1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 50
Текст из файла (страница 50)
.~~..... .св) будут Беря за исходные векторы последовательно ею ем..., мы получаем п+ 1 карт (К„Ф,), 1 = О, 1,..., и. Их объединение "совпадает" с Р(1г). Действительно, для любой точки х = (1о, ~ы..., ~„) Е Р(Г) хотя бы одна координата С, отлична от нуля, а зто значит, что Ф;(х) Е Ж;. С принятым нами соглашением об отождествлении Р(И)'1Р(Ъ";) и К, имеем Р" = Р(Е) = ( ) К; в=в Легко видеть, что меньшим числом карт пространство Р" не покрывается. д 8. Лротои>вныв проон>ранги>ва 243 5. Понятие алгебраического многообразия.
Будем говорить,что многочлен Х >>о, г>, ., гн ) Е 41о, г>; ., рв) обращаетсявнульвточкех = (со,с>, . со) е Р(Ъ'),если УЫо,ь> ...,св) = О. Это значит, что >1лсо, Лс>,..., Л~„) = О для всех Л Р-. ч= О, Л с Я. Положив > =>о+Л+ ..+> где Л сумма всех одночленов степени > в Л мы видим, что из условия О = У<ЛР„ ..., Лбн) = = У(~о,, Со) + ЛЛ ((о,, 4н) + " + Л"о У (Со,, 4н) в случае бесконечного поля >в следуют равенства Л(~о,..., С„) = О для > = О, 1....., т. Стало быть, если >" обращается в нуль в некоторой точке х б Р(~'), то в той же точке обращаются в нуль и все его однородные составляющие.
Естественно поэтому ввести следующее Определение 3. Подмножество 5 С Р" точек (оо, а> ...: он), удовлетворяющих системе алгебраических уравнений д>(»о.....,о») = О., дь(оо,,он) = О, где д>,..., дь — однородные многочлены, называется (ироек>пивным) алгебраическим многообразием. Точнее, следовало бы говорить о замкнутом алгебраическом множестве в Р", поскольку многообразия уместно вводить на языке однородных простых идеалов и топологии Зарисского. Мы, однако, в детали входить не будем.
Алгебраические многообразия (в особенности комплексные алгебраические многообразия, когда Я = С) предмет изучения большой самостоятельной математической дисциплины алгебраической геометрии. Ограничимся для простоты случаем одного уравнения д(оо,н>,, ..,оо) = О. Найдем уравнение пересечения Яо — — Я П Уо. Если й б Ко, х = (оо .
: о> ....... о„), то оо ф О. Поэтому условие д(оо,..., о„) = О равносильно условии> д (1, — ',..., — ") = О. Так как а>/оо,...,ою/но . аффинные координаты точки й, то это и есть уравнение "аффинногов многообразия Яо, т.е. уравнение ъ>ногообразия Я в Е>. Аналогично, делением на о> находятся уравнения ЯвЕ,. 244 Гл.
б. Кводрглки Обратно; если координаты точек в Кз обозначены хг,...,х„и множество 50 задано уравнением 1(хл,...,х„) = О, где 1" — произвольный, не обязательно однородный многочлен степени гп, то д(ПО,СЛ1;.. Оп) = (ОО) 'У( — ~ .~ — ) оо оо однородный многочлен. Действительно, из одночлена (сл) '...(хп) ", аз+...+(сп <гп, В у ПаяуЧаЕтея ОдНОЧЛЕН (ОО)ш ~' 1" (а1)Л'... (а„)1" СТЕПЕНИ т В д. При этом д(1, Хг,..., Хо) = 1(Х1,...., Хп). Следовательно, если 5 задано уравнением д = О в Р", то 5 Г) )Ро = 50.
Пример 1 (конические сечения), Считаем ниже и = Н. 1) Окружность Я, имеющая а карте Ре уравнение х~~ Ехе г= 1, а проектинных однородных координатах задается ураанепием а -л аг -††ао. Ее пересечение о ЛР(но) с бесконечно удаленной прямой Р(лго) относительно карты го находится из условия ао = 0 (это уРавнение Ро и Р(ио)). Из аз~ Е аг г— -- 0 следует, что и ал = аг =- О. Таких точек (ао = ал =- аг = 0) аообше нет, и, значит, КОР(1о) = Х.
2) Гипербола э с уравнением хг — хг = 1 а карте Ре н однородных координатах имеет уравнение аг — аг = аг. Ее пересечение с бесконечно удаленной прямой Р(го) получается из условия ао .—... О, т.е. аг = хаь При этом аг и О, иначе асе три координаты были бы раины нулю. Поделив на аы лее точки пересечения о ОР(1го) можно записать и виде (О: 1: 1), (О: 1: — 1). С другой сгороны, и карте Ег будет ал и' О, и уравнение гиперболы а карте д приобретает нид хо т х„, = 1 д г (со = ао/аы хг =. аг/аг), т е. д О хг является окружностью и д О Р(лл) =- й. 3) ПаРабола хг =.х-' (УРаенение а УО) пРи хг =- аг/ао,хг = аг/ао заДаетсЯ уравнением аоаг = а..
11ересечение с Р(1о)(ао = 0) содержит одну (днойную) тачку (О: 1: 0). Соаершиа переход к другой системе координат ао = йо — до аг = ()о + 1зг, аг = ог, мы получим уРавнение о~г + дгг = до, которое а новой карте Ц даст окружность.'1аким образом, окружность (или эллипс),гипербола и парабола -- это одна криная на проектианой плоскости, рассматриваемая лишь е разных аффннных картах.
Собстненно, этот результат, известный из анели гнческой геометрии, приведен лишь для иллюстрации рассматринаемых понятий. 6. Проективная группа. Пусть Р(1г) проективное пространство, порожденное векторным пространством К над полем зл, так что точка х Е Р(К) есть векторная прялгая (х) С )г. Пусть А; К -о 1' -- невырожденный линейный оператор на К. Он переводит прялгую в прямую и не может перевести ее в О.
Стало быть, илгеет смысл Определение 4. Каждый невырожденный линейный оператор А на К индуцирует некоторое преобразование А: Р(К) -л Р(К), называемое проективным преобразованием; А х=Ах. (5) д 8. Лровктивныв пространства 245 Равенство (5) полностью согласуется с принятым нами определением точки х,поскольку А Лх = Л Ах = Ах = А . х. (6) Из (6) следует также, что ЛА = А. На самом деле верна Теорема 1. Равенство В = А имеет песта тогда и только тогда, когда В = ЛА. Доказательство.
Нам нужно только показать, что В = А ==у ==у В = ЛА. Так как Вх = Вх = Ах = Ах, то Вх = Л„Ах для любого вектора х ф О из 1г и какого-то скаляра Л„~ О, зависящего от х. Если у = пх, то Лу . Ау = Ву = оВх = оЛнАх = ЛнАу, откуда Лу = Л„. Если же х и у - - линейно независимые векторы, то линейно независимыми будут векторы Ах, Ау, а из соотношения Л . Ах + Лу . Ау = Вх+ Ву = = В(х+ у) = Л еу ' А(х+ у) = Л ьуАХ+ Л еуАу вытекает, что Л„= Лн~ у = Л,. Это значит, что Л„= Л вЂ” — скаляр, не зависящий от х, и, следовательно, В = Л . А. П Чтобы получить запись проективного преобразования А в координатах, выберем базис (ео,ем,,.,е„) пространства 1г и обозначим через А = (ал ) матрипу линейного оператора А в атом базисе: Аев = ~ ~анен Если х= (оо.
о~......ои) и Ах= фо.,д~ ...... В„), то и ,дл=Л~а;оч л=0,1,...,п, (7) ~=-о где Л ~ О некоторый скаляр. Это видно непосредственно из равенства и и и и Л ~~,Зе,=Ах=~о Ае =~~ аце, а=о д=о в=ел=о и согласуется с законом преобразования координат вектора при действии линейного оператора (ель гл. 2). Пусть теперь Ео -" аффинная карта в Р(1' ).
Она состоит из точек х = (оо, ал..... ои) с оо ф- О. Если окажется, что до 7'. -О в (7), то Ах б Уо. Аффиннылли кооРдинатами точки х ЯвлЯютсЯ лд = о /ао, 1 < д < и, а для точки Ах координаты д = д /до, 1 < 1 < а. 246 Гл. 5. Кввдрики Если разделить равенства (7) с номерами т = 1, 2, .., «и на Бо, а затем разделить числители и знаменатели в правых частях на ао, то получится запись проективного преобразования А в аффинных координатах карты Ео: апх, -»... + аых„+ аю (8) у,=, 1<с<о,. аост»+ +со хо +аоо' Характерно то, что что во всех этих формулах --- общий знаменатель.
Неопределенный множитель Л исчез. Замечание. Следует, конечно, иметь в виду, что проективное преобразование А вполне может переводить точку из Ео (точнее,из множества Ф ~(Уо)) в точку, не принадлежащую карте, т.е. в бесконечно удаленную (иначе: принадлежащую Р()го)). Формулы (8) в этом случае теряют смысл.
Этого заведомо не произойдет, если ао — — О, 1 < у < и; аоо = 1. Тогда мы получаем известные формулы аффинного преобразования карты Уе. Стало быть, аффинное преобразование частный случай проективного. Для любого вектора у ф О из»' найдется в силу невырожденности А такой вектор х, что Ах = у. Значит, любая точка у Е Р(И) является образом некоторой точки х при проективном преобразовании А: у = Ах = Ах. Аналогично, любые две 1»азличные точки х, х переходят в различные: Ах = Ах ==~ Ах = Ах ==» Ах = ЛАх ==» .=» А(х — Лх) = О =-=» х = Лх ==» х = х. Итак, всякое проективное преобразование биективно.
Определение 5. В группе всех биективных отображений Р(1т) †» Р()т) проективные преобразования образуют подгруппу, обозначаемую символом РСТ(1") и называемую проективной группой. Обозначение РСТ (И) связано с тем«что эта группа является гомоморфным образом полной линейной группы СЦ17) = Сй„ес»м). В самом деле, отображение к: А «-» А удовлетворяет условию гомоьсорфизьса к(АБ) = к(А) г«(Б), поскольку „4Бх = АБх = АВх = А(Бх) = (АБ)х.
Из теоремы 1 следует«что ядро Кег к состоит из операторов подобия ЛБ: А = б ==» А = Лб. Так как отображение Ф: Л «-» Лб является, очевидно, изоморфизлюм групп тс' и Кегк = 1ЛГ( Л Е»«*1, то на основании всего вышесказанного полу. чается Теорема 2. Все провктивные преобразования пространен«во Р(1') образуют проективную вру»ту РСТ«'«'), яв яюисуюся гомоморфным образом полной линейной группы СЦК), Ядро гомоморфизма к озоморфно мулслпипликаптоной груптсе й* поля й и имеет, местпо "короткая тонн я последовательность" 1 — » Я* — » СТ,(К) — » РСЦЪ') — » 1.
(О) у Я. Проентпвные пространства 247 В данном случае мы могли бы обойтись без точной гюсяедовательности (9), означающей просто, что Ф - изоморфное вложение, 1щФ = Кегх, а х - эпиморфизм, Но мы воспользовались случаем, чтобы еще раз ввести в обиход само понятие точной последовательности, широко применяемой в современной математике. 7. Проективнвя геометрия. Мы знаем, что проективная группа РСЩ') действует транзитивно на Р(Р), т.е. переводит любую точку в любую друтую точку.
В соответствии с общей конпеппией (см. гл. 4, ч 2, п. 4), группе РСЦ1г) отвечает некоторая геометрия. Эта геометрия называется проентивной. Предметом проективной геометрии является изучение тех свойств пространственных фигур в Р(Р), которые не меняются при действии преобразований из РСй(Ъ ). Такие свойства называют также проективными. Свойство параллельности прямых или плоскостей, очевидно, не относится к числу проективных. Теорема Пифагора тоже нс ящяяется проективной, поскольку она содержит понятия длины и угла. Требованием проективности исключается много теорем не только евклидовои,но и аффинной геометрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
