1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Так как Я З Л Е Т'„'~" (1г), а тензор А1с) З Л) согласно теореме 4 из 2 2 кососимметричен, то формулой (1) задано отображение л: Ле(Г) х Л (Г) -Ф Лет (Г). Чтобы задать внешнее произведение ()' Л Л' любых двух элементов пространства Л(1Т), запишем д'=С д„Л'=~ Л,; аз ЕЛ1Дг), Л, ЕЛ'(Г), 1>О лзв 286 Гл. б. Тензоры и положим д'ЛЛ'= ~ д,ЛЛ,. ьео >о Заметим еще, что если в (1) заменить Л на оЛ + ДТ Е Л'(1'), то 1г А (оЛ + ЛТ) = А((у З ( Л + ДТ)) = А( ег З Л+ т З Т) = = оАЯ З Л) +ДАЯ З Т) = оЯ Л Л) + ДААТ). А(А(О) ЗЛ) = А(ЯЗ 4(Л)) = АЯЗЛ).
Доказательство. Заметим, что по определению АЯ)= —,~суй), лгал в то времл как А(А(О) ЗЛ) = ', ~ е.у.(А(1„у) ЗЛ). аеас~ Опираясь на линейность отображения ельтернирования, получаем А(АЯ) З Л) = —, ~ е А(1 Я) З Л). лен~ (2) Рассмотрим вложение р: 5 -+ Бел.„, понимая под я = ут(я), я Е Яд перестановку из Бете, действующую по правилу )( ят, если 1 < р,. если 1 > р. Тогда 1' (с)) З Л = (яЯ З Л) (см. формулу (11) из з 2) и согласно теореме 4, 3) из е 2 А(т' Я) З Л) = АДЯ З Л) = еиАЯ З Л). Аналогично, (Щ+ ДЛ) А Л = оЯ Л Л) + Д(5 Л Л).
2. Внешняя алгебра векторного пространства. Мы у стано- вили, что операция внешнего умножения билинейна (или дистрибутивна), т.е, она наделяет Л(1т) строением алгебры. Определение 2. Алгебра Л(1') над полем Я называется внетаней алгеброй простлранства 1т (или алгеброй Гроссмана). Алгебра Л(ут) обладает единичным элементом, отождестаяяемым с 1 Е Я. Более важное свойство внешней алгебры заключено в теореме 2 ниже.
Д ем м а. Для любых тилнзоров Я Е То(ут), Л Е То(1') траведливы соотношения ф 8. Внешняя алгебра 287 Заметив еще, что ея = е, мы приведем соотношение (2) к требуе- мому виду А(АЯ) З Л) = — ~ ~ез А(бу Я Л) = А(1,у З Л) няя, поскольку е~ = 1. Соотношение А(Ег З А(Л)) = А(Е„У З Л) доказывается аналогично. П Теорема 2. Внешняя алгебра Л(р') ассоииативнш Доказательство.
Нам нужно убедитьсл в справедливости тождества (РЛ бУ) Л Л = РЛ Я Л Л) (3) для любых Р, ф Л Е Л(Ъ'). В силу билинейности операции Л достаточно рассмотреть случай Р б ЛР(1), О Е Лв(уг), Л Е Л" (1'). Согласно (Ц (Р Л ~)) Л Л = А(А(Р З ф З Л), А(.4(Р Я 41) З Л) = А((Р З ® З Л). а по лемме хЛх=О х1 Л ха Л... Л хр — А(х1 З хз З... З хр). (6) Доказательство.
При р = 2 соотношение (6) совпадает с (4). При р ) 2, используя индукции> по р, на основе леммы и теоремы 2 получаем х1 Л ха Л... Л хр = (х1 Л... Л хр 1) Л хр = А((х| Л... Л х 1) З хр) = = А(А(х1 З... Яхр 1) Зхр) =.4(х1Я...Зхр 1 Яхр). П Опираясь, .далее, на ассоциативность тензорного произведения и снова используя лемму, получим А((Р З О) З Л) = А(~ З (Ц З Л)) = = А(РЗАЯЗЛ)) = РЛ ЯЛЛ).
Все вместе взятое дает нам тождество (3). П В ассоциативной алгебре, как и в группе, безразлична расстановка скобок, поэтому произведение Рц Л Р,, Л... Л Р.,„, имеет смысл. Стоит еще отметить, что в соответствии с (1) 1 х Лу = — (хЯ у — у Зх) = А(х Зу) 2 (4) для любых х, у Е 1' (р = г = 1), так что хЛу= -уЛх, (6) Следствие. Пусть хыхш...,хр произвольные векторы из 'р'. Тогда 288 Гж 6. Тензоры Теорема 3. Пусть 1е1,... еи) —. базис векторного пространства К.
Тогда р-векторы еи Л е1, Л,., Л е,„, 1 < 11 < 11 «... 1р ( и, 17) образуют базис иространства 11е1Ъ'). Доказательство. В любом произведении е, Л е, Л ... Л е.„ можно переставлять множители, меняя при этом знак всего произведения или получая О, когда у„ = у, для каких-нибудь двух индексов 1см. 15)). Поэтому. множество всех таких произведений содержится в множестве тензоров вида 17). Пусть, далее, Р б 11г11'). Как в1лкий тензор из Т"„(К), Р выражается через базис: Р= ~~Ь Р1'"з е З...Зе 11 .. зр 11 "др Ввиду линейности отображения альтернирования, теоремы 4 из з 2 и соотношения 16) имеем Р = А(Р) = ~ ~Р""з»А1езу З...Зе „) = ~ Рд'"'1'е, Л...Ле „, 11 ".1р л .
1» а зто значит, что любой р-вектор выражается через р-векторы 17). Нам осталось доказать их линейную независимость. Предположим, что Л1ь "»Еи Л... Л Е;, = О. 1<и«" 1»<» Тогда ввиду 16) Л" """ А1е1, З... З е,„) = О, 1<и« ..рр<и или, в более подробной записи, — Л1р "р ~ ~е»7»1е1, З... З е1 ) = О. 1<р1«..рр<» резр С учетом формулы 111') из З 2 получаем Лн"" ~ е 1е1.. З...Зе1.,) =О. 18) 1<р1(...(рр<» резр Если я ~ е, то последовательность индексов 1 1,..., 1 р уже не будет упорядоченной по возрастанию. Стало быть, соотношение 18) пере- писывается в виде Л" ' "еи З...
З е;„+ .,, = О, 19) 1<11«...Р <» где точками обозначена линейная комбинация тензоров е, З... З е, хотя бы с одной инверсией в последовательности индексов 71,..., ур. у 3. Внесанял алгебра 289 Так как тензоры еп З... З е,„линейно независимы, то из 19) следует, что Лп"' = О. П Напомним 1сьс. 18) из ~ 2), что Л11с) внешняя прямая сумма подпространств Л"11с'), так что, в частности, с1пп Л1Г ) = ~ с1пп Л" 11с), р>о и имеет место С л е д с т в ие.
Внешняя алгебра Л11г) пространства И имеет размерность 2и. Прсс этом с1ппЛЯ1Г) = ( ). Базис пространстпва Л" 11с) состошп из одного и;ветпора ес Л ез Л ... Л еи. Д о к а з а т ел ьс т в о достаточно очевидно, поскольку число р-векторов е„Л... Л е,, с 1с ( ... ( 1р равно числу сочетаний из и по р. Далее, 1") = 1, 1") = 0 при р ) и и ~( )=2". П Отметим еще одно полезное свойство операции внешнего умножения. Именно,. ц' Е Л'1И), В б Л"11с) ==~ ЦЛВ = ( — 1)Я"Вл(,>.
110) Имея в виду соотношение 110), говорят, что внешняя алгебра пространства И 1обобщенно) антиноммутативна. В силу билинсйности операции Л для доказательства 110) достаточно рассмотреть случай б1=е„л...лес.. В=ем Л...Ле„. Используя д раз соотношение 15), получаем 1ес, Л ... Л е,,) Л е , = ( — 1)яе ., Л 1ес, Л ... Л е; ), т е. Ц Ле., = 1 — 1)нем Л 11 независимо от того, совпадает ув с каким- нибудь индексом 1, или нет. Таким образом, СЕ Л В = сб' Л 1ем Л... Л е „) = ( — 1)ое, Л Я Л е, Л...
Л е „) = =1 — 1)зое, Ле, ЛЯЛе, Л...Ле ) =...=1 — 1)ЯВЛс1. Из соотношения 110) следует, что РЛР=О 19 А.И. Кострикии 290 Гл. 6. Тензоры для любого р-вектора Р при нечетном р. В случае четного р соотношение (11) не обязано выполняться. И ример К Цусть Р = (еь..., е„), и > 4. Тогда (ез Л ез -~-ез Л е4) Л (ез Л ез -Гез Л ел) = = е1 лез л (ез л е4)-ь ез л ез л (ез л ез) = зез л ез л ез л е4 ф О. 3. Связь с определителями. Используя операцию внешнего умножения, легко сформулировать критерий линейной независимости векторов и получить заново все свойства определителей.
'1'сор ем а 4. Пусть уг --- векторное пространство размерности и над полем Я. Длл линеаной независимости р векторов хы..., хр Е Е И необходимо и достаточно, чтобы, хг Л ха Л... Л хе ф О. Доказательство. Если векторы хы...,хр образуют зависимую систему, то один из них, скажем, х, есть линейная комбинация остальных. При его замене этой комбинацией внешнее произведение хз Л хз Л ... Л хр разлагается в сумму внешних произведений енхз Л... Л хр з Л х,, з ( р, содержащих каждое по два одинаковых множителя и, следовательно, равных нулю. Если, напротив, хы., ., хр линейно независилзы, то мы можем их принять за первые р векторов некоторого базиса.
Тогда р-вектор хз Лхе Л... Лхр будет элементом соответствующего базиса для ЛР(1г) и поэтому не равен нулю. О Пусть (еы..., е„) - — базис пространства И и хы,,.,хе -- любые и векторов из И. Имеем у' =1,...,п. х = з хе„ з у з=! Согласно следствию теоремы 3 хз Л... Л хн = сз . е~ Л... Л е„, где й = Ь(х') некоторая скаяярная функция векторов хы.,.,хсо или, что то же самое, функция столбцов матрицы 1х'). Из свойств внешнего умножения немедленно следует, что эта функция линейна и кососимметрична, причем зз = 1 для х, = е, у = 1...., и. Теорема единственности определителя [ВА 1, гл.
3, 2 1, теорема 3) показывает, что з3 = бес (х,'.). Таким образом, хг Л... Л хн = с1е1 (х') ез Л... Л ен. (12) Соотношению (12) в любом р-мерном подпространстве П С И с двумя произвольными базисами (аз), (Ьз) отвечает соотношение азЛ...Лар — — ЛЬзЛ...ЛЪ„, Лей. (12') яп Я. Внвранлл алавбра 291 Замечание. Из соотношения (12) без трудавыводятся все свойства определителей. Более того, внешнк1ю алгебру можно положить в основу значительной части линейной алгебры, достигнув при этом наибольшей естественности в доказательствах ряда теорем.
Для нас это несколько запоздалое замечание, о котором, впрочем, жалеть не стоит (всему свое время). Обобщением соотношения 112) служит аналогичная формула для векторов х Е Г в количестве р штук. Именно, р1 1р х1 Л... Л хр = ~ х '... Хрл е1, Л... Л е;р = р "рр (~ х"'...х"ре;, Л...Ле, ) = 1<11«.,,1р<п РЕЯР Е (Е хр' Ф( еб Л Ле )) = 11«..рр лЕЯР (~ е х1'..,х„")еПЛ.. Ле1Р, П«,.1р лЕЯ, По формуле 13) из [ВА 1, гл.
3, 9 1) полного развертывания опреде- лителя имеем схр, р 1х1,... хр) . ~~~ епх1 . х лЕЯР рр хр ХР1 Х1 = 11е1(х ). 113) Р Х Р '1 р Стало быть, справедлива Т еоре ма оп. Пусть (е1,..., е„) — базис пространства Г и х = ~хее1, 1 (1 ( р, любь1в р векторов из 1'. Тогда х1 Л ... Л хр -- ~~~ 1л„ , (х1,...,хр)еп Л ... Л е,р, (14) 1<и «..Рр<л еде,Ьро,„(х1,..., хр) определитель вида 113). При р = п формула (14) превращается в 112). Заметим, что на Т = Ь1, л„можно смотреть как на внешнюю р-форму, нормированную условием Ли ь,(ео,...,е,,) = 1. В частности, де1 = рл1 единственная относительно базиса 1е1) внешняя и-1рорыа на Г, для которой 1!е1(е1,..., еь) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
