1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Пусть мы уже знаем, что о,. <(пт)', 1<1, у<п. (*) Тогда ОΠ—— ~ О,. О1., < П (Пт)л т, = 1Пт,)'~, й=1 т.е.неравенство (а) справедливо для всех а. Это означает, что кансдьгй из и' числовых рядов ~ , „ †,ас сходится равномерно на мно- 2 со 1 1л) жестве всех матриц с максимумом абсолютных значений коэффициентов, не превосходящих т. Ряд Е 4- г1 ->, А 4-, Л з 2! 3! являющийся объединением и- равномерно сходящихсн числовых ря- 2 дов, сам равномерно сходится. 11ример 4. 11усть И пространство вещественных многочленов степени < и — 1 от переменной 1, Гч -- оператор дифференцирования.
Известная формула Тейлора для многочлевов гласит, что если Д1 + а) — - многочлен степени < и — 1, получаюшийся из П1) подстановкой 1-1- а, а Е И, вместо 1, "го Псе а) .— 1(с) ф — уо)(1) -~... е у'" "ф. 1! 1н — 1)! То же самое можно переписать в виде 1 1 л 1 Д1 4-а) = (Е 4- — атй 4- —,(атч)л + ...4- 'гатт)" ')П1) =1ехрарч)П1). 1! 2! ' Оа — 1)! Ввиду нилысотеытвости оператора оператора аьч ва 1' ряд для ехраьч обрывается и выражается конечной суммой. Вто обшее свойство нильпотенгных ОПЕРатОРОВ. В ВаШЕМ СЛУЧаЕ ЕХРаГЧ = 'Нл - ОПЕРатОР СДВИГа Па а Е И, ПЕРЕ- водящий П1) в Д1-~- а). В его линейности можно убедиться непосредсгвенной проверкой. Как мы знаем, в базисе (е,= ~ 1<1<и) оператору 'Ос отвечает матрица В = Лв верхняя клетка Жордана порядка п, поэтому матрицей опоратора 'Н в этом базисе будсч а аз/2' ...
а" гди — 1)! 1 а ... ао з,11н — 2)! о — 3 ~[ з)! Н„= ехр аз'„= О О О 304 Гл. 7. Приложения можно получить, воспользовавшись рядолг е'у = ~ , = а(д) + гд(у) (гу) у>о и разложениями функций сов уг аш у в степенные ряды от вешественной переменной д. Пример 5. Комплексную плоскость С с точки зрения векторных пространств»ад полем С лучше называть комплексное прямой Сг, изображаемой вещественной плоскостью Иг. В базисе (ег = 1,ег = г) матрица и линейного оператора А: и г (х -1- гу)ч имеет вид =(' .у) Из определения экспоненты комплексного числа следует, что (г ел сову — е в1пу ) г сову — яшу ехрА = =е с*в1пу с*сову ) ( в1пу сову ) ' В ы в о д: ехр А, где А оператор умножения на комплексное число г = х+гу, есть композиция поворота на угог у и растяжения в е* раз.
Пользуясь тем, что в произведении абсолютно сходяшихся рядов члены получающегося ряда можно переставлять, докажем следующее полезное утверждение. Теорема 4. Если лгагприиы А и В размера и х и перестановочны, то (ехр А)(ехр В) = ехр(.4+ В). Доказательство. Имеем (ехрА)(ехрВ) = ) = ~~г .4'В' = ~ ~~,,А'В" ' = я,г>о я>о я=о АЯВ'-') = 2 ' — (~" ( ) А"ВУ- ) = —,(А+ В)г = ехр(А+ В). г>о =(~-")(~-'" ,>о'' г>о 1 ь41 ~л"» й! (Й и!(й— Заметим, что в определении экспоненты мы считали основное поле вещественным или комплексным. Как это принято в теории функций комплексной переменной, полагаем е*тги = ех(соа д + г, 'вш у) = ех е'", г, = ггг — 1.
Содержащуюся здесь форлгулу Эйлера е'" = сову+ гсйпу у 1. Норма и функции линванозо оператора 305 Здесь мы применили формулу бинома Ньютона ~( )Авв"- =(А+В)', в=в справедливую в любом коммутативном кольце ив в частности, в кольце л 1А,В]. Законность почленного умножения наших рядов вытекает из редукции доказательства к числовому сяучаю. В самом деле, = (~ —,) (~ ~— „, ) + Лк, ь=-о Ь=-0 ' Ь=О А' В' где Лк = в — — — — сумма по всем парам (в,1) с шах(в,1) ) К, в! (в+1) ( 2Х1.
'1исло таких пар равно К(Хг+1). Гели вп верхняя граница для модулей коэффициентов матриц А и В, то коэффициенты ,1в Вв произведения — — не превосходит вв~~пв)' п(гвгп)в (пвпо)ак в! Н К! где то --- некоторое положительное число. Значит, коэффициенты матрицы Як по абсолютной величине не превосходят К(К + 1) (пвпо) К! т.е. ХХк стремится к нулю при неограниченном возрастании К. Это и дает нужную формулу. св Для нулевой матрицы О имеем по определению ехр О = Е. Так как матрицы А и — А, очевидно, псрестановочны, то согласно теореме 4 схр А .ехр(-А) = ехр(А — А) = ехр О = Е, откуда мы извлекаем Следствие.
Пусть.4 произвольная и хп-матрица (вевцественнал или ком лекснол). Тоеда ехрА — невьврожденная матрица и (ехр А) ' = ехр( — А). 4. Однопараметрические подгруппы линейной группы. Функция ехр интересна во многих отношениях, в том числе с теоретико-групповой точки зрения, как это видно из следующего простого утверждения. Теорема 5. Соответствие ;рл: 1 ~-~ ехр(1А) в 1 е 11, 20 А.И. Кострикин 306 Гя. 7. Приложения определенное для любой матрицы А Е Мп)Я, Я = 2 или ус = С, есть непрерывное гомоморфное отображение аддативной группы вещественных чисел ж+ в Сь„1Н). Доказательство.
В самом деле, перефразируя следствие теоремы 4, мы можем утверждать, что сол(1) Е СЬ„1.й), причем (рл(1)) ' = рл(-1). Кроме того, ~ А(в) ус% = = ехр(вА) . ехр(1А) = ехр(вА + 1А) = ехр((в + 1)А) = ФАге + У) т.е. Действительно Уел -- гомомоРфизм йт — У СВп(Я). Его непРерывность заложена в определении экспоненты. П Определение 4.
Обычно множество (ехр1сА) ) 1 Е Ц называют однопараметрической группой линейных операторов на Ъ' 1при фиксированном базисе -- однопараметрической группой матриц). и р и м е р 6. если А = и -- вещественное число, то (ехрОп) ( с е ж) -" группа вещественных чисел по умножению. если .А = чг — 1 = Ц то (ехр01) ! ~ е ж) окружность. Чтобы иметь более определенное суждение о природе матрицы ехр А (оператора ехр А), мы докажем следующее утверждение. Теорема 6. Пусть Лы Лг,..., Л„-- характеристические корни матрицы А Е ЛХв(С), рассматприваемые со своими кратностями (т.е. Л, не обязательно различны). Тогда характеристическими корняии матрицы ехрА яв лютея ехр Лы ехр Лг, ..., ехр Лв.
Доказательство. Как мы знаем (теорема 1 из 6 4 гл. 2), любая комплексная матрица подобна треугольной. В частности, для нашей матрицы А найдется невырожденная матрица В такая, что А = В 'ТВ, где Т (верхняя) треугольная матрица. Мы знаем также, что матрицы А и Т имеют одни и те же характеристические корни. Так как характеристическими корнями треутольной матрицы являя>тся ее коэффициенты, стоящие на главной диагонали, то без ограничения общности считаем Л, упорядоченными таким образом, что л, 0 Л. 0 0 ...
Л„ у 1. Норма и фрннсСсси линейнозо оператора 3О7 Имеем ла Ф Ф о л.; о о ... л"„ откуда ехр Лс О ехр Лз ехрТ = О О ... ехрЛ„ т.е, ехрЛс, ..., ехрЛ„.-- характеристические корни матрицы ехрТ. Осталось заметить, что ехрА = В с . охрТ В (снс. упр. 7.1.1), а поэтому ехр Л, будут также характеристическими корнями матрипы ехрА. П Следствие. Для любой матрицы А справедливо соотношение (6) с1егехрА = ехр(ггА).
Доказательство. В самом деле, определитель матрицы равен произведению всех ее характеристических корней, а след — сумме характеристических корней, так что все немедленно вытекает из теоремы 6. Более наглядно: с1ег ехр А = с1ег В с . ехр Т В = с1ес ехр Т = и = ПехрЛ; = ехр(лс +... + Лн) = ехр(ггА). П а=с Из соотношения (6) вновь вытекает, что ехр А - - всегда невырожденная матрица, причем бег ехрА положитнаьное вещественное число для всех А Е ЛХ„(Щ. Сделаем еще несколько замечаний по поводу экспоненты матриц (линейных операторов).
Как всегда, обозначаем через 'А матрицу,. транспонированную к А, а через А матрицу, полученную из А заменой всех ее коэффициентов комплексно-сопряженными числами (если А --- вещественная матрица, то А = А). Напомним, что сс 1ь) ( сА )ь Ас сА)с (7) По поводу первого соотношения см. 1ВА 1, гл. 2, 2 3, и. 3), а второе является следствием того простого факта, что коэффициенты матрицы А" записываются в виде однородных форм степени й от коэффициентов матрицы .4. Отображение же л с-» я суть автоморфизм поля С.
Далее, с(4+В) = сА+ сВ А+В=А«-В. 20* 308 Гл. 7. Приложения Поэтому прямо из определения ехр А и из соотношений [7) получаем ~(ехр А) = ехр ['А), ехр А = ехр А. [8) Ниже используем общепринятые обозначения для некоторых матричных пространств: 1) д![п, Я) = а1 ф) = ЛГ„[Я) пространство всех матриц порядка и,над полем Я = К или Я = С; 2) я1(п, Я) = Ы„[Я) пространство и х и-матриц с нулевым следом; 3) яо[п, Я) = вон[Я) --- пространство кососимметричных п х и-матриц Х [вещественных или комплексных), 'Х + Х = 0; 4) и(п) = и„пространство над К (но не над С) косоэрмитовых матриц Х Е ЛГ„(С), Х* + Х = 0 (Х*:= 'Х); 5) ви[п) = ви„пространство над К косоэрмитовых матриц с нулевым следом.
В примере б из з 2 гл. 2 было введено понятие алгебры Ли (см. также пример 2 из з 3 гл. 3). Справедливо следующее утверждение. Предложение. Каждое. из пространств 1) — 5) наделено структурой [классической) алзебры Яи относительно обычной операции коммутироеания матриц [А,В] = А — ВА. Доказательство. Элементарная проверка, основаннаянасвойствах отображений Х у 'Х, Х >Х*, Х усгХ, известных нам из первых глав.
В качестве примера рассмотрим слу чай 4): [А,В)' = (А — ВА)' = = (АВ) — [ВА)' = В*А' — А*В* = [ — В)[ — А) — [ — А)[ — В) = = ВА — АВ = — [А,В). В случае 5) добавлено условие 1гХ = О, сохраняющееся при комму- тировании,поскольку всегда Фг[Х,1'[ =сгА — СгВА = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
