1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Пусть на векч орном пространстве 1' задана невырожденная квадрагичная форма ф Пусть Э" — билинейная форма, полярная к д. Тогда на ЛР(К? можно ввести квадратичную форму д р формулами ?1х! х1) ... э1хых ) ,ЛО 1 чЛ~Сх л лх ) 11хр, хг? ... 11хр, хр) Доказать, что полученное продолжение формы д на алгебру Л(р? является невырожденной квадратичной формой. 5. Орненшавиеб и-мерного евклидова векторного пространства 11",(*~ь11 называется элемент Де Л"(1'?, для которого (о~А)~в = 1. у 3. Внеизн я алгебра 297 Пусть, далее, (еы...,еи), (е',...,е'„) два базиса в П, Говорят, что зти базисы одинаково ориентированы, если опредслитсль матрицы перехОда от одного из них к другому иоложителен. Понятно, что порядок базисных векторов при этом важен.
Ясно также, что множество упорядоченных базисов пространства П разбивается в точности на два класса, состоящих из одинаково ориентира- ванных базисов, тогда как бааисы из разных классов ориентированы по-разному (или прогивоположно). Выбор одного из этих классов называется ариенгааииеб пространства у'. Существует ли какая-либо связь между двумя определениями ориентации? ГЛАВА 7 ПРИЛОЖЕНИЯ Материал, собранный в этой главе и рассчитанный на обширную категорию читателей, обычно не излагается целиком в основном курсе линейной алгебры и геометрии по тривиальной причине отсутствия аудиторного времени. Вместе с тем полезно ознакомиться хотя бы с некоторыми приложениями математического аппарата, развитого в основном тексте.
Собственный студенческий опыт автора показывает, что такого рода выходы за пределы обязательного минимума развивают естественное любопытство. На тот же эффект рассчитан и последний параграф, где приведены некоторые нерешенные задачи. На самом деле их гораздо больше: они постоянно возникают в процессе творческой доятетьности любого математика.
З 1. Норма и функции линейного оператора 1. Норма линейного оператора. Пусть 1« — нормированное (в смысле определений из гл. 3, 2 2, п. 5), не обязательно конечномерное векторное пространство над К или С. Если !! * !) .— норма на Ъ', то естественно поинтересоваться, будет ли нормированным векторное пространство ь!'г') линейных операторов на 1С Сушествуют по крайней мере два эквивалентных способа введения нормы на ь11У). Определение 1.
Назовем нормой )~!А)~!„линейного оператора А: 1л — ~ 1' точную верхнюю грань значений функции лг го !!Аи!! на векторах у Е 1' единичной длины: )(А)(, = ыц« ))Аи)!. (1) )!г)!=1 Вообше говоря, сушествование )(А)), не гарантировано. Пример !. На пространстве Н = Н)!) всех многочлеаов с нормой )Н! =- — Д'лй «1 !ъ2ип-Л!")) = (2и-~-1) / !л" В! =!.
о Интересуюшая нас величина ~~ О«(л«2и -«- 1 !" ) ( = ))и ч 2п -!- 1 !я ')) = п ч2п + 1 / !л" — я В! = и ~) Г2пт ! о 2п — ! неограниченно растет вместе со степеаыо п многочлена. Теорема 1. Если 1' — конечно«черное векторное пространсгаво, то «ночная верхняя грань )(А)(л сущесп«врет. Доказательство. По определению нормы и по определению линейного оператора функция лг «-+ !)Ал«!), будучи суперпозицией двух В 1. Норма и функции оинеяноео оператора 299 непрерывных функций ч ~-~ Ач и Ач ~-~ 'цАчц, является непрерывной фу.нкцией координат оы...,ее„вектора ч, п = йш1'. По известным теоремам Больцано"- Вейерштрасса непрерывная функция ч ьо 'цАчц на ограниченном и замкнутом множестве (у нас на (и.
— 1)-мерной сфере цчц = 1) является ограниченной функцией и, стало быть, цАц, сушествует, поскольку ограниченное множество всегда имеет точную верхнюю грань. Более того,на сфере цчц' = 1 найдется точка (вектор чо), в которой цАчц достигает своей верхней грани. П Таким образом, доказано больше; цАц, = 'цАчоц хотя бы для одного единичного вектора чо Е 1'. Вектор с этим свойством иногда называют максимальным вектором линейного оператора А. Конечномерное пространство Е(К), наделенное нормой (1), становится нормированным пространством (очевидно, банаховым) в обычном смысле этого слова. В самом деле, !)А!), = 0 с=р ((Ач(! = 0 с ° Ач = 0 (для ч с ()ч(! = 1) ~.
с:=::; Ач =0(длявсехчб1') с=:; А=О. Далее, )(ЛА)(, = впр ()ЛАч(( = впр (Л) )(Ач)! = )Л( впр ))АчЦ = (Л(. ()АЦ„ ЦиЦ=1 ЦиЦ вЂ”.Л ЦиЦ=1 !)А+ Я, = впр )((А+ В)ч(! = вцр ~~Ач+Бч~~, < ЦчЦ=1 ЦчЦ=! < впр ИАч!ц + ()БчЦ = вцр ()Ач(! + впр ()Бч!) = )(А)(, + !)Б)~е ЦиЦ=В Выполнены, следовательно, все свойства, входящие в определение нормы.
Далее, имеет место неравенство 'цАчц < цАц„'цчц' (2) для каждого вектора ч Е Г . Действительно, 'цчЦ Цчц 'цчЦ ЦчЦ = 1, ~(А~~( = А = А < ~~А~~,. Неравенство (2) можно положить в основу другого определения нормы. О п р с д е л е н и е 2.
Линейный оператор А на векторном пространстве К с нормой Ц * Ц называется оераниченным, если существует неотрицательное вещественное число Х такое, что 'цАчц < Х 'цчц (3) для каждого вектора ч Е й'. Нижняя грань шГ Х множества всех констант, для которых справедливо неравенство (3), называется нормой оператора А и обозначаетсл символом цАц,. Гл. 7. Приложения Приведенный выпне пример 1 показывает, что оператор Рс неограниченный. Вместе с тсы в конечномерном случае из неравенства (2) вытекает неравенство (3) с Л' < йАй,. Таким образом, справедлива Теорема 2.
Каждый линейный оператор А на нонечномерном нормированном векторном пространстве ограничен. Мы видели, что ((А(), < ((А()л С другой стороны, ))Ач(! < ()А()1 ))У)! ==о ((Аъг(! < ()А((, при ()и(! = 1, откуда лАлл < лАль Таким образом, йА)(, = 'йАй„т.е. обе нормы совпадают.
В дальнейшем норму на Г и норму.линейного оператора А: Г -+ Г будем обозначать одним и тем же с:имволом й в 'й. Это не может привести к недоразумению, поскольку для векторов и операторов у нас используются различные буквы. При л1е р 2. Дополним пример 1, рассмотрев на пространстве Н11) оператор Хсс умножения на К Утверждается, что он ограничен. Действительно, Т~И= / (1Х(1))'йг= / 1лХП)л и<1)~ Х(1)' 1=~~Хй о .о 1 е откуда ~ Уч ~ < 1. Заметим, что норма единичного оператора с: 1д — у Г равна 1, поскольку йоч~( = )~ий для любого вектора ъг Е Г.
Менее тривиальный пример доставляет диагонализируемый оператор А, действующий на и-л1ерном евклидовом пространстве 1' с нормой ЙУЙ = ЪХ1лгЯ и заданный соотношениями Ае;=Лен 1<1<и, где (ег,...,е„) ортонормированный базис в Г. Без ограничения общности считаем л, > л, »... л„. Тогда длЯ любого вектоРа лг = 2 'е о;е; имеем )(Ау)!' = (Аъ")Ач) = = ~ о1ол(Ае1 ! Аед) = ~ о оу(Лсее ! Л е ) = ~ олЛ," < ьл ья 1 < Л22 ос = Л21 'йий~, 1 о~куда $~А $1й < (Лг! )(У)( и, следовательно, ()А(! < (Л1). Так как 'ЛАег)! = )(Л1егЙ = )Лг), то на самом деле )(А!) = )Л1( и е максимальный вектор для А. Дополнительное важное свойство нормы оператора связано с ее поведением относительно композиции операторов.
у' Н Норма и функции линейного оператора Теорема 3. Пусть А, Б .. два ограниченных линейных оператора на нормированном векторном пространстве И. Тогда АВ ограниченный оператор и !~АЙ < !~А!~ . ~!й. (4) Доказательство. Действительно, в силу неравенства (2) для любого вектора и е И имеем ()(АБ)и)( = )(А(Въ))) < ((А(). )(Въ(! < )(А)( !)Н)(.
()ъ((, откуда вытекает ограниченность АБ, причем согласно второму определению нормы оператора выполнено неравенство (4). П Следствие.. Пусть А: И вЂ” у И вЂ” ограниченный линейный оператор. Тогда 1~А-~~ < ИГ" Выпишем еще раз свойства нормы на ь'(И): )(А)( = гпр !)Аи!) = шГ(Х ) !)Аи!) < Х )(и)(), 'ь' н 'ь' = 1 'йЛА)! = )Л( ()А((, ~!А~!=Ос=у А=О, ~~А+И < ~~А~~+йВ~~, ~~Ао'~~ < 1~АГ. (й) Неравенство //АВ/! < ЙА//.
/!Б// может быть строгим. Если, например,. ь = й'.г., Р, . проекция точки плоскости Кг на координатную ось х, Ру проекция на координатную ось у, то Ри~ у — Ру1 в в то времл как ((Ри)( = 'йРу(! = Е 2. еЬункции линейных операторов (матриц). Ранее мы уже встречались с необходимостью рассматривать многочлены ф(А) от операторов. Наличие нормы на ь(ь') позволяет непосредственно перенести на функции со значенилми в у' (линейные операторы) теорию функциональных рядов. Нри этом существенна полнота пространства с(И). Из сходимости ряда 2 ',> А„ составленного из пи о линейных операторов А„вытекает, что если А — сумма ряда, то каждому выборубазиса(ем...е„) в И отвечает матрица 4 = 2„,> 4, оператора А, являющаяся суммой матриц 4, операторов А,.
Обратно: каждому сходящемуся ряду матриц можно сопоставить сходящийся ряд линейных операторов. Как и в случае обычных числовых фу нкпий, особый интерес представллют функции операторов, представимые в виде степенных рл- 302 Гл. 7. Прилонссния дов. Из определения сходимости по норме и из так называемого кри- теРиЯ ВейоРштРасса вытекает, что РЯД 2 ',>ба,Х' схоДитсЯ абсолютно и равномерно на множестве й с Е(И)., й = (А! )(А)! < а), если сходится числовой ряд 2,', она'т Пример 3.
Если А -- нильпотентный оператор (А'" = О), то оператор с — А обратилц причем ~е — ц) ' = е + А -у... ' А в чем легко убедиться непосредственной проверкой. Пусть теперь П -- произвольное банахово пространсгво и А: П в Р линейный оператор с норлсой ~А~ < Е Тогда снова оператор с — А будет обратимым в С(П) с ~Š— А) = г,>е А'. Действительно, сходимос гь ряда г:,>о А' следует из схолимости геометрической прогрессии г.,>о ~~А~у спад А" понимается единичный оператор с), мажорирующей ряд из норм г.,>е йА'~~. Пусть Б сулима ряда г.,>о А'. Тогда БА = АБ сумлса ряда г.',>1 А'. Пто означает, что Б(е — А) = (е — А)Б = е, т.е.
Б оператор, обратный к Š— А. 4. Экспонента. Безусловно, наиболее важным рядом, сходящимся нормально для каждого линейного оператора А: И вЂ” з )У ()г — - конечномерное нормированное пространство или произвольное банахово пространство, если А — ограниченный оператор), является оо ) а ряд 2, — А . Его сходимость обеспечивается тем, .что ряд из норм а=о ы а >о —,'йА '~~ мажорируется сходягцимся рядом Е,р!1А!~й=е рИ~ а>о обычной зкспоненциальной функцией вещественной переменной. а Определение 3. Сумму ряда 2 „>о —,А (соответственно а>о йл 2 а>о.4х) обозначают через ехрА (соответственно ехрА) и называют энспоненгпой линейного оператора А (энспоненщой матрицы А).
Вместо ехрА часто пишут еА. В силу. равномерной сходимости 1 ь ряда 2 — А' на множестве Й = )А) )~Ац ( а) функция Х ь-у ехрХ к) непрерывна и является отображением ьдИ) в себя. Вот прямое доказательство в несколько строк существования экспоненты охр А дяя и х и-матрицы А. Обозначим (а; )=Л, (о,)) =Л'. у' 1. Норма и 1))ункиии линебново операгпора зоз Пусть т верхняя граница для абсолютных значений коэффициентов а,ч ~а, ~ < гп, 1 < г,у < и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
