1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 59
Текст из файла (страница 59)
19* 292 Гл. 6. Тензорм 4. Векторные надпространства и р-векторы. По-прежнему пусть Ъ' и-мерное векторное пространство над Я. Определение 3. Аннулятором р-вектора Р ф О из Ао(1) называется векторное надпространство Апп Р = (х Е 1г~ Р Л х = О). Условимся еще называть р.вектор Р разложимым, если Р = а1 Л аз Л... Л ар для каких-нибудь векторов аь 6 Е. 1 = 1,2,...,р. В том, что множество Апп Р действительно есть векторное пространство,мы легко убеждаемся непосредственной проверкои: х1,хз б АппР =ь =Ь 1 Л (о1х1 + озхз) = о1Р Л х1 + озР Л хз = О ==~ .=Ь о1х1+ озхз е А1шР Чо1,оз б Я.
Теорема б. Пусть АппР = (е,,...,е,) поднространство размерности г. Тогда г ( р и существует такой (р — г)-вектор 1), для которого Р = е1 Л... Л е„Л ьг. 1' = (е1,..., е„; е„ь1,..., ен). Записав Рн "'е1 Л... Л е,„, Е (1э) 1<П«...ьр<п мы в явном виде выражаем условия на аннулятор: Р" "' е, Л... Л е;„Л е, = О, у = 1, 2,..., г. (16) 1<и «...Ы <н Если у совпадает с одним из ьь, то еб Л... Ле;, Л е, = О., поэтому в левой части равенства (16) остаются слагаемые с 11 ф у,...,1„ф ~. Так как (р -Ь 1)-векторы еб Л... Л е,„Л е с различными наборами 11,...,1 линейно независимы, то условие (16) приводит к тому, что Р" "' = О для всех наборов индексов, не содержащих целиком отрезка 1, 2,..., г. По условию Р ~ О, поэтому г ( р и Р = ~ Р "'"'"ь'"'" е1 Л...
Л е„Л еи, Л... Л е,, = = е1 Л... Л е„Л Ц, (17) Равенсп1во г = р имеет место пьогда и ньолько тогда, когда р-венпщр Р разложим. Доказательство. Считаем с самого начала, что у' 3. Внецан»», алгебра 293 где Я = ~ ~Р "'+' " е„ец Л... Л е, некоторый 1р — г)-вектор. Если теперь г = р, то длл Р получаетсл выражение Р = Лез Л ... Л ер, означающее, что Р разложимый р-вектор. Обратно: если Р ~ О разложим, т.е. Р = ац Л аз Л... Л ар, то а, Е Апп Р, 1 = 1, 2,..., р.
Стало быть, с1пп Апп Р ) р, а так как по уже доказанному всегда ц11ш Апп Р < р, то 61ш Апп Р = р. П Теорема 7. Пусть Г = 1аы...,ар), И: = 1Ьм...,Ьр) два подпространстеа в И одинаковой р змерности р. Для совпадения Г и И' необходимо и достаточно, чтобы были пропорииона»ьными р векторы Р=ац Л...Лар иЯ=Ь~ Л...ЛЬр. Доказательство.
Как мы видели (творе»»а 6), Г = АппР = = (ам..., ар). Если также (Ь|,..., Ьр) = Апп Р, то в силу 112') будем иметь Р = ЛЯ. Обратно: если Р = Лф то Г = Апп Р = Апп 1;) = И'. П Уточнением теорем 6 и 7 служит Теорема 8. Пусть Г = Апп Р, 11" = Апп ьг, где Р . - р зложи- мый р-вектор и Я разложимый а-вектор. Тогда; 1) Г З И' в==О Р = ьг Л Я 1Р» -- некоторый 1р — а)-вектор); 2) ГПИ'=Ос=.-оРАЯфО. Если ГО И' = О, то Г СОИ' = Апп 1Р Л Я). Доказательство.
Утверждение 1) содержится в теореме 6. Если, далее, Р = ац Л... Л ар, ЯУ = Ь| Л ... Л Ьц и Р Л Я ~ О, то векторы а„Ь ь 1 ( 1 ( р., 1 ( у ( о, линейно независимы и состав- ляют базис пространства Г цй И'. Если же Р Л Я = О, то существует нетривиальная линейнал зависимость ацац +... + арар + ДцЬ| +... +,3 Ьц — — О, из которой следует, что Г О И ф О. 0 5. Условии разложимости р-векторов. Теоремы 6 — 8 указы- вают на особую роль разложимых р-векторов.
Встречаются они и в друтих вопросах. Условия разложимости р-вектора Р Е АР1И) могут быть записаны в виде алгебраических соотношений на его компо- ненты Р" ' 1см. 115)). В самолц деле, пусть х = 2 ц х'е, произ- вольный вектор. Произведение Р Л х является 1р+ 1)-вектором с ко- ординатами линейными формами от х~,...,х".
Число компонент 1р+ 1)-вектора равно ( + 1). Поэтому условие х е АппР равно- сильно системе из ( + 1) однородных уравнений с и неизвестными. и Пространство решений этой системы, совпадающее с Апп Р, имеет по теореме 6 размерность г < р,причем г = р тогда и только тогда, 294 Гл. б. Тензоры когда Р разложим.
Другими словами, Р разложим в точности тогда, когда ранг матрицы системы не превосходит и — р, т.с. когда все миноры порядка п — р+ 1 равны нулю. Это и есть нужное условие разложимости. Теорема 9. Вслкий (и — 1)-вгктор Р ф 0 разложим. Доказательство. Согласно (12) Р Л х = Т(х) . ег Л... Л еп, Т(х) Е Гг, где у' -- скалярная функция, а (е;) --- некоторый базис в 1''. Из свойств операции внешнего умножения следует, что 1 линейная функция. Кроме того, АппР = Кету' и, следовательно, йшАппР = = йш Кег Т" ) л — 1.
По теореме 6 имеем «1пп Апп Р < и — 1, так что Т" ~ О. Поэтому йш Кету" < п — 1 и, стало быть, йшАппР = и — 1. Снова по теореме б это равенство влечет раэложимость Р. П Пример 2. Пусть Р - трехмерное евклидова векторное пространство с ортонормированным базисом (ем ее, ез). Ксан Р = а Л Ь И' О, то адьдх=-(с~х) еадеадеа, «де (с)х) = Пх). Можно проверить, что с = (а,Ь) есть векторно«произведение векторов а и Ъ.
Понятно, что Р Л Р = 0 для разложимого р-вектора Р. Оказывается, что в случае бивекторов (р = 2) условия Р Л Р = 0 достаточно для разложимости. Теорема 10. Биввктор Р= ~~ Рде Ле (18) 1<а<а<о разложим глогда и только тогда, когда Р Л Р = О. Доказательство. Нужно доказать, что если Р Л Р = О, то Р разложим. Рассуждаем по индукции относительно и = йш1'.
При п = 3 утверждение сяедует из теоремы 9. Соберем в (18) все члены, содержащие ег. Они дадут выражение вида е~ Л а. Положим еше ьг' = ~~~ Рбе, Ле . (19) и<а<у<о Будем иметь Р = е~ Ла+ Я,. причем можно считать, что а есть линейная комбинация векторов ег, ..,, е„и Я У: О. Из УсловиЯ Р Л Р = 0 саедУет что (ег Л а) Л ьг + Я Л (ег Л а) + ьг Л ьг = О. При помощи соотношения (10) получаем отсюда (20) 2ег ЛаЛЯ+Ц ЛЯ = О.
у' у. Инеи»н»», алгебра 295 Все 4-векторы в левой части (20) представим через базисные векторы е, Л е Л е1 Л е1. В е1 Л а Л Я входит множитель е», а в Я, как видно из (19), входят только члены е» Л е с »,у ) 2. Поэтому в Я Л сг множитель е1 не встретится. Следовательно, равенство (20) распадается на два: е1 Л а Л (г = О, 43 Л Ц = О. (21) Но сг 6»12(с»), где 5» = (ег,..., е„). Поэтому для Я выполнено предположение индукции, и он оказывается разложимым: с„» = Ъ Л с. Подставив это выражение в первое равенство (21), получим е»ЛаЛЬЛс=О. (22) Из четырех сомножителей этого произведения линейно зависимыми могут быть только а, Ь, с 6 Г. Если Ь = Ла, то Р = е» Л а+ Ла Л с = = (е» вЂ” Лс) Л а, и все доказано.
На этом основании считаем е1, а, Ь линейно независимыми. По теореме 4 имеем Л = е» Л а Л Ь ф О, а по теореме 3 в таком случае дйшАппЛ = 3. Более точно, АппЛ = (е», а, Ъ). Но в соответствии с (22) и с 6 Апп В. Значит, с = па+ ДЬ. В таком случае Я = Ъ Л с = Ь Л (па +,ЗЬ) = оЬ Л а и Р =е»Ла+1,) = е»Ла+оЪЛа= (е1+оЬ) Ла. 13 Следствие. Нивектор Р = Р е» Л е2 + Р е» Л е» + Р е» Л е.1 + + Р23е» Л е» + Р2»е2 Л е» + Р»»ез Л е» разложим тогда и п1олько тогда, когда его координаты Р»» связаны соотношение,м Р12Р34 Р13Р24 + Р14Р23 (23) Пусть теперь Р~ = Р(И) -.
трехмерное проективное пространство, порожденное четырехмерным вещественным векторным пространством Р. Напомним, что прямые в Рв соответствуют двумерным плоскостям в И. По теореме 6 любая плоскость П с Г есть аннулятор разложимого бивектора Р, определенного с точностью до скаляра. Другими словами, координаты (Р12: Р'3: ...: Р34) бивектора Р можно рассматривать как однородные координаты пряьюй линии в Рв (нлюккеровы координаты прямой), Эти координаты в количестве шести штук определяют также точку в пятимерном проективном пространстве Яг"'.
Мы видим, что прямые в проективном трехмерном пространстве взаимно однозначно соответствуют точкам квадрики, определенной уравнением (23) в пятимерном проективном пространстве. 296 Гл. б. Тснзоры УП1эАЖНЕНИЯ 1. Пусть Р = Е" вещественное пространство, натянутое на векторы- столбцы АП1,..., А<" 1, и В - — произвольный вектор-столбец. Показать, что компоненты Лл решения нектарного уравнения ЛьА1я1 =- В даются соотношением (л1П1 л... л А1"'>Ля =- .МП л,... л А1я-'1 л В л, А(""1 л .. л 4(">. Вывести отсюда формулы Крамера 1ВА 1, гл.
3, 1 3~. 2. Пусть 1г и-мерное векторное пространство над полем Я характеристики нуль, ч — Нь (Ньбд (~И ь=о элемент внешней алгебры Л(Р), л (Л(1'?? = (Н ~ Я Л Х = Х Л Х 'ФХ б Л(1'11 --. центр внешней алгебры. Показать: а? для обратимости Я, т.е. для существования У г, необходимо и достаточно, чтобы Я<о> ф 0; Уз, э=О при э=1,...,т, если п=2ш, 1 Яг,-э = 0 при э = 1,...,т — 1, если в = 2т — 1. Как переформулировать указанные условия в случае бесконечномерного про- странгтва Ъ'? 3. Пусть А: К -э К линейный оператор.
Его р-й внешнев" сравненью называется линейный оператер лРА: ЛР11'1 -э ЛР1рь определенный па раэложимых р-векторах форму.лой (ЛРАЦхэ Л... Л хр) = А(хс) Л... Л А(хр). Это, очевидно, есть знакопеременное полилинейное отображение. При фиксированном базисе пространства 1' можно говорить о матрице А оператора А и о ее р-й внешней степени ЛРА. Показать, что с1есЛРА с1ес Л РА = (с1е1А?(р). 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
