1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 55
Текст из файла (страница 55)
2. Метрический тенэор. Пусть И = Сег,...,е )и — евклидово векторное пространство со скалярным произведением, заданным положительно определенной билинейной формой (х у) = д(х,у) =- 2 д, х'хг, д, =- д4е„е ) !следуя традиции, принятой геометрами, мы используем здесь букву д и символы д, ). Принято Со = Сд, ) называть метрическим тенэором !типа 12,0)) пространства 1'.Таким образом, компоненты метрического тензора -- это элементы лгатрицы Грагга исходного базиса в Р' относительно соответствующего скалярного произведения. Теперь мы вспоминаем, что евклидово пространство канонически изоморфно своему двойственному пространству 1г*, л базис 4е,) отождествляется с дуальным к нему базисом се') пространства 1'": се, *) = е' ссгг.
413) из 3 ! гл. 3). Если д'г = д4ег,ег). то Со = 1дсг) *также называется метрическим тенэором !теперь уже типа 10,2)) пространстна 1С При этом д, и д'г являются ковариантными и контравариантными координатами метрического тензора С. Проверить, что СоСо = Е, т.е. 3. Подъем полл сколяроо. Пусть 1г нщцественное векторное пространство с базисом сег,...,е„), 1'с его комплексификация Сом. и. 3 1 4 гл. 3).
Поскольку поле С суть векторное пространство над Н с базисом 41,г), мы можем построить векторное пространсгно СЗ Р = 4!Жег,...,1 3е„,г Жег,...,гйе„). Проверитгч что Е-ликейггое отображение И31' — г 1':13ег,. гел, г3ея ьз тел определяет изоморфизм С 3 1' с 1'С. Более общо: пусть Я подполе поля г', 1' векторное пространство над Я. Рассмотрев сначала С как векторное пространство над Я,построим тензорное 272 Гл.
6. Тснэоры произведение ВЗя И. После этого введем на нем структуру некторного простран- ства над Я, определив умножение на скаляры а Е С формулой о(ЬЗх) =-(аЬ) Зх, а,ЬЕ С, хЕ и Убедиться в корректности этого определения. 4. Пусть бппк > П дйп 1г' > Ь Показать, что в тензорном произведении К Я Ы' суюествуют элементы, не представимые в виде т З ъе. 5. Пусть А, В обратимые квадратные матрицы. Указать матрицу, обратную к А З В. 6. Сравнить ВыА б~зА ...
рм А Лззд дэз.4 ... Рзюд ,3 зд ~3мзА ...,3 А с клеточной матрицей (20). Т. Доказагь формулу (22) для квадратных матриц А, В порядков и и згз соответственно с комплЕксными коэффициентами, иСпользул возможность их приведения к треугольному виду. 2 2. Свертка, снмметрнзацня н альтерннрованне тензоров 1. Свертка тензора. Для линейного оператора У'; 1У вЂ” ~ И с матрипей г = (у"') в некотором базисе (еы...,е„) инвариантным образом определено понятие следа (см. гл. 2, 2 2): Инвариантность следа, т.е. его независимость от выбора базиса, легко усматривается и из формулы (17) из 2 1 при интерпретации (ф как тензора типа (1, 1), поскольку в базисе (е',) имеем — — а~У'Ь~ = ~~~ 71 ~~ Бьа~ — — ~ ~уэб' = ~ ~у' з тгУ'. а П1Л зз Ь пу т' Операции взятия следа в тензорном анализе соответствует более общая операиия свертывания, с1тобы ее определить, проще всего временно отождествить смешанный тензор Т типа (р, С) с его значением как (р+ С)-линейной формы на произвольных векторах хы...
..., хр е И, иы,,., ие е 1''. Зафиксировав все переменные, кроме х„ и ил, мы получим билинейную форму: 2'(х„и„):= Т(..., х„,..., и„...). Определение 1. Сумма Т=~((ея,е ) у Я. Соерткц симмстризаиия и аеотернирооание 273 называется соертхой тенэора Т по г-му ковариантному индексу и по о-му контрэвариантному индексу. В сумме (Ц каждое слагаемое 7(еще~), являющееся полилинейной формой от хг,..., х„,..., йе..., ио, зависит от выбора базиса в Ъ', но Т от выбора базиса не зависит (как всегда, й означает пропуск символа а). Действительно, если е'„, = ~,а'ео А = (а',), то е' = 2, оое', где В = (бк) = А г (см. 8 1, п. 4).
Поэтому ((е~,, е' ) = ~~ ееЬ ((ео еу) = ь бьь = ~(~ 6~а~) 7(е,, еу) = ~ б'1(е„еу) = ~ ((ее ее) = Т, еэ ь 'е,э что и доказывает инвариантность Т. Как мы знаем, билинейную форму 1 можно представить в виде Г(х„,ил) = (и„,Ух,), где У - линейный оператор, зависящий от хм.,.,хе.....,й,...,ио. В таком случае Т = сг У, а это еще раз устанавливает независимость Т от выбора базиса и делает очевидной связь между операциями свертывания и взятия следа. Если обозначить операцию свертывания по паре индексов г,о символом Гг„', то 1г'„будет линейным отображением тод(К) — > 7о г(1"), относящим каждому разложимому смешанному тензору В = Л З...
З До З иг З... З ого, и; й 1~,,(1 й 1' тензор 1г.(В) = (ут ие)Л З "З )е. Я... З й„Я... Я л о. Так как (е", е,) = ое, то операцию 1г'„' удобно выразить в координатной форме. Пусть Т = ~Тм"',.ме" З.,. Зеле З е, З... З е., (ср. с форму;юй (12) из 8 1). Тогда Т = Гг,',(Т) = ~ ~Т~,'";~'Гг',.(еб Я...
З е,) = еэ = 7 Тп" -'м "э'е" З... З е " З... З е, З... Я е ц ..Н„...ее 18 А.И. Кострикин 274 Гл. б. Тензорм где Т" '-"" "' = ~ ~Т."-.'-".'" —.". ее..л„1е„~л...е л' Ее,.з ~Ы 1..зе ь (2) Мы знаем, что разложимые тензоры е" З... Я е" Я... З е" Я е, Я... Я е,. З... Я е, составляют базис пространства Те (1е), поэтому Т„' еь.л„п еь координаты тензора Т.
Нами доказана Теорема 1. Свертка по г-му ковариантному индексу и по в-му контравараантному индексу смешанного тензора Т типа (р, у) лвллетсл тензором Т снипа (р — 1,4 — 1) с координапеами, определенными ео формуле (2). К тензору Т = сг'„(Т) можно в свою очередь применить операцию свертывания.
В результате т-кратного свертывания, где т = 1пш(р, у), получится либо скаляр, либо чисто ковариантный (или чисто контравариантный) тензор, к которому операция свертывания уже не применима. В этом случае говорят о полном свертывании тензора. Взятие следа линейного оператора пример полного свертывания. Примером неполного свертывания может служить произведение двух линейных операторов А и В. В самом деле, если А = (а'), В = (Ь,") матрицы этих операторов в каком-то базисе, то тензор свернутый по ковариантному индексу тензора А и по контравариантному индексу тензора В, будет равен тензору С = (с,'), где се ~— — ~'Г.ез = ~а'Ь~.
ь е,*е =~у еь. ь Определение 2. Скаляры "ф Е .й называются структурными константами алгебры К в данном базисе. Легко догадаться, что с,' — — элемент произведения матриц АВ. Рассмотренный пример иллюстрирует часто применяемую операцию, которая состоит в образовании произведения двух тензоров (не являющихся одновременно контравариантными или ковариантными) и последующего свертывания полученного смешанного тензора по одной или нескольким парам индексов. 2. Структурный тензор алгебры. Пусть 1е конечномерная алгебра над полем и (см.
определение 1 из З 2 гл. 2) с операцией умножения (а, Ь) е+ а е Ь, не обязательно ассоциативной. Если (ем..., еп) " базис пространства 1', то у Я. Соертнц еимметрссзация и аа«тернирооание 275 В силу билинейности операпии умножения е алгебра И полностью определяется заданием базиса и структурных констант в нем. В другом базисе (е'„ ...,е'„) структурные константы, однако, будут совсем иными х «ь Е, б Е = е» У,.Е , и мы хотим найти связь между структурными константами в раз- личных базисах. Пусть е,= ~«о,'е„еу=~~ Ье', так что В = (Ьс) = А ', А = (осс). Имеем у', Ьуес - — е', е е = (~ а,'е,) е (~ ес) = а;а:Е,*Ее — — ~~а,а'.у„"СЕ, = ~ ~а,а у«СЬ,".ЕЬ, =Е' б С «,С,« Д откуда «~ Х «б С е Ь у «С Х б « у убе е б,«,б уе (а«Б) = ЕГ 1 об'Ь.
Билинейность формы ус вытекает из билинейности операпии *, ее симметричность — из общего свойства 1г АВ = Фг ВА (соотношение (12') из 8 2 гл. 2). Для явного вычисления ук запишем а = ~ ~оее„ б С,аЬЬЕЬ = а Е (У» * Ее) = ~паДСЕС Е (Е Е ЕЬ) = ~пои'УСУЕ"~«бЕС Ь = ~ДСе„ 18* Сравнив эту формулу с формулой (15) из 8 1, мы видим, что структурные константы меняются так же, как координаты тснзора типа (2, 1). Следовательно, мы имеем право рассматривать так называемый структу.рный тензор Г = ( бб' ) алгебры 1У.
Заданием Г алгебра И полностью определяется. Для фиксированного а Е уе рассмотрим отображение еа: х «-» « — » а *х, являющееся, очевидно, линейным оператором на И. Важным инструментом для исследования строения алгебры И служит форма следа билинейная симметричная форма 276 Гл. б. Тензоры Чтобы вычислить Ту (а, Ь), нужно взять диагональные коэффициенты матрицы (гь.) с гьд = Еа дг'У[ау и просуммировать их: уд (а, Ь) = ~ оз, Р "д'и 7„.
г,г.г.г (4) [ег,ег) = ег, (оз,ог] = ег, [ог,сз) = ог. ЗДесь То ф О лишь ДлЯ тРех попаРно Различных ннДексов г,н а, пРичем тм = — зь . Дяя любых векторов Ь = 6~ег -~-,Згег д- цзез а=о ег-~-о ег-~-о ез, з скалярное произведение вычисляется по обычной формуле (а[|г) огд! д сггдг д оздз (5) а произведение в алгебре по формуле [а,ь] = (огоз — озр' )ег + (озо о оз)ег + (а Д вЂ” о Д )ез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
