1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Слу тй центральной квадрики с центром симметрии в начале координат исчерпывается типами Случай нецентральной квадрики исчерпываетсл тип ми 11, „: х, ->... + х, — х,, —... — х,. = — 2х„.ьы з г з 2 с<2<в« Доказательство почти очевидно: достаточно применить следствие теоремы 2 из З 1 и заметить, что Яь<1 = Я<< для Л ф О. Это дает возможность заменить в выражении (13) из 3 1 постоянную <рв па — 1 (если она отлична от нуля). Условие в > О в 1, „исключает нулевую квадрику. Равенство в = с в 1,'г соответствует двойному подпространству.
П Определение 3. Квадрика типа 1, „называется эллипсоидом, типа 1, „, в < и, гиперболоидом, типа 11„. < „. < эллиптическим параболпидам, типа 11, „< -- гиперболическим параболоидом. Все эти квадрики невырожденные. Квадрики типа 1,,, 1< „ при г < и и типа П„л, при г < п — 1 называются цилиндрами, а квадрики типа 1,'„,.".конусами. Конусы и цилиндры вместе называются вырожденными квадриками. Конус (рис.
11) можно характеризовать инвариангным образом как квадрику 5, на которой имеется точка о, обладающая тем свойством,что б+хЕз' = б+Лхе5 ЧЛЕ<ь (6) Точка о в этом случае называется вершиной конуса (она автоматически яазяется центром симметрии), а прямые о ч- Лх образующими конуса. Лишь квадрики типа 1,' „обладают свойством (6) ~ в. Кввдрини в о4фвннон и свнлидовон просспронсспвох 229 конусов (вершиной конуса в данном случае является начало коорди- нат). Нис, 12 Рис.
11 Цилиндр 5 как квадрика (рис. 12) характеризуется тем, что существует такой вектор и ф О, для которого р й Я ==с р+ Лп й Я ЧЛ б в. (7) Другими словами, сдвиг 1х„вдоль и переводит цилиндр Я в себя: 1Апф) = 5. Так как 1„, . 1„, = 1„, „„то все векторы, обладающие свойством (7), составляк1т векторное надпространство Г С И. Плоскости вида р+П с р е 5 называются обрпзутои1и ни цилиндра 5. Если 1' = бтб1 И', 1) б 5, то каждая образующая р+ Г пересекает плоскость с) + И' в единственной точке т 1рс) = и+ и, и е бс, тт Е И', откуда р+ и = с) — чо = т).
Позтому заданием надпространства Г С т и квадрики Яо = Я Г1 (с) + Ис) цилиндр я определяется однозначно, Квадрика оо называется основанием цилиндра Я. Если р = о+ х б Яс~ и р+ ап б Яс~, т.е. Д1р) = О и Я(р+ ап) = О, то из соотношения (5) из ~ 1 имеем 11(ап) + 2~Дх, ап) + Цап)) = О. Значит, азфп) + 2а17'1х,п) + Цн)) = О Ча е 2, откуда д(п) = О, 1'1х, и) + Цп) = О. Пусть и е Г и 1,...,Е„). (8) 1:=ГЕ9И", И'=(ес,...,е ), 11 =(е„,.~ Тогда из соотношения (8) следует, что в выражении Я(д+х) =~хвх +2~срхд+~оо 1 230 Гл. 5. Квадрики коэффициенты Рл . и Р с 1 > т Равны нУлю. Стало быть, и в каноническом уравнении квадрики Ес1 не будет координат, соответствующих базисным векторам подпространства 11. Получается следующий вывод. Если т = гапке), тпо Я<~ .
ци.,линдр с- .— — ь т < и в случае центральной квадрикн и т < п — 1 в случае неценплральной квадрики. Да ее, с1ппГт = и — т или соответставенно п — т — 1, а основанием Я~о цилиндра Ес1 служит невырожденная квадрика или конус в аффинном пространстве размерности т (центральная квадрика) или т + 1 (нецентральная квадрика). О п р е д е л е н и е 4. В зависимости от типа основания Яь цилиндр называется зллиппшческим, гиперболич,секим или коническим.
Говорят также о цилиндре над квадрикой Яв. Следует заметить, что конусы и цилиндры различаются по тому, является их вершина коне шой или бескопе пло удалешюй точкой. 4. Общие замечания о типах квадрнк. Мы назвали рангом квадратичной функпии лг' и соответствующей ей квадрики Яц число т = гапку, где д квадратичная форма, связанная с 1„1. Часто это число называют малым рангом квадрики Яу и вводят наряду с т еще большой ранг т. Для его определения по общему уравнению квадрики Ял1 в какой-либо системе координат 1о; еы, .,, е„): п и 1„1(б+ х) = ~ Р„кллу + 2 ~ ~Рчсл + Рв = О (9) аз=1 ~=1 составляклт две матрицы — матрицу Е = (Р,.) квадратичной формы у и расширенную матрицу Фы .
Фл» Рл 'Рт . лрьп 'Рв Р1 . Ун (Ро Тогда по определению т = гатлкг и т = гапкг. Для удобства поло- жим Рь„,.л — — ьзнч.ц, = Р„$' = 1,2,...,и; Рнв ц --л:= Фо; так что Е = (Рб)",~ и т есть ранг квадратичной формы д: ц(х) = Ц(д+ х) = ~ ~Рл к;г,. Можно считать, что к„ел —— 1, придерживаясь этого соглашения и в фоРмУлах пеРехоДа от 1о: еы..., е„) к новомУ РепеРУ 1о', ед,..., е'„), ~ Я. Квадрини в аффинном и свнлидовом пространствах 231 т.е, мы полагаем ! 1 х1 — — амхч +...
+ ам,хн + ав „; 1х„, „ / хн = иа,х, +... + а„нх„+ а.„,х„ хпл1 = х л1 (х„лч = хо 1 —— 1). Матрица перехода А = (ав )"+', разумеется, невырожденная. В новых координатах матрицей формы о станет, очевидно,матрица Г'= 'А Г.А. х, = х", -Ь а;1, 1 = 1, 2,..., п. (10) Подставляя (10) в (9), получаем квадратное уравнение для 1 О®1з + 2О0~1+ а1'-0 = О (11) с коэффициентами ~! о~ ) и =,2, рбху+ рб х; ч=ч Ю' ' ~~,Ф(ро)ав, Ф(р) 1д 2д а"' = Ер.) Здесь а = (ач,..., оп) — направляющий вектор прямой (10), хм ..., х„координаты текущей точки р. Так как с1есА р'.
-О, то г инвариант относитечьно аффинных преобразований, и, в частности, 1 легко вычисляется по уравнению квадрики Яо в ее каноническом виде. Мы видим, что квадрика дс1 вырождена, т.е. является конусом или пилиндром, есчи г < п + 1 или, что то же самое, если с1е1г' = О. На аффинную инвариантность ма чого ранга ч мы обращали внимание ранее. с1исло квадратов с коэффициентом х1 в каноническом уравнении определяется числом положительньчх и отрицательных корней характеристического многочлена Ср(с), а единственность центра квадрики выражается условием с1ес г' ф О.
Если с1ес Е = О, то либо центров нет (гапкЕ < га~чкг"), либо их бесконечно много (гапкг' = гап)сг'), что соответствует случаю цилиндрической квадрики. Итак, канонический тип квадрики Ясч целиком описывается без фактического приведения ее уравнения Я(р) = 0 к каноническому виду. Введем еще некоторые понятия, возникающие естественным образом при исследовании квадрики. Предположим, что мы хотим найти пересечение квадрики (9) с прямой, проходящей через точку ро = (хо хо).
232 Гл. 5. Квадрики Определение о. Вектора = (оы,,.,оь) называется асимптвтнчвским для квадрики Я~, если д(о) = О. Уравнение у(о) = 0 задает так называемый конус асимтпиапичвских направлений квадрики 5д. Если прямая (10) неасимптотического направления, т.е. й(о) ф О, то уравнение (11) имеет два (возможно, комплексно сопряженных) корня, отвечающих паре точек (возможно, мнимых) пересечения прямой с квадрикой. Прямая асимптотического направления либо не пересекается с квадрикой, либо пересекается в одной точке, либо, наконец, целиком содержится в К~ (в последнем случае прямая (3) есть прямолинейная образующая квадрики К~).
Предположим, что рв = (хв»..., хв ) — . точка квадрики, т.е. фи~ = = 1г(рв) = О. Точка рв называется особой точкой квадрнки Кц, если сг (рв) = 0 для 1 = 1,...,п. Координаты хв„...,х"„особой точки находятся из системы линейных уравнений и и Е :рмх, + «р, = О, 1 = 1, 2,..., и, ~ уь1хэ + уьв = О. э=1 у=ь Ясно, что особые точки могут быть лишь у вырожденных квадрик, причем при г = и существует не более одной особой точки. В общем случае особые точки лежат на (и — ~~-мерной плоскости. Уравнение и сг;(р )(х; —,) = О заДает касательнУю плоскость к кваДРике Яь1 в ее неособой точке Рв. 5. Квадрики в евклидовом пространстве. Пусть Е и;мерное евклидово пространство, 1г связанное с ним векторное пространство над Е, Как н в общем аффинном пространстве,квадрика К~ С Е задается уравнением 1д(р) = О. Очевидной перефразировкой теоремы 3 из ~) 1 о 1во(Е)-эквивалентности квадратичных функций на Е является Теорема 3.
Уравнение квадрики в п-мернвм евклидвввм пространстве Е приводится падхвдяияим выбором прямоугольной системы координат (о;еы...,е ) к одному и талька одному каноническому тину. Именно, центральные квадрики с центром симметрии в начале квардинит о иочерпываютпся спинами , я,л а п1 ''' а а~ 1 ''' аи а и,д и х1 хь х,ч, х,, т — +...+ —." — — ' —...— — '=О, — <в(г; (13) а-, а' а а ' 2 уь Я.
Кводрики в аффинном и евклидовом пространствах 233 неиентральные квадрики исчерпьгваютсл типами , 2 г , я х, х, х ег х„ — +... + — г — г —... — — з + 2х~гг = О, — ( в ( г 114) 1нулевые квадрики и двойные надпространства исключены). Формулировку теоремы 3 следует дополнить описанием величин а, В случае 112) 'Н Л; 112') где 0 ф уо — — бд(о), а Лы.,.,Л„-- характеристические корни (соб- ственные значения) симметричной матрицы г' = Ор, ).
Всегда можно выбрать такую нумерацию переменных х„чтобы в выражении г,г(б+ х) = Лгхо +... + Л„х„' + сэо для величин Л, ьое выпоянялись неравенства Лгего < О, ..., Лесов < О; Лггге > О, г > в. В случае (13) нужно положить а;= >О, 1 (13') ~ДЛ,) причем, очевидно, всегда можно удовлетворить условию в > г,г2, умножая в случае необходимости обе части у.равнения на — 1. В случае (14) считаем Лдр>0, ..., Л,р>0; Лр<0, 1>в, г = 1,2,...,г, так что а, = ~( — > О, г' = 1,..., г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
