1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 52
Текст из файла (страница 52)
!Иы готовы теперь доказать утверждение, существенно уточняющее следствие теоремы 3. Теорема 6. Две четверки а|, а|, аз, ая и Ь|, Ьз, Ьз, Ь4 коллинеарных точек в и-мерном проективном пространстве Рс|1 !И)- конгррэнтны (эквивалентны в смысле проективной геометрии) тогда и |полька тогда, когда ~а1, аз, аз, ая] = ~Ь1, Ьз Ьз, Ья] . 122) 254 Гл. б. Кеадрггки Рис. 22 Рис. 21 Матрипа 2 получаечся из д заменой 0 на 1 и 1 на О. Всего в Н имеется 16 кодовых слов. Мы выписали 14. Вот оставшиеся два: 10000000), (1111111). а) Пронерить, что код Н -- суть четырехмерное векторноо подпрострапсгво в уг, определенное линейной системой яг т яз -~-т4 -~-та = О, хг -~-вз -~-яз т яе = О, яз т яз Е я4 -~-яг = 0 (в каждом уравнении задействованы переменные, лежащие в одном из трех кругов на рис. 22).
б) Доказать, что РС774Узрз) --. неабелева группа порядка 168, которую можно реализовать перестановками степени 7, действуюшилги на множестве точек проекгивной плоскости. в) Доказать,что РПЦУзр ) = Ан!(Н):= 1п Е Нг / п(Н) = Н). 2. Пусть П =- Гзр — проективная плоскость, состоящая из семи точек, а р, д две различные точки плоскости П. Сколько существует автоморфизмов, переводящих р в д! 3. Доказать, что над полем С любое проективное преобразование имеет по крайней мере олпу неподвижную точку.
2 4. Квадрики в проективпом пространстве 1. Класснфиказдня. Пусть К -- вещественное векторное пространство размерности и+! > 2, г) квадратичная форма на К, у симметричная билинейная форма, полярная к д. Множество С, состоящее из векторов х Е !г, удовлетворяющих уравнению д(х) = О, называется !изотропным) конусом с вершиной О. Если это множество состоит не только из О, то образ С множества С!1~о) при отображении гг множества Кг,70) в проективное пространство )г()7) (см. '2 3) называется проектиеной кондуикой 17!роеттиеным коническим сечением при п = 2).
Это определение полностью согласуется с общилг определением проективного алгебраического многообразия, данного ранее. Стоит только выразить д(х) в какой-нибудь однородной системс координат. Если форма ц невырождена,то и квадрика С называется нееырожденной. Когда С как геометрическое место точек ,у' 4. Квадрики в просктивном пространстве 255 есть проективная плоскость размерности и — г, г < и (с уравнением хо +...
+ х„-= О), то С называют, как и в аффинном случае, двойным подпространством. Выберем в И любой базис (ев, ем ..,, еп). В соответствующей системе координат с началом в О конус С задается уравнением вида с((х) = ~~~ сэ, х,х = О. Уравнение (1) является также у.равнением квадрики С в однородных координатах. Как известно, базис (е,) можно выбрать таким образом, чтобы форма о приняла нормальный вид. Переход от одного базиса к другому совершается при помощи линейного оператора А Е СЬ(К),которому соответствует проективное преобразование А Е РСЩ') (см.
з 3). Используя еще возможность умножения обеих частей уравнения (1) на — 1, мы правомерны считать, что в нормальном виде форма (( имеет не менее пояовины положительных квадратов. Надо вспомнить еще о законе инерции для вещественных квадратичных форм. В результате мы приходим к следующему утверждению. Теорема 1. Всякая, нс являют яся двойным подпространст; вом квадрика С в и-мврном прогктивиом проотринсзпвг Р((') (проективно) эквивалентна квидрикс с канонически.м уравнением хвз +... + х~ — х,'„, — ...
— х"„= О, ~г,(2] < в < г. (2) Для просктивной эквивалентности двух квадрик в Р(И) необходимо и достаточно, стобы левые чисто, их уравненпй имели одинаковые ранги и сигнатуры (считается выполненной нормировка з > (з,(2)). 2. Примеры и изображения проективных квадрик. Мы видим, что классификация проективных квадрик проще, чем в аффинной и тем болев в евклидовой геометрии.
Хорошей иллюстрацией служит пример 1 из з 3: аффинно различные эллипс, гипербола и парабола соответствуют одной и той же проективной кривой в различных аффинных картах. Аналогичная ситуация наблюдается и в многомерном случае. Например, в Рз имеются две различные невы- рожденные квадрики, определенные соответственно у.равнениями 2 2 2 2 з з з з по+о1 +о2 оз О; ов+о1 оз оз О.
(3) Квадрика С: оо + о~ + о~ ~— оз = () включает эллипсоид, двуполостный гиперболоид и эллиптический параболоид: первый соответствует карте ((~~ = ез + 1'з, второй карте Ц~, Ез или Кз, а третий карте, которую удобно выделить в новой системе координат Вз = о +аз. Вз =аз оз, (эв = оо, 256 Гж 5. Квадрвки П, в вв'(ел+у) = ~' лвмл аз+2~' ~~ел +лвов. (4) од=1 Условия (рб) у': (0) достаточно для того, чтобы аффинная квадрика Я с уравнением (4) не была нулевой или двойным подпространством. Действительно, в противном случае квадратичная функция Я в некоторой системе координат (Рв, лы..., Ра) приняла бы вид где л = 0 или е = 1. Тогда уравнением проективной квадрики в однородных координатах, отвечающих базису (Р,), было бы 2;, л~ = 0 или 2', вяз=О,чтонетак.
Обратно: всякая аффинная квадрика э (ненулевая и не двойное подпространство, скажем, с уравнением (4)) является изображением в точности одной проективной квадрики из Р(И), Действительно, уравнению (4) квадрики э в системе координат (ев,еы ...,е„) соответствуют квадратичная форма д вида (1) и конус С. Так как (д.)," у': О, то и (~о; )е у': О. Если, далее, д(в) = х 2," л в в какой- нибудь системе координат, то С плоскость, что не так, поскольку пересечение Я = С й Š— квадрика. Итак. д(х) = 0 — уравнение проективной квадрики С и Я - изображение С в аффинной карте Е. Если одновременно Я изображение проективной квадрики С' С Р(И) с уравнением д1(х) = О, то по теореме 1 из З 2 Тогда уравнение квадрики С запишется в виде Вез+(11э+цзцз = О, что в карте Е' = в~в+Из соответствует эллиптическому параболоиду.
Эти три случая различаются пересечением аффинной квадрики Св с бесконечно удаленной проективной плоскостью РЯ): С„ П Р(рл) = к, если С, эллипсоид; С„П Р(1'л) окружность, если С, двуполостный гиперболоид; С, П Р(1з) . двойная точка (О: 0: 1; 0), если С, - эллиптический параболоид.
Аналогично показывается, что квадрика, отвечающая второму уравнению в (3),включает однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. Нетрудно получить и в общем случае изображение проективной квадрики (1) (ненулевой и не являющейся двойным подпространством) на аффинной карте (Ж,Ф).
Всегда можно выбрать такой базис (ев, еы..., е„) пространства И, что гиперплоскость Ж совпадает с Же = ел + 1ю Тогда Ф = Фв, и в системе координат (ев, ем ..,, е„) квадрика э = С й Е = Фв(С) определяется уравнением у' 4. Коадрики о яросктионосс пространство 257 соответствующие квадратичные функции 1„1 и С77 пропорциональны. В таком случае будут пропорциональными с7 и оы так что С = С'. Обратим внимание на тот факт, что в проектнвном пространстве стирается всякое различие между цилиндрами и конусами.
Деяо в том, что прлмолинейные образующие любого цилиндра, параллельные с аффинной точки зрения, пересекаются в бесконечно удаленной точке. Скажем, конУс х~ + хлз — х-. = О, эллиптический цилиндР, паРаболический цилиндр и гиперболический цилиндр в трехмерном аффинном пространстве являются изображениями в различных аффинных картах всего лишь одного цилиндра ох+да — Оэ = О в трехмерном проективном пространстве. 3. Пересечение прямой с проективной квадрикой.
Как и следует ожидать, любая проективная квадрика имеет непустое пересечение с любой прямой (в отличие от аффинного случая). Именно, пусть квадрика С задана уравнением (1), а прямая .-- уравнонием х,=ра,+ибо 1=0,1,...,п. () Имеется в виду, что а = (ао .. ас..... а ), Ь = (бо: бс: ..
'. 5а) две лежащие на прямой точки. После подстановки (5) в (1) получим уравнение 71(а)1Р + 2Да, Ь)сси + с7(Ь)из = О. (6) Нас интересуют решения (р, и) ~ (О, О), поскольку координаты хо, ..., х„не должны обращаться в нуль одновременно. Если Р = 1(а, Ь)Я вЂ” ц(а) д(Ь) ~ О, то получаем два решения (7с, и), соответствующие двум разным (возможно, комплексно-сопряженным) точкам пересечения прлмой с квадрикой С.
Если же Р = О, но не все с1(а), с1(Ь), 1(а, Ъ) равны нулю, то прлмая и квадрика имеют одну двойную общую точку. Если эта точка р не дс7 является особой, т.е. ф О хотя бы для одного г, то в этой точке дхс й прямая (5) касается квадрики. Наконец, при д(а) = д(Ь) = Д(а, Ь) = О уравнение (6) обращается в тождество и прямая (5) целиком лежит на квадрике С, лвяяясь ее прямолинейной образующей. Мы видим, что понятие асимптотичсского направления для проективной квадрики не имеет смысла. 17 А.И. Кострикии 258 Рж 5. Кввдрики 4. Общие замечания о проективных квадриках. 1) Рассмотрим точку а Е Р(И) и уравнение и 7(а,х) = ~ ов,.
агой = О, во=о [7) ~Рооао т Р1оа1-1- .. + р оа„= О, [8) 'роо ао + ооп, а1 +... + у ооов, = О, и так как не все однородные координаты а; равны нулю, то [8) равносильно учжовию бес(~р,.)о = О. Таким образом, .(7) будет тождеством только в случае вырожденной квадрики С[у[к) = О) с точкой а на ней. Точка а при этом особая. Исключив из рассмотрения указанную ситуацию, мы видим, что уравнение (7) определяет в РЩ гиперплоскость П, которая называется поллрой точки а относительно квадрики С. Точка а называется полюсом своей поляры П.
Ясно, что поляра П точки а проходит через а в точности тогда, когда а е С. Любая гиперплоскость П: Рохо + Р1т1 + . + Рв'св = О имеет единственный полюс относительно любой невырожденной ква- дрики С С Р(И). Действительно, в случае с)еЦР, ф ~ О система додав + Рыа1 +... + ~Р,Оав = Р„О < У < пв имеет одно и только одно решение. 2) Квадрики, равно как и общие алгебраические многообразия, естественно изучать с компоексной точки зрения. Именно, комплексные проективные многообразия, вложенные в СР", дают возможность разобраться во многих тонкостях, .не разрешимых в вещественном случае.
Ситуация напоминает проблему о корнях много- члена с вещественными коэффициентами. Из [ВА 1) мы знаем, что только привлечение поля С позволяет дать исчерпывающее решение этого вопроса. В части 3 учебного пособия [2] проводится предметное сравнение ЯР" и СР"', важную роль при этом играет комплексификация Р[1~с) проективного пространства Р[Г) над И в духе ~ 4 из гл.
3. Каноническое вложение И с Ис позволяет сопоставить каждой К-прямой в И ее комплексификацин> С-прямую в Ис, что опредеяяет вложение Р[Г) с Р(рс). Точки в Р[рс) суть 'комплексные точки" вещественного проективного пространства Р[И). где 7 " билинейная форма, полярная к о. Если обращаются в нуль коэффициенты при всех т, то у Е'. Кеадрини в проектиеном пространстве 259 У ПРЛЖИВНИИ 1. Убедиться, что в пространстве Жрл имеется ровно 5 классов проекчивно эквивалентных «вадрик 1включал нулевые и вырождегп|ые квадрики, а также двойные подпрогтранства1. В подходящой однородной сисгеме координат представители этих классов задаются уравнениями: Используя упр.
1 и упр. 5.2.1, указать аффинные изображения квадрик 1. 3. типов 22 2- гг -1. 42 + йг = О; соя " сг сг сзг = О' бог+ ай — Ц, =- О; (02 — 522 = О; 52+ьг ьг ьг це е,г+2.2 =О; ьг Е ь2 О. 502 = О. ГЛАВА 6 ТЕНЗОРЫ На протяжении всего курса нага приходилось иметь дело с такими общими математическими понятиями, как векторное пространство Г над Й, сопряженное (илн двойственное, дуальное) к Г пространство Г' линейных форм, пространство бв(1;Я) билинейных форм на Г, пространство ь(1'):= ь(1г,1') (часто обозначаемое Енса Г или Нош(Г, Г)) линейных операторов на Г и т.п. Быао введено даже (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
