1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Теорема 3. Пусть А = [а, ) б й1 [Я) -- произвольная неотрицательная неприеод м л матрица с характеристическими корнями Ло, Л»..., Л„1. Тогда: 1) .4 обладает положительным собственнььм значением г = г[А) алгебраической кратности 1; 2) собственному значению г отвечает положительный собственный вектор х: Ах = тх; 3) если г = Ло,Лы...,Ля ь множество всех характеристических корней, по модулю равных г, то Л = оут., 0 ( 2 ( к — 1, где Уз — егч'Нь, причем и точек в С, отвв ~ающихЛ,, 0 ( в ( и — 1, инвариантны относительно вращений около начала координат с угла и, кратными 2кф; 4) если к > 1, то найдетсл мшприца пересхпаноеки Р, для кото- рой 324 Гл.
7. Приложения ...,1]. Кроле того, т[Р) = 1 длл каждой стохастической матоиц Р. Доказательство. Если матрица Р = (р,.) стохастична, то, очевидно, Ре = е, так что 1 - собственное значение. Обратно: свойство Ре = е — лишь иная запись стохастичности Р. Далее, из Рх = Лх, х = [хь,хз,, .., х„[ для стохастической матрицы Р следует, что 2,',' ч р;,ху = Лхь Поэтому, полагая ~х = шах1«и[х.), мы приходим к неравенству и и [Л! ' !ха~ ч ~' рейху[ ~ ~~хт[~' рм — 1хы~ ° 1=1 1=1 В частности.при 1 = т имеем )Л! [х ) < !х ,) =ь (Л[ < 1 =о т(Р) = 1. П Связь стохастических матриц с общими неотрицательными матрицами устанавливает Теорема 5. Пусть А -- произвольная неотрицатаельная матрица с положительным собственным вектаором с = [сы..., си[, отвечающим ветцественнотлу собственному значению т = т(Л). Пусть С = е11аб[см..., си).
Тогда матрица Р— [р, ) — -С .4С 1 1 т является слпохастической. Доказательство. По условию Ас = тс, что эквивалентно системе равенств и Е або = тс,, 1 = 1,2,...,и. 1=1 —.1 — 1 Таккак р,.=т с,. а;с,то Š— ° Š— 1 — 1 х — 1 — 1 р,.=т с, лт а с =т с, тс,=1. П 1=1 у=1 Легко видеть, что стохастичность матриц Р = [р; ), 9 = [й, ) е е И„(К) влечет стохастичность их произведения РО = П = (тб): и и и, и и и, то=~~~ ~ Р Уьу=,> Рь~ У =~ Р,=1. 1=1 ь.=1 /с=-1 1=1 я=1 В частности, любая степень стохастической матрицы является стохастической. Мы лишены возможности доказать здесь интересное свойство у 4.
Неатрняатеаьные яаелричм 325 эргодичности существование предела ь — 1 1 Р= !пп — э Рэ, ь — ~~ й ~-' 'э=е где Р снова является стохастической матрицей с Ра = Р = РР = = РР. Если Р неприводимая стохастическая матрица, для кото- рой Л ~ прес (Р), !Л! = 1 = — ь Л = 1, то существует даже предел Р = 1пп Р~. Ь вЂ” ~ае (3) Наконец, если Р . - дважды стохастическая матрица и е1пп Кег (Р— — Е)=1,то 1/и 1 ~п ... 1/и 1/п 1)п ... 1 |и ь-л 1 Р= 1пп — ~Р' ь — ~ й э=.о п р*М = Ербрэ11ь-~) 1=-1 Полагая Р = (рб), перепишем это в матричном виде: рь = Ррь Если, наконец, начальное состояние системы Я есть е„, то ра вектор-столбец с 1 на г-и месте и нулями на остальных местах.
Итак, рь=Р ро. ь Описанный здесь процесс носит название однородной цепи Мар- Всякая стохастическая матрица Р переводит, очевидно, любой вероятностный воктор х = ~лы...,т„), л, > О, 2 а х; = 1, снова в вероятностный, причем в случае Р > О любому вероятностному вектору х отвечает положительный вектор Рх. Именно по этой причине стохастические матрицы играют важную роль в теории вероятностей. Пусть дана некоторая физическая система Б, которая может находиться точно в одном из и, состояний ем..., ен.
Пусть систему возможно наблюдать в дискретные моменты времени 1а < 1~ < 1г <..., и пусть рь = ~р~(1ь),...,р (1ь)] - вероятностный вектор, где р 1еь) абсолютная вероятность нахождения системы в состоянии е в момент времени сь для 1 = 1,2,...,и; й = 0,1,2,... Предположим теперь 1и это предположение вполне реалистично), что известны условные вероятности р, перехода в момент времени сь системы Я в состояние е„коль скоро в момент времени 1ь ~ система находилась в состоянии а .
По правилам теории вероятностей 326 Гл. 7. Прилолссния П р и м е р. Матрица перехода 1 — р р 1 — Ч отвечает элементарному сообщению типа "да", "нет" и искаженилм в процессе передачи "да — э нет" с вероятностью р, "нет — э да" с веролтносгью Ч; 1 — р: "да э да"; 1 — д: "нет э нет"). Записав Р = 12 -~- Е, с) = Р Р, мы будем илость 1)э = — (р -!- ЧЯ. У Ч Ч нас О < р, д < 1, поэтому р+ Ч = О = — э Р = Е тривиальный случай. Пусттч далее, р т Ч > О. Тогда э „ь !э = Я+е)~ = ~ (.)12~ =е+) ( 1)~ (р+ч)~ сг= у=о =ее о? — О.
Р1ч Р гд Очевидно, — 1 < 1 — р — Ч < 1. При 1 — р — Ч = 1 мы опять приходим к тривиальному случаю Р = Е. При 1 — р — Ч = — 1 имеем р = Ч = 1, так что О 1 1 О рэл Е рэье! р поэтому предел Р не сущее"гвует. Теперь рассмотрим общий случай — ! < 1 — р — д < 1. Имеем Пшь э (1 — р— д)ь = О, так что р'рс'1ч)(р+ч)р7(р+ч) р-од чдр+ч) р)(р+ч! В частности, при О ( р = д ( 1 имеем 1)г !72 э 1/2 112 В заключение отметим, что всякая ненулевая неотрицательная матрица А = (ам) из пространства ЯЛХОЕ„Я) полумагических матриц порядка п (см. пример 8 из 2 1 гл. 1) приводит к дважды стохастической матрице гэ = (рП), Действительно, если 2 ас = а = э = 2,'1 ам, 1 ( 1, 1 ( и, 0 р а Е Я, то достаточно положить ре = 1/а. Это лишь дополнительная иллюстрация к теореме 5.
э! Лндрей Лндреевич Марков (1Оэб — 1922) крупный русский математик, один иэ виднейших представителей Петербургской математической школы. коеа с матрицей перехода Р (в обычной цепи Марковаг) условная веРоЯтность Р, = Рм(!л; !!. 1) зависит от момента вРемени !1.). Естественно поинтересоваться предельным поведением последовательности (рь), т.е. фактически пределом (3). у б. Геометрия Лобачевского 2 5.
Геометрия Лобачевского 1. Пространство Лобачевского. Пусть 1 (лл + 1)-мерное векторное пространство над полем вещественных чисел Н, Р(1~) порожденное 1г проективное пространство. Пусть д . невырожденная квадратичная форма на К, имеющая положительный индекс инерции п и отрицательный индекс 1; 1 —.- симметричная билинейная форма, полярная к ц. Как мы знаем из лть 1, существует базис (еы... ..., е„) пространства 1', в котором форма ц принимает нормальный вид фх) = — хо+х, +хе+...+хг (1) Пару (1;д) мы могли бы считать чпсевдоевклидовыле" пространством (пространством Минковского), но сейчас нам полезнее подойти к предмету с другой стороны.
На хо, хы,,,, хе можно смотреть как на однородные координаты точки х Е Р(1с), х = хоео + .. + х,е„, в данной системе проективных координат. Уравнением д(х) = О задается проективная квадрика 1в К мы ее назвали бы конусом). Определение 1. Множество Л С 1', заданное условием с1(х) < < О, т.е. (2) ил + хз + + хч < хо 1световой конус в теории относительности), есть "внутренностье конуса д(х) = О. Прямым, проходящим через начало координат и лежащим внутри конуса, соответствует множество Л = Р„(Л) с Р(К), которое, называется п-мерным пространством Лобачевского. Фактически Л целиком содержится в аффинной карте (со, Фо), определенной условием хо ф О: это условие необходимо для выполнения неравенства (2).
В системе аффинных координат р, =хе!хо, л = 1,2,...,п, пространство Л задается неравенством р +рга+ . +р <1 (2') т.е. Фо(Л) (рис. 24) изображается в виде открытого (лл — 1)-мерного шара радиуса 1 с центром в точке ео. Вспомним теперь, что Ро = ео+ 1'о, где ео - первый вектор того базиса, в котором ц(х) имеет вид (1), и Ко . векторная гиперплоскость, определенная условием хо = О. Другими с швами, Жо аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространстволе Го. На 1'о определена квадратичная форма ао = д~пм имеющая в базисе 328 Гл.
7. Приложения (еы,еи) вид це(х) = л, +... + х„и являющаяся, сшедовательно, положительно определеннои. При помощи оо на К; вводится евклидова функция расстояния. Таким образом, Уо наделяется структурой евклидова пространства. Рис. 24 Мы обобщим теперь нюни рассуждения и попытаемся связать с каждой точкой е Е А аффинную карту (К, Ф,) пространства Р(1'). Так как фе) ( О и Ле = е, то вектор е можно считать нормированным у.словием о(е) = — 1. Положим 1; = (х е и ~ Д(е, х) = О), (3) где 7' билинейная форма, пояярнал к Ф Стало быть, 1; псевдо- ортогональное дополнение к е.
Пусть, .далее, Ке — е + 1се. Квадратичная форма о, = д~ь-. положительно определена. В самом дслс, записав вектор х Е 1' в виде х = ае -~- х', х' Е Км и воспользовавшись определением (3), мы видим, что ц(х) = — ое + д(х') = = — ое + це(х'). Отсюда видно, .что отРицательный индекс инеРции формы с7, должен быть равен нулин Итак, (1~о,де) -- евклидово векторное пространство со скалярным произведением (х'~у'),, что позволяет рассматривать К как (точечное) евклидово пространство. Отображение Ф,: Р(1') 1 Р(Ъ',) 4 К, определяется обычным образом: Фе(х) есть точка пересечения прямой (х) с К,.
В частности., Ф (А) =ЛсуК,. 8 б. Геомсгория Лобачевского 329 Вектор х = е+х', х Е 1ге, принадлежит множеству Л тогда и только тогда, когда д(х) = д,(х') — 1 < О, т.е. д(х') < 1, а это значит, что на аффинной карте (Е,,Ф ) пространство Л изображается в виде открытого евклидова шара радиуса 1 с центром в точке е Е Фе(е). 2. Движения пространства Лобачевского. Псевдоортогональная группа0(й) = 0(по 1) с Сл (1'), или, что то же самое, группа автоморфизмов квадратичной формы д, состоит из линейных операторов А е СЦуг), для которых д(Ах) = д(х) ух Е уг. (4) Сравнивая определения (2) и (4), мы видим, что А1А) = Л. Расс>петрим образ 0(д) группы 0(д) при эпиморфизме к: Сь(1>) -> РС>.(1г) (см. гл.
5, 8 3, п. 6) 0(й) = 1А = к(А) / А Е 01>1)). ТаккакА(А)=АиА х=Ах,то хЕЛс=охЕЛ==~АхЕЛ==>А хЕЛ. Итак, 0(й) подгруппа проективной группы РС1,1у'), сохраняющая А. Определение 2. Элементы группы 0(д) называются двилсензызми, а сама группа 0(й) группой двиэиений и-мерного пространства Лобачевского А. Группе 0(й), действующей на А, отвечает геометрия, называемая ги>зерболичвской, геомеп>рией или геометпрней Лобачевского П. В этом определении непривычным является употребление термина "движение", его принято ассоциировать с таким преобразованием множества, которое сохраняет какую-то метрику на множестве. Наша основная задача - ввести такую метрику на Л, чтобы группа 0(у) оправдывала свое название.
Но пока мы остановимся на другом свойство группы 0(д)> которое столь же необходимо для содержательного определения геометрии. Теорема 1. Группа 0(й) двйсгавует на Л транэитивно, т.е. в геометрии Лобачевского все пючки ОЦ)-конгруэнтны. Доказательство. Пусть с, е лн>бые две точки щюстранства А. Как мы уже видели, без ограничения общности можно считать, что д(с) = д(е) = — 1. В векторных гиперплоскостях 1г, и 1; з> В честь Пиколая Ивановича Лобачевского 11792 — 1858) великого русского геометра, открывшего и впервые изложившего >в 1829 г.) основы павой геометрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
