1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 56
Текст из файла (страница 56)
(6) Вспомним в втой связи выражение длл координат момента силы. Опираясь на формулу (6), можно непосредственно проверить, что скалярное произведение (5) обладает гвойством "ассоциативности" ((а,Ь) [с) = (а[[Ъ, с)). (7) Это красивое соотношение является на самом деле следствием свойства ассоциативности формы следа в произвольной конечномерной алгебре Ли К 7г ( [а, Ь], с) = 7г (а, [Ь, с) ) . (8) Для докезательства (8) заметим, что тождество .Якоби в К [(х, у], х] -~- ([и,х),у] -~- [[у, в],х] = О, переписанное в виде [[х, у), и] = [х, [у, и)] — [у, [х, и]], дает нзм для всех х, у с К В„„=7,„7.
— В Ь„. Так как Сг АБ =- Сг НА, то, полагая поочередно А .= мы ю Б =- Оп или А = 5 ьь, Б = 5, получим уи((а ь),с) =сгь[ ыь =сг(ь сьб — ььн ь ) = =- сг5 7 ай, — Фгс сьй =- зги ььб — сгс й ьь —— = ггй (1 и 5 — Б БЬ) = ггс Ь[Ь 1 = уг (а, [Ь,с)), Как и следовалоожидать, мы записали Ту(а,. Ь) в виде полной свертки тензора. Пример К С точки зрения механики и физики интересно рассмотреть трехмерную алгебру ди Р = (еыег,ез) (см. пример 6 из з 2 гл. 2), операция умножения в которой (а, Ь) ьг а * Ь = [а, Ъ) задается правилом векторного умножения векгоров в трехмерном евклидовом пространстве у л. Оеерткц симметрнзачпл и альтернироеанае 277 ч го и дает соотношение (8).
Эквивалентность (7) н (8) в случае нашей трехмерной алгебры прямо вытекает из подсчета гг (а, Ь) по тензорной формуле (4): 7~ (а,ь) = — 2(о~й~ л аздз -~-озбз) = — 2(а ~ ь). Обратим еще внимание на следующее обстоятельство. Соотношение (7), переписанное в виде егб„х У)тех~с У)=-О и означающее попросту кососимметричность матрины, отвечающей оператору й н каком-нибудь базисе, чем-го напоминает усювие ортогональности опера- тора А Е Оз(н) = дог ((х ~ у)): (Ах ~ Ау) .—. (х ~ у). Оказывается, связь здесь самая непосредственная, и корни ее уходят в общую теорию груш~ и алг ебр Ли. 3.
Симметричные тензоры. В теории билинейных форм мы акцентировали внимание на двух классах: симметричных и кососимметричных. В случае тензоров можно говорить о симметричности или кососимметричности по выделенной совокупности индексов, одновременно ковариантных или контравариантных. Например, симметричность тензора по первым двум ковариантным индексам и по последним двум контравариантным индексам означает попросту, что имеют место равенства Т = ~~~ Т„,„е" З...Зе'г, (9) .. лг Яр симметрическая группа степени р, действующая на множестве индексов (1, 2,..., р).
Для любой перестановки н е Яг положим 7 (Т)(хг....,хг) = Т(х ы...,х р) (10) (здесь х; . вектор с номером з; его к-й координатой будет щл), Так как Т полилинсйная форма на Гг, то и ~„(,Т) — поли- линейная форма, причем того же типа (р,0). Действительно, если, Перестановка ковариантного индекса с контравариантным, вообще говоря,не несет смысловой нагрузки и не приводит к тензору. Обсуждая вопросы симметричности и кососимметричности, мы нисколько не потеряем в общности, если ограничимся тензорами типа (р, О) или (О, д), причем перестановки будем применять ко всем р (или д) индексам, а не к какой-то их части. Кроме того, поле гг, которое до сей поры считалось произвольным, мы будем считать имеющим нулевую характеристику. В приложениях наиболее важны поля К и С.
Итак, пусть для определенности Т е Т~~(И), т.е. 278 Гл. 6. Тевзорь! скажем, як = 1, то 1„(Т) (ах! + ДУ!, хз,..., х„) = Т(хх!,..., ох! + )1У!,..., х, р) = =оТ(х,!,...,х!,...,х )+!8Т(х !,...,у!,...,х г) = = о1~(Т)(х!, хю,, ., х„) + Я~(Х)(У!, хю ..,, х„). Полагая еще по определению ~-„(оТ'+ ДТл) = а(„(Т) + ~~ (Т"), т.е. Г (Т)= ~Т;, л.„е" З...Зе", и~ .э„ или,что равносильно, ((Т)= ~ Т, л,е*--' З...Зе!- '. (11) $1 ...ы Отек>да, между.
прочим, следует, что ) „- (е" З... З е!") = еье З... З е! ". Конечно,. если бы мы рассматривали действие Яр на контравариантных тензорах, то получили бы формулу (,-~(Т) = ~ ~Т""'"е;, З... З е; е..лр Определение 3. Тензор Т типа (рсб) (или (О,ц)) называется гилмен!Рнчным, если 1к(Т) = Т Длл всех Я Е Яр (соответственно длл всех я Е Я~). Сим нетризацией (или симметрироеанием) тензоров из Те(1!) называется отображение Я = —, ~ (.: Т,'(1 ) — ! Т„'(К). (12) р! ~~еяр Подпростанства симметричных тензоров в 7!„'(К) и 7е~(1г) обозначим соответственно через 7„~ (1г) и 7~~ (Ъ'). Например, (11') 2 1 ! .
2 Я(е Зе Зе)= -(е Зе Зе +е Зе Зе +е Зе Зе). 3 мы видим, что я индупирует невырождснный линейный оператор 1.„! 7" е — ! 7г!е. Полезно заметить еще, что Т„о 1., = );„(см. [ВА 1, гл. 1, ~ 8, п. 4)). В соответствии с выражением (9) тензора Т через базисные элементы е" З... З е' его координатами являются Тн; = Т(ен, ., . ..., е, ). Координатами тензора !"„Т в том же базисе будут 1 (Т)н,;, = 1 (Т)(ен,..., е;,) = Т(е;,,..., е,,„„) = Т... у Я. Свертка, симмстризаиия и ал тернпрование 279 т.е. 1' = 2,, о,"агу„ю как и положено для тензора валентности 2.
Если выписать компоненты,1, в явном виде, то из («1 будем иметь 1:ь ть 1у' ь+ Ф вЂ” 2 >,. лхеуг — 2„ь т,ьха«з — л.ь та ха У« 1:ьть1«" ,+ гд - Кь те>уз«, — 2,« тьхь«ь — хл.з тьуь ь 2,« тг.„,(хь, т у;,1 Координаты 1, не могут рассматриватьсн как юшие независимый от выбора репера смысл, но как смысл приобретает, причем с .1 ассоциируются три 1> =!г 1 = 2 2 пгь1х>, -~- уь Р «ь), физические величины, име- мы видели, в целом 1 такой тензорных инварианч аг 1 ) 11> 1!з ) ~ 111 .1>з ) ( 12> 1«з 1ш 1ю ~ ~ 1«г 1зз ~ ~ 1з> узз .1з = Веыу.
Очевидно, результат симметризапии всякого тензора из 7" симметричен: У.~Я(Т)) = †', ~ У,( 1.1Т)) = †', ~ 1..1Т) = †', ~ У,(Т) = Я~Т). лся„лсяр -езл Мы воспользовались здесь тем фактом, что при фиксированной перестановке о Е Яр элементы о.г пробегают вместе с гг все элементы группы Яю причем ровно по одному разу. Итак, 1пч Я с 7+(1'). Напротив, на симметричных тензорах симметризация является тождественной операцией,как это следует непосредственно из (12), так что Т Е 7„+(Ъ') ~ Т = ЯТ).
Стало быть, имеет лчесто Теорема 2. Действие отобраэюения симмвтризаиии 5 на 7'„' обладает свойствами эз = 5 и 1пг Я = 7~~ (И). П р и м е р 2. Одним из классических примеров тензора, является гпенэор ннсрцни - снммегри шах магон>ы,1 = ПД 1 порядка 3, где,>н -- >женой момен> инеРции твеРдого тела относительно оси е„а,1гю г ф 1, -" центРобежпые моменты инерции, взятые с обратными знаками. Итак, пусть дано вращающееся твердое тело с одной закрепленной точкой о.
Предполагается,что тело состоит иэ некоторого числа и частиц с массами тм положение частиц задано векторами- столбцами ~хм уз, «ь~, 1 < й < п. Тензор 1, описывающий распределение массы и используемый при вычислении углового момента и кинетической энергии тела, задабтся матричным сог>тношением *1= г~,ггхь уь «ь1>гхьсуь:«ь])Š— ~ ~ха,уь,«йхь;уь,«ь1 Ж з ь (здесь, как обычно, Я " единичная матрица порядка 3, (хь, уь, «ь) = ='~хз,уь,«Ь~ вектор-строка: суммирование заменяечся интегрированием н случае непрерывно распределенной массы тела). Переходя от первоначального прямоугольного репера (о;ег,ез,е«1 к штрихованному при помощи ортогональной матрицы А по обычному п|>авилу ~хь,уь, «ь~ — > Жхь,уь,«ь| = ~хг уь «ь~ (понятно, что А не действует на массы ть1, мы получим матрицу 1' = А1 'А = А,1А 280 Гл.
6. Тензоры 1,1(х) = г'(х,...,х), где Г: 1лл -+ Й какая-нибудь р-линейная форма на 1С Отображение симметризации, примененное к форме К, дает нам по теореме 2 симметричную р-линейную форму К(Г): 1 (о'(1г))(хм...,хр) = —, ~ г'(х ы...,х р), яеяр какая-нибудь р-линейная форма на 1'. где Е: $'" — у Я Ясно, что 1)(х) = (о(Р))(х,...,х). (13) Форма о(Е) называется р-линейной формой, полярной к О.
Мы получили часть следующего утверждения. Теорема 3. Каждая однороднпя функция Ц степени р выра- жается через свою полярную р-линейную форму в виде (13). Форми, по ярная к 1,), единственна, Доказательство. Единственность полярной формы следует из ее координатного выражения. Пусть (8(Р))(хы...,хр) = ~~~ (К(Е)). х"...хв". Тогда б1(х) = ~~ (о'(г)) е км...алг. (14) Однородный многочлен 1 (Хы..., Хо) степени р от п независимых переменных, значение которого при Х, = щ' есть Ц(х), единственным образом записывается в виде У(Х„...,Хн) = ~ У„,,Х„...Х;,.
и« ..ер Сравнивая (14) и (15), получаем ;, = с (о(Е)) (15) Инвариантность ум зз, зз относительно поворотов следствие инвариант- ности характеристичсского много щена матрицы з'. Приведение з к главным асям, а симметричность У зто позволяет сделать, даст нам матрицу сна (ЛВЛв,Лз) с собственными значениями Л, > Е, 1 = Е2,3, называелсыми злаенылп момеиьчамп ниерпнп. В частности, тензор инерции полохсительно определен. Если ы — угловая скорость вращающегося тела, а 1 угловой момент, го 1 =,7ы. Параллезьность 1 и ы имеет мегто тогда и голько тогда, когда тело вращается вокруг одной из своих главных осей.
В свое время теоремой 3 из 3 4 гл. 1 мы установили биективное соответствие между квадратичными формами и симметричными билинейными формами. Это соответствие в более слабой форме продолжает иметь место и в случае полилинейных форм. Определение 4. Функцию 1,): х ьз Я на г' назовем однородной степени р, если у М. Свертка, еимметрнзания и ааьтернирование 281 где с = с(ем...,ееа) Е е' — множитель, равный числу различных размещений, которые возникают при всевозможных перестановках индексов в строке 1м.,,,1р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
