1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 62
Текст из файла (страница 62)
П Еще раз усювимся в обозначениях., на этот раз неоднократно встречавшихся нам групп (также классических): 1') ОЙ[и, Я) = ОЕ„(Я) -- полная линейная группа степени и над Я = К или Я = С; 2') $Г[п, Я) = $Г,„[Я) специальнаялинейная группа матриц из ЛХ„[Я) с определителем 1; 3') $0[п) = $0[п,К) = $О„[К) [или $0[п,С)) -- группа вещественных или комплексных ортогональных матриц с определителем 1: 4') Г7[п) = ГГя группа унитарных матриц порядка и; У 1. Норма и функиви линщ1ноео оператора 309 5') Яс7(п) = ЯГ7н ..
специальная унитарная группа (группа унитарных матриц с определителем 1). Теорема 7. Отображением Х ~-~ ехрХ устанавливается соответсгпвие 1) — 1 1'), 1 < 1 < 5, меже)у алеебрами Ли указанных типов и зруппами. Доказательство. 1) См. следствие теоремы 4. 2) Утверждение зафиксировано в 1) и в формуле (6). 3) Если 'Х + Х = О, то, применяя следствие теоремы 4 и формулу 16), находим 1ехр Х) = ехр Х = ехр1 — Х) = 1ехр Х) т.е. '(ехрХ) ехрХ = Е ==ф ехрХ Е ЯО(п).
4) Х' + Х = 0 ==у (ехр Х)* = ехр Х* = ехр( — Х) = (ехр Х) ==ф охр Х Н П(п). 5) Если Х е ви(п), то 11е1 ехр Х = 1 и ехр Х Е ЯГ7(п). ьз Можно было бы доказагьч что имеется взаимно однозначное соответствие типа .4 Е ... Ф=:: ехрА Е .. если в левой части брать из алгебры Ли матрицы с нормой ОАО < е для какого-то малого е, а в правой части матрицы вида ехр А = = Е + В с ОВО < б. Но в целом стрелки в утверждении теоремы 7 нельзя обратить, как показывает следующий Пример 7. Укордавова клетка Π— 1 1 является элементом группы ЯЦ2,С).
Предположим, что )э[ — Ц = ехрА, где А е л1(2, Ц. так как,)Н вЂ” Ц не приводится к диагональной форме, то матрица А также недиагонэлизируема (см. упр. 7.1.1). Стало быть, характеристические корни Лг, Лл матрицы А должны совпадать, т.е. Лз =Лз,Л|-~-Ля =О.=-е Л, =О, э=1,2. По р,:= ехрЛ, = ехре = 1 характеристические корни матрицы .1э( — 1) (теорема б), в то время как на самом деле р, = — 1. Это означает, что матрица А не существует. Другими словами, не каждый элемент группы лЦ2, С) лежит в однопараметрической подгруппе.
5. Спектральный радиус. Попытка решить упр. 9 ниже приводит к выводу., что норма ОАО нормального оператора А на конечномернол1 зрмитовом пространстве равна максимальному из модулей его собственных значений. Определение 5. Пусть А - произвольный линейный оператор на и-мерном векторном пространстве р над С, и пусть 1Л1,... ..., Л„) .
его собственные значения. Тогда величина г(А) = гпах )Л,! 1=1,,а Гл. 7. Прилохссния называется спектральным радиусом оператора А. Как мы видели, г(А) = 11А11 для диагонализируемого линейного оператора А, но, вообще говоря, г(А) < (1А(1. Действительно, если Л = г (А) и и собственный вектор Яи(! = 1), отвечающий Л, то ()А(! = япр ()Ах(! > ((Ау(! = )(Ли!( = )Л!.
11х 11 =1 Это неравенство может быть строгим. Пример а Рассмотрим линейный оператор А с матрицей А = з (Л) в ортонормированном базисе (е,) пространства И, снабженного стандаргным скалярным произведением (х1у)=~ иу, (х=~ те,, у=~ уег). Ради простоты считаем Я = и и Л Е Н, так что ! Ах// = (вгЛ -1. хз)з -1.....~. (ж — гЛ -1. в )з ж (т Л)з. 11Ах11 = и простые соображения показынают, что г(А) = Л < впр ))Ах~( = )1А(). 11 11=с Далее, Л = О ==о (ув(О)) = О при й > п, и, следовательно, т(А) = О = = 11ть, 11А1~гь. Ориентируясь наупр. 2А.12, мы замечаем, что и при Л й О (с 1х ~ = 1) имеет место равенство (з'„(Л)) хЦ („,) е й (в ) з Пы =Л((я, Š—.,Е...ф " ', *.) Е( з-й-хз-Ь...-Ь " ',, *„) -Ь...) = Л (1 -Ь оз (х, Л)й -1-... ' а„|(х, Л)й" ) "г.е.
1пп (.Ув (Л)) х1/ ~ = Л 11щ (1 + аг(х,Л)й-Ь... + ов 1(х,Л)й" ) = Л 1 = г(А). Используя рассмотренный пример и теорему о ЖНФ, можно показать, что и в случае общего линейного оператора А имеют место следующие факты: 1) г(А) = Пщь 11Аь11 ~: 2) г(А) < 11АЬ11 ~ < 11А11 (см. следствие теоремы 3). у !. Норма и функ!!гги линейного оператора УПРАЖНЕНИЯ 1. Проверить, что б!тв1(гг,Л) = п — 1, б!гпво(п,Л) = гг(п — 1)гг2, 61тив(п) = пз — 1.
2. Посгроить июморфизм групп !711) и ВО(2,И). 3. Следующие матрицы над С называются матрицами Паули: 0 — г 1 0 г 0 ' ( 0 — 1 о ~ о О 1) ' ! О Положим 1 Тг = — гаг, 2 1 Тг = — — тз, 2 1 Тз = — гггз. 2 Очевидно, (Тг; Тз, Тз) с = яЩ, (Тг,Тз,7з)и =- вгг(2). Проверитгч что !Тг Тг) = Тз, гТЗ 71) = Тз Тг 73) = Тл. 4. Установить изоморфизм влгебр Ли яо(3, Н) и ви(2) с алгеброй Ли векторов в трехмерном евклидовом пространстве относительно векторного произведения. 5.
Доказать, что если А, В и х и-матрицы и бег В Р' О, то ехр(В ' АВ) = В ' (ехр А)В. 6. Найти ехр А для матрицы 7. Доказать, что каждый унитарный оператор А предсгавляется в виде А .—.- е', где  — эрмитов оператор. 8. Доказать, что ~АВ~ = ~Вй, если А унитарный, а В произвольный линейный операгор. 9. Доказать, что ( Алй =- 'ОА )Ь, й = 1,2,3,..., для каждого нормально~ о оператора А. 10.
Доказать,что 1шп,. л, Аь = бг Ч- ггА) < 1. Опираясь на теорему 7 из 12, ч. 1, 3 10) об эквивалентности норм на конечномерном пространстве !которое обязателыго является банвховым), мы можем также прийти к неравенс"гвам: 3) г(А) < и~аль 2." ~аль, г(А) < тах 2.'ь' г ~агь) для любой матрицы .4 е 7И гС). Замечание. Понятно, что г(А) = г(г1), где А матрица линейного оператора А в любом базисе, и все соображения, связанные со спектральным радиусом, можно переводить на матричный язык.
Более дегюгьно свойства норлгы оператора исследованы в [15]. 312 Гл. 7. Приложения 2 2. Линейные дифференциальные уравнения 1. Производная экспоненты. Пусть Р!1) = (р! !1)) матрица, коэффициенты которой р, (г) являются дифференцируемыми функциями от вещественной переменной 1. Полагая по определению с1 аРн !1) и называя Р'Я = с1Р)Ю проиэвос1ной матрицы Р, будем, очевидно, иметь обычное правило дифференцирования произведения матриц — (Р® = — Я+Р—. аР сй';) Вообще говоря, Р'(1) Р(1) Ф РЖ Р'(1), 0 как показывает пример матрицы ~ ~. Например, Р ж' — ф 2Р—. а'! а! Однако в интересующем нас частном случае матрица и ее производная перестановочны. Теорема 1.
Пусть.4 матрица с постоянными коэф!рициснтами (вви1ественными или комплексными), Г!1) = ехр(1.4). Тог0а — Г(1) = А ГЯ. сЮ Доказательство. По своему определения! матрицы Г(1) и А перестановочны, т.е. в правой части доказываемого соо гнощения (1) можно было бы поставить Г11)А. Обозначим через !э1 малое приращение переменной Ь По теореме 4 из ~ 1 имеем Г(1+ Ы) = Г1г) Г(Ь1), поэтому — ~Г(1+ Ь1) — Г!1)) = 1 1 = — ~Г(Ь1) — Е) !лС Г(1) = — ~~~'-,(Ь1А)'-Е~ ГЯ = и=о = ~~ ~,(!11)ь-'А'~ .
Г(1). с=! у 2. Лннейньсе ди4ференсСссояьньсе уравнения 313 Из соображений непрерывности степенных рядов мы приходим к вы- воду,что 11пс ~Л+ —,(211)Л~ + —,(сас) Ас+...~ = А. Поэтому — Е(1):= 1шс — сЯ1 -р,Ь1) — Г(1)) = А. К(1) П с1 1 сМ ' ас- оЫ 2. Дифференциальные уравнения. Пусть теперь с 2, = а1121 + ас 222 +...
+ асад„, с 22 а2121 + СС2222 + ° + аснан, (2) = ССШ21 + ан222 +» + оссиан "- однородная система линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, записываемая коротко в виде ссх — = Лх. сй (2') Здесь х = [21, 22,..., 2„) — вектор-столбец; его компоненты 2, = = ес(й), 1 < с < п, неизвестные дифференцируемые функции от 1, рассматриваемые на каком-то интервале 13 < 1 < тс и удовлетвоРаюшие начальным УсловиЯм нс(0) = 29. Общая теория дифференциальных уравнений0 гарантирует сушествование и единственность х = х(1).
Более того., из (2) и (2') видно, что решения, отвечающие различным начальным усновиям, образуют векторное пространство, а так называемые фундаментальные решения составляют базис этого пространства. Обратившись вновь к соотношению (1), мы замечаем что оно допускает сяедующую интерпретацию: каждый столбец х, ...,1нд] матрицы г11) = (1, 11)) суть рошонис системы (2), удовлетворяющее начальному условию х.10) = ~0,..., 1,...,О) с 1 на уьм месте 1поскольку 1с10) = Е). Так как начальные условия при 1 = 1,..., сс линейно независимы, а все другие являются их линейными комбинациями, то и столбцов матрицы и'11) исчерпывают все множество фундаментальных решений системы (2).
Пространство решений оказывается п-мерным. Более общая система линейных дифференциальных уравнений имеет вид с1х — = Ах+ Ь, с11 с1 См., например: 11онснряенн Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. —.- Мп сриаматлит, 196!. 314 Гл. 7. Прилогклиия где А = (а,, ), х = [гм, г„), Ь = [Ьм..., Ьи[. Как и в случае алгебраических уравнений, возможно, что система (3) несовместна. Если это не так и хо какое-то частное решение, то общим решением системы (3) будет х = х + хо, где х -.- общее решение однородной системы (2), ассоциированной с (3).
3. Линейное дифференциальное уравнение порядка и. Имеется в виду уравнение г(и( + агг(и 1+... + а„гг( ( + а„г = О, (4) где по-прежнему г = г(1) неизвестная функция независимой переменной 1, а коэффициенты ам..., а„вещественные или комплексные числа. Не касаясь общей теоремы о существовании и единственности решения г(1), удовлетворяющего начальным условиям г(О) го (О(О) го г( — !(О) о заметим, что линейность уравнения (4) относительно - и ее производных имеет следствием линейность пространства решений. Сами же решения можно найти путем сведения (4) к специальной системе (2). Именно, положив (О ОО (и — г! ( — О ив мы придем к системе (2') с матрицей специального вида О 1 О ...
О О О 1 ... О О О О ... 1 — а„— а„1 — а„з ... — аг Далее используем тот же прием, что и в п. 2. Но к уравнению (4) можно подойти с другой стороны. Перейдем к линейным операторам, действующим на пространстве бесконечно дифференцируемых функций. Пусть Рг .—.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
