изоморфизма по заданным векторным пространствам И, И', называют тензорным произведением этих пространств.
Нетрудно показать, что в системе (Т1) — (ТЗ) можно опустить условие (Т1) ияи (Т2), а при априорном предположении бйщ Т = пт для определения тензорного произведения достаточно оставить одно из трех условий. Записывая Т = 1' Зя Иг или просто И З И', мы должны еще помнить, что векторное пространство Т снабжено билинейным отображением (ч,зч) ~-~ ч З чч декартова произведения И х И' на Т, удовлетворяющим условиям (Т1) (ТЗ). Итак, элементами тензорного произведения Г З Иг служат формальные линейные комбинации с коэффициентами из Я упорядоченных пар ч З чч с ч Е Г, чч Е И". При этом предполагаются выполненными следующие условия: (ч~+ч )йчч — ч1Зчч — чзЗн =О, ч й (ча1+ ччз) — ч Зчч1 — ч Зчч = О.
(18) Лчйча — чйЛв =О, ЛЕЙ, Л(ч йчч) = Лч З» = ч й Лзч. Непосредственно из теоремы 3 видно, что биективные отображения чйчч ~-~ ччЗч, (пйч) Зчч ~-~ пй(чйзч), чЗЛ ~-> Лйч ь+ Лч устанавливают изоморфизмы, называемые каноническими, векторных пространств ИЗИ'= И'З1; ((7 З И) З И' = П З (Г З И'), 1л й й = Я З Г = И (эти изоморфизмы нельзя заменить равенствами).
Выполнены также 270 Глс 6. Теязоры законы дистрибутивности (Г ср И) з И' = (Г з И:) в (1' з И'), Г З (1г З И ) = (Г З И) З (Г З И ) Следующим шагом в рассматриваемой конструкции должен быть синтез пространств и линейных операторов на них. О п р е д ел е н и е 6. Пусть А: И -+ 1', В: И' — 1 И' - линейные операторы. Их тензорныле произведениеге называется линейный опе- ратор А З В: И З Иг — ~ 1г З И, действующий по правилу (А З Н) (ч З 1ч) = Ач З Вче (19) (далее по линейности (АЗ В)(~ (че З и,)) = 2 Ач; З Вне,). Ясно, что это определение согласовано с соотношениями (18).
Например, Проверку их оставляем читателю. Пусть, как прежде, И = (е1,...,е„), И' = (11,...,1,„). Матрицу АЗ В размера пт х пт оператора АЗ В в базисе (е1 ЗГы...,е1 З Г„„...,е„З 11,...,е„З 1' ) мы получим, заметив, что Аее = ~ ае,ее, Н1' = ~ 13у 11, (А З В)(ее З 11) = ~ а11,3угег З 1'у. Стало быть, с А = (ае;), В = (гну ) имеем о11В 1112В о21В а22В ашВ огяВ АЗ В = (ау,дуг) = (20) ошВ а„2В ... а„„В А (ч. + г 2) З В1ч — А ге З В1ч — Ач2 З Ви' = =~ Ачг + Ачг) З Влч — Ачг З Влч — Ачг З Н1ч = О. Поэтому действие АЗВ на 1'ЗИ' задано корректно. Отметим также непосредственно вытекающие из (19) соотношения (А З В) (С З Хг) = АС З ВР., (А+С) ЗН = АЗ В+С ЗН, А З (В+ Р) = А З В+ А З Ю, А З ЛН = ЛА З В = Л(А З В).
у 1. На юяа тенэорного исчисления 271 В частности, имеем формулу для следа сгА 3 В = аггсг В +... + а„осу В = сгА 11 В. (21) Отметим попутно, что с)еб А 3 В = с)еЦ( 4 3 Е )(Е„З В)) = = с)ес(А 3 Ет) . с)е1(Е„З В) = (с)ей А) (с)еС В)", (22) так что невырожденность операторов А и В влечет невырожденность их тензорного произведения А 3 В. Формулы 121) и (22) используются в теории представлений групп. УПРАЖНЕНИЯ 1. Символ Кроггекера. Проверить, что д~ является элементом из 1С'СИ), представляющим гожлественное отображение пространства 1' в себя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
