1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 53
Текст из файла (страница 53)
гл. 1, з 4, .п. 1) пространство полилинейных отображений. Как правило, вычисления с элементами из Г, Г', б(1', Я) и пр. становились эффективными после выбора базиса и описания закона изменения координат (вектора, линейной или билинейной формы) при переходе к новому базису. Мы собираемся теперь посмотреть на все указанные понятия с единой точки зрения и навести в вычислениях некоторый формализм (или порядок), уже давно с успехом используемый в механикс, физике, геометрии.
О 1. Начала тензорного исчисления 1. Понятие о тензорах. Разумной общности можно достичь, ограничившись лишь полилинейными отображениями некоторого специального вида. 0 п р е д ел е н и е 1. Пусть Я вЂ” поле, à — векторное пространство над Я, Г' -. сопряженное к Г пространство, р и в . - целые числа >О, . - декартово произведение р экземпляров пространства Г и о экзем- пляров пространства Г'.
Всякое (р -~- в)-линейное отображение У: 1гг х (Г) в -~ Л называется тензором на 1г типа (р,))) и валентности (или ранга) р + ф Говорят также, что ( смешанный, тензор, р раэ ковариантный и о раз кон)аравариантный. При р = О тензор ( будет просто контравариантным, а при в = О -- ковариантным. В частности, тензорами типа (1,0) являются обычные линейные функции на Г, т.е. элементы из 1", а тензорами типа (О, 1) "- линейные функции на Г*, т.е, элементы из Г*'. Но в силу рефлексивности конечномерных векторных пространств (теорема 2 из ) 3 гл. Ц между Г и Г*' существует естественный изоморфизм, позволяющий отождествить )р е Р*' с некоторым вектором хм е Г (или вектор д 1.
Начала тензорного на шеленнл 261 х . с линейной функцией ен е Г"), Это отождествление реализуется в записи линейной формы 1(х) = (1,х), которую мы уже применяли ранее. При фиксированном ( это есть линейная функция на Г, а при фиксированном х --. линейная функция на Г*. Итак, тензоры типа (О, 1) можно считать векторами элементами из Г. Далее,ковариантный тензор типа (2,0) есть, очевидно, билинейная форма на 1', а контравариантный тензор типа (0,2) — билинейная форма на 1'*. Интересна интерпретация простейшего смешанного тензора, именно тензора 1 типа (1,1).
По определению 1(х,и) -- функция, линейная по х Е Г н по и Е Г*. При любом фиксированном х функция 1 линейна по и, поэтому найдется вектор Ух Е Г, для которого 1(х, и) = (и, Ух) (2) (мы использовали запись (1)). Так как 1(ах + Ду, и) = ау(х,и) + +Д1(у,и), то (и, У (ах +,Зу)) = а(и, Ух) + Д(и, У у) = (и, аУх + ДУу), откуда У(ах+,'Зу) = аУ'х+,ЗУу, т.е. У вЂ”.. линейный оператор на Г, Обратно, для каждого У' Е Е(Г) строится функция 1: Г х Г* — > ое по формуле (2), линейная по х Е 1" и и е Г*.
Ясно, что соответствие У но У биективно. Таким образом, каждому тензору типа (1, 1) отвечает, и притом единственный, линейный оператор на Г. Условившись еще понимать под тензором типа (0.0) обычный скаляр (элемент поля й), мы приходим к выводу, что все тензоры ранга ( 2 нам хорошо известны. Совокупность 7иа = 7" (Г) всех тензоров на Г типа (р, д) образует векторное пространство. Действительно, если (,д Е 7о(Г) и а, 1о Е й, то под а1+ йд естественно понимать тензор, определенный формулой (аУ+ Дд)(чы...,ч„;иы...,иа) = = а1 (ч „..., ч;, иы..., иа) + Д ((чы..., чр,. иы..., ио). (3) 2.
Произведение тензоров. Вначале пусть 1:Г1х...хЪе-ой, д:И; х...х1Ä— оА — произвольные полилинейные формы. Это значит, что 1;, И' никак не связанные друг с другом векторные пространства. 262 Гл. 6. Тензоры Определение 2. Под тензорньзм произвес)ением у" и д понимают отображение Т' З д: )уь х... х ч'„х И'1 х...
х И'; — 1 Л, определенное формулой (( З д)(чы...,ч„; юы.,., ю,) = 1(чы...,ч,) д(тчы.,., чс,). Сушественно подчеркнуть, что переменные ч; независимы от пере- менных хч .. Очевидно, что у З д --- полилинейное отображение, поскольку, например, при фиксированных ч,,..., ч„; дчз,..., тч, мы имеем функ- цию, пропорциональную д(чуз,, .. ), которая линейна по че1. Если, скажем, у и д линейные формы на 1у, то (1' Я д)(х, у) = ((х) д(у) -" билинейная форма специального вида на 1', причем даже этот про- стенький пример показывает, сто нет никаких оснований ожидать равенства ( З д = д З (. В самом деле, (д З ()(х, у) = 1'(у) д(х) у- '((х) д(у) = (( З д)(х, у). В то же время выполняется закон ассоциативности (1 Зд) Зй= 1' З(дЗ6) ® для любых трех полилинейных форм (скажем, 6: сс1 х ...
х Г, — 1 Я), поскольку левая и правая части совпадают как функции с ) (ч,,..., ч,) д(и ы, .,, лчз) 6(пы ., ., пс). Пусть теперь ) -- тензор типа (р,д) и д — тензор типа (г,я). Тогда у" З д будет полилинейной функцией на декартовом произведении р и х (Г*)е х к'с х (ьс*)'. Отождествив это произведение с 1 1 р~ с х ( ~ ) ч мы можем рассматривать 1 З д как тензор на к' типа (р+ г, д+ и), определенный формулой (1 З д)(чы ..,,чр,„, иы, .., ие, „) = = ус(чы...,чр', иы..., и ) д(чре;,...,чр „„Ги еы...,псе ) (5) для всех ч, е 'к' и и, б 1с*.
В дальнейшем точка с запятой, разделяющая аргументы разных типов, как правило, будет опускаться. Определение 3. Тензор 1 З д, заданный формулой (5), называется (тензорным) произведением пзензорое Т" и д. Пример 1. Пусть 1, гк 6 три линейные функции на с' и а, Ь два, вектора из 1'. Как мы заметили ранее, цри известных отождествлениях можно д 1. Начала гпензорного исчисления 263 говорить о трех тензорах 1", д, а типа 11,0) и о двух тензорах а, Ь типа (О, 1), а в таком случае и о тензоре 1 = т" З д З Д З а З Ь типа 13, 2).
Если х, у, и Е 1', из о Е Г", то 1(х,у,и,и,с) .= 11х) д(у) й(и) а(п) Ь(о), где под а(и), Ь(о) следует понимать выражения, определенные формулой 11): а(п) = (а,п) =. 1п,а) = и1а). Из формулы 15) и из определения (3) линейной комбинации оу + Дд тензоров видно, что имеет место дистрибутивность тензорного умножения; (о1' + Нд) З й = о 1' З 6 + Ну З 6., й З (од" + 13у) = ой З 1 + 11 Ь З д. (6) Резюмируем сказанное: 1) операция умножения З определена для тензоров произвольных типов; 2) валентность произведения равна сумме валентностей сомножителей; 3) тензорное произведение ассоциативно и дистрибутивно,но не коммутативно. 3. Координаты тензора. Мы уже почувствовали необходимость в четком разделении элементов из 1' и 1У'.
Тензорный анализ в классическом понимании начинается тогда, когда в пространстве Тд (1т) выбирается базис и тензор описывается своими координатами. Обычно в Ъ' и 1т* выбираются дуальные 1взаимные) базисы 'к' = (ез,...,е„), Р = (е,...,е") с указанным расположением индексов у базисных векторов. Для наглядности векторы с верхними индексами у нас изображаются обычным 1бледным) шрифтом. Расположение индексов у соответствующих координат противоположное, т.е. мы полагаем 2 ', о'е, для х Е 1', д = 2, Н,е' для д Е Г'. Напомним, что (Ем ЕЗ) = (ЕЗ.
Ез) = д» = 1 ( О, еслибы х д, 1, еслиз = д, 1(х) = (у,х) = ~~~ о113,. Верхние индексы не следует смешивать с показателями степенен; впрочем, последние у нас встречаться не буду~. В тензорном анализе суммирование обычно ведется по так называемым немым индексам, встречающимся один раэ сверху и один раз снизу.
Поэтому для тех, кто часто соприкасается с тензорами, "двухэтажноеи расположение индексов постепенно привело к молчаливому 264 Гж 6. Теязоры ТР'"',м:= Т(е„,..., е;„еу',..., ем ). (8) Определение 4. '1исла Т~,''";1' называются координатами (коэгрфициенпгалги нли колгаянентпалге) тснзора Т в базисе (ег,..., е„). Мы придадим этому определению привычный смысл, выбрав надлежащий базис в самом пространстве Тгк тензоров типа (р, д). Именно, рассмотрим так называемый разлажимьей тензор типа (р, д) е" З...Зе'" Зе, З...Зе,, (9) отождествляя, как и ранее, е,,..., е с линейными функциями на 1'*; еу(Д = ((еу) = (Т", е ). Так как (е', ее) = д,',, (ею е" ) = бьь, то (е" З...
З е'" З е, З... З е, ) (ег(,..., ег, е~',..., етг) = = б'.,'...б'," б"...Ф'. (10) гр 31 гг Построим тензор являющийся линейной комбинацией тензоров (9) с коэффициентами (8). Используя формулы (3) и (10), получим Т,(ец,...,е;„,ег',... георг) = Т,.'"; ', гг..лр т.е. как раз координаты тензора Т (см.
(8) ) . Но своими координатами тензор Т определяется полностью, поскольку в силу его полилинейности для произвольных векторов хг = ~~г абеб, хр — — ~~~ рее е,„ и линейных форм и =~ и е", уг ие = ~~г,егг ег соглашению опускать знак суммирования, отождествляя, например, х = 2 ',. аге, с х = а'е,. Мы этого соглашения не придерживаемся. Условимся, однако, суммирование по различным индексам заменять знаком кратной суммы: ЕЕ...Е= Е не указывая пределов суммирования, .поскольку из контекста ясно,. какие значения пробегают индексы (обычно от 1 до и = е11ш И). Пусть дан произвольный тензор Т типа (р, д), значения которого обозначаются в виде у и Начала тензорного ьечислвннл 265 имеем Вспомним в этой связи, что билинейную форму 1: Иа — ь Я мы записывали в виде ~(х,у) = 2 З",;,к,у .
Единственное различие заключается в расположении индексов. Теперь мы писали бы 1'1х, у) = = 2 .бок'У'. Раз координаты тензоров Ть н Т совпадают, должны совпадать сами тензоры, т.е. Т = ~ Т '";~'еп З... З е'" З е, З .., З еак (12) В частности, всякая билинейная форма з" имеет внд Т = ~ ~,. е' З ез. Осталось показать, что разложимые тензоры вида (9), отвечающие Разаичным набоРам инДексов 1ы..., гт уы..., ую линейно независимы, но это прямо следует из правила (10) вычисления их значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
