1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Например, при р = 4 имеем с (е, е, й,1) = 12, с (е, е,1, а) = 4 и т.д. Вместе с Д... однозначно определенными оказываютея и коэффициенты (Я(Е))„,;,. П По существу мы получили биективное соответствие между пространством симметричных тензоров 7~~(Г) и пространством Я [Хм..., Х„)р однородных многочленов (форм) степени р от п независимых переменных. То же самое относится к пространству 7' (Г). Заметим в этой связи, что 4. Кососимметрнчные тензоры. Как и ранее, ограничимся тензорами типа (р, 0) или (О, е7) и зададим действие симметрической группы Яр на Т Е 7'„'(Г) формулой (10) или (11). Определение 5. Назовем тензор Т кососимметричным или антисимметричным, если (16) рл(Т) = еа7 Ч7Г Е Яю где е знак (или четность) перестановки я.
Напомним, что с; Я ь+ ев голломоРфизм гРУппы Нр в 1т1) со значениями е = — 1 на всех транспозициях т. Условие (16) можно заменить эквивалентным ему требованием 7",(Т) = — Т, (16') где т пробегает множество транспозипий (это ясно из определения и из равенства 1„0.„(Т)) = 1„(Т), что в свою очередь выражается в виде Т(...,х,,у,...) = — Т(...,у,...,х,...), х,у б Г (17) (на месте точек стоят произвольные векторы одни и те же в обеих частях равенства (17)). У нас с1заг й = О, поэтому при х = у = х из (17) следует (17') ТО ..,х,...,х,...) = О.
Положив з = х + у в (17') и воспользовавшись полилинейностью Т, мы получим Т(...,х+у,...,х+у,...) = = Т(..., х,, х,... ) + Т(..., у,..., у,... ) + Т(..., х,..., у,... ) + +Т(...,у,...,х,...), а это значит, что из (17') следует (17). Поэтому условия (17) и (17') равносильны. 282 Гл. 6. Тензорм Свойство кососимметричносч и тензора Т очевидным образом выражается на языке координат Т„,„. Например, при р = 2 кососимметричность означает ТН = — Т; (кососимметричность линейного оператора или квадратной матрицы порядка п), причем это свойство, как и следовало ожидать, с выбором базиса не связано.
В общем сличае т... = е тп Стало быть, любая координата кососимметричного тензора однозначно определяетсл координатой с теми же индексами, расположенными, скажем, в порядке возрастания: (18) Тие. л„1 < 11 < 1я «... 1р < и. Всякая координата с двумя одинаковыми индексами равна нулю. Напротив, координаты вида (18) с различными наборами индексов никак нс связаны между собой, так сто всего почучастся ( ) нсза- !Р) висимых координат. Эти предварительные соображения мы сейчас уточним и разовьем. Определение 6.
Отображение А = 1 Е е У: Т'(1') - Т'(1') (19) р.' леве называется вльтернированием. Естественно также ввести множество ЛР(1е*) кососимметричных тензоров, содержащихсл в Т~(1Р) (соответственно Л'(1е) С Т~). На самом деле эти множества являются подпространсгвами, как это видно, например, из следующей импликации: 1 Р=е,Р, 1 К=е Л=р7' (аР+~ДЛ)=о)' Р+(31 Л= = оееР + Две Л = е„(аР + ДЛ) 'Фа, Д Е Й. Теорема 4. Отобрвлсение альтернированил (19) лвллетсл ли- нейным оператором А(от+ )7Л) = аА(т) + ДА(Л), обладающим следующими свойствами: 1) Аз=А.
2) 1щ А = ЛР(1""); 3) А(~ (Т)) = е А(Т). Доказательство. 1) Согласно (19) имеем 1 1 1 4" =, ~~~ ЕрЕлу, ь 7д = ~~~ Еле,~ае = л~~ Ер,~р = А. (р')э . „,, 1Р.),. я Р. „, Здесь учтено, что любой элемент р Е Я ровно р) способами представ- ляется в виде произведения ох: о выбирается любым, х находится д Я. Свертка, симметризаиил и алетернирование 283 члены которой почти все (т.е.
исключая конечное их число) равны нулю. На 7(1г*) можно смотреть как на бесконечномерную ассоциативную алгебру с умножением, определенным для тензоров: р р-ер (~~,) З(~д) = ~л ~,Зд~ =~бе. (б) р=о у=о р-~-1=0 ь=о При этом, разумеется, выполнено условие Л(,(еед) =луяд= уселд, Мы назовем 7(1'*) алгеброй ковариантных тенэороо.
Правило (6) весьма напоминает правило умножения многочленов и отличается от него разве лишь некоммутативностью. В 7" (РР) выр деляется подпространство 7~~(Г) симметричных тензоров, отождествляемое, как мы видели в копне п. 3, с пространством однородных Лей из равенства я = и 'р. Использована также мультипликативность е ну поп. 2) Для всякого Т Е 7 имеем Ул(А(Т)) = — ~ глул(Ул(Т)) = ер — ~ еллулл(Т) = ЕлА(Т), ' леер ' леер так что 1ш А С Лр(р'*).
С другой стороны, Т Е Л (Ъ ) ==~ А(Т) = — ~~~ елул(Т) = — ~ е Т = — ~~~ Т = Т. 1 1 . 1 леяр левр лев„ Это и дает нужное утверждение. 3) В 2) было проверено, что 1 А = г .4. По тем же причинам Ау, = е,.4. П 5. Тензорные пространства. В дальнейшем мы будем придер- живаться терминологии, ставшей общепринятой в разных областях математики. О п р е д е л е н и е 7. Ковариантный кососимметричный тензор, т.е. элемент пространства Л" (К'), принято называть внешней р-формой или, более подробно, внешней формой степени р на К. Контравари- антные кососимметричные векторы (элементы пространства Ло(1') называются р-вектаорами. Считается, что Л~(Г*) = 1"' и Л'(р') = 1'. Введем, далее, внеш- нюю прямую сумму (см.
3 2 гл. 1) й, То(1;) ®То(1Р), (б) бесконечного числа тензорных пространств 7" (И), р = О, 1,... Эле- ментами этой суммы считаются последовательности (Уо; 7ы уа; . ) = ~~',(, Л е 7~(1 ); г>0 284 Гл. 6. Тснзорм многочленов степени р от и переменных. Их внешняя прямая сумма является обычной алгеброй многочленов, а правило (6), надлежащим образом доопределенное, совпадает с правилом умножения многочленов. Совершенно аналогичным образом вводится алгебра контрпварипнгпныя кчензорое (7) ~л'13') = нч3 до ~то+. а в ней выделяется подпространство $(г) = Т (Р ) = ф т' (13) е=е симметричных тензоров, снова изоморфное алгебре обычных много- членов от п = йш К переменных.
В явном виде структура коммутатипной ассоциативной а и ебры на пространстве $(Р') юэодитсн по формуле ТЛ2 = $3Т3 З Тз), Т3 Е Тч.(К)1 Т» Е Т2 (Р). Алгебра $(Ъ ) над полем й называется симметрической пягеброгз пространства Р . Теперь мы обращаем свое внимание на подпространства Л(Г) = й Е Аг(И') 82 А2 ~Г) Ю... С Т(К'), Л(К) = П В Л'(~ ) й2 Аз(К) П...
С т(Р). (8) В отличие от симметричных тензоров (ковариантных или контравариантных), подпространства, определбнные соотношениями (8), не являются подалгебрами в Т(Ъ3*) и соответственно в 7(Р'). Оказывается, однако, что на А(И') и Л()д) можно ввести естественным образом операцию, превращающую их в ассоциативные алгебры. Замечание. Рассмотренные нами операции симметризации и альтернирования возможны лишь над полем й характеристики нуль.
Как избавиться от этого ограничения, показано в [2). УПРАЖНЕНИЯ Ы Поднятие и опускание индексов. Пусть по-прежнему Ир,у) евклидова векторное пространство, Т . — тензор рипа ~р,д) с координатами Т3,, По- 3132- 3» 1 2 р строим тензор г координатами 2.2 д'2Т1, , ' и у координат полученного тен- 22" р зара индекс 1 обозначим через 11, а затем положим Т'13132 .3» ~ 1 1ЬТ3132.
3» Говорят,что тензор еленой части этого равенства суть результат применения к Т операции поднятия индекса 11. Операция опускания индекса при помощи уг 3. Внешняя алгебра 285 мегрического тензора С опредоляется аналогично. Например, 7мгз. оз ч 7 гзыз — гг П "Иг ~вггл з --- координаты тензора, полученного в результате опускания у тевзора Т индекса уг на последнее место в ряду нижних индексов. В общем, подъем з-го индекса и опускание Ьго индекса зто линейные отображения Тч~рз) з Тчег Тч з зч — з в результате применения которых получаются тензоры с компонентами Т ...Т, — +з р и" 'з и Мы здесь воспользовались "блочным расположениемз сложных индексов у коор- дина| гензора.
Например, тензор Т Е Г З 1'* можно задавать компонентами, которые обозначаются Т, а Т Е Г гг Г* Со Г бг 1' — коьщонентами 7; 1 "г 3 Операции подъема и опускания индексов можно применять несколько раз, причем и к самому метрическому тензору. Показать, что о ог оег=-ог: оводу Убедиться в справедливости равенства дм нг = г', означающего, что контра- вариантные координаты в' вектора х получаю гся применением операции поднятия индекса у коввриантных координат г, того же вектора. 2.
Пусть гищ 1 > П Показать, что Т(Г) — некоммутативное кольцо без делителей нуля. Вдинственными обратимыми элементами в Т(Г) являются ненулевые скаляры. 3. Вычислить в явном виде тензорвые инварианты зг, зз в примере 2. 8 3. Внешняя алгебра 1. Внешнее умножение. Безразлично, как вести дальнейшее изложение .
на языке внешних форм или р-векторов. Для разнообразия возьмем пространство Л(Г). Определение 1. Зададим операцию внешнего ужнозгсения д: Л(Г) х Л(Г) — 1 Л(1г), полагая с7 гз Л лз А1с„) З Л) для любого П-вектора Ц и любого и-вскгора Л (считается, что Л д Л = Л Л Л = ЛЛ зУЛ Е Я). Под АЯ З Л) здесь понимается результат применения отображения альтернирования к тензору с7 З Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
