1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В обычном масштабе преобразования приняли бы вид 1 — ех/сз ,Л:" й* (3') Они соответствуя>т квадратичной форме с~1~ — хз. Будем для простоты пользоваться формулой (3). Замечательно, что уравнения электродинамики Максвелла не меняются в результате применения преобразования Лоренца и Эйнштейн, следуя мысли, впервые высказанной математиком А. Пуанкаре, предположил, что все физические законы не должны меняться от преобразований Лоренпа (при и = 4). Этим было пожикено начало снсцнальной теории онсносительноспси. Мы не останавливаемся на физической интерпретации и на следствиях формулы (3). Заметим лишь, что при скорости о, близкой к 212 Гл. 4. Аффинные и свнлидовы точсжные орос!пранства нулю (малой по сравнению со скоростью света), преобразования (3) принимают вид преобразований Галилея: 1 =1, х =х — О1. Однако в общем случае положение точки характеризуется двумя координатами (с,х) --.
временнбй и пространственной. Положениям (Х1,11), (х2,11) с одним и тем же ! = 11, в первой (неподвижной) системе координат соответствуют различные 1'„1!г во второй системе. Отсюда получается, например, закон изменения длин Х1 — О11 Х2 — О11 Х1 — Х2 1 2 Наоборот, при х! — — хг, 1! у'.
-12 получаем закон изменения времени. Если ув - преобразование Лоренца (3), определенное параметром О, то р 'р р. Найдем параметр (скорость) О. Положив 1 — О1Х х'= Д 2' ! — О2Х о 1 — О 2 2' О2с с1 О2' получим 1 — Огх — Ог(х — О11) 1 — (О!+ О2)Ц(1+О!О!) гсу 2 /1 2 Значит, О! + О2 'О 1 + Ого! 1 — хг хг — гх! х— (3) Хг + !Х1 1+ хз Здесь х = (1, х1, хг, хз) вектор из четырехмерного вещественного пространства п~.
Соответствие между векторами и эрмитовыми что является просто законом сюжения скоростей. 4. Собственная группа Лоренца. Что такое собственная группа Лоренца, отвечающая квадратичной форме д(х) = сг — хг — х2 — хг, (4) мы уточним чуть позже. В одномерном случае для преобразования Лоренца мы получили явную формулу (3).
Формула общего преобразования, сохраняющего ц(х), выглядела бы довольно громоздко. Поэтому мы изберем несколько иной путь описания группы В. Именно, рассмотрим пространство всех эрмитовых матриц порядка 2 у' 4. Пространстоа с ин0сфинитнсй лстриноя 213 матрицами взаимно однозначно и линейно; Ран-~-ду = оРн + ДРу. Каждой комплексной матрице А=, пб — ду=1,. и Д у д т.е.
каждому элементу группы Я1з(С), поставим в соответствие преобразование Гл в пространстве эрмитовых матриц, полагая Г,1Р„) = А. Р„А*. Легко видеть,что 1Г41Рн)) = А 'Р„А' = Гл(Р ), где А* = сА -- обычное зрмитово сопряжение. Так как Гл(ГВ(Рх)) = АВРхВ -4* — — АВРх1АВ)' = Глн(Рх), то причем оператор Гл линеен; 1 А(оРх + ДРу) = и Гл(Рх) + Д Г 4(Ру).
Обратим внимание на то, что с)е1А. 41е1 Р„берА' = дерР„, поскольку 41ес А = 41ег А* = 1 по условию. Но песР„=1 — х4 х~ хз. х х э 2 Значит, линейный оператор Гл не меняет квадратичной формы (4). В частности, 41е1Г4 = х1. На самом деле из простых топологических соображений (непрерывность функции с!ег и связность группы ЯЬз(С)) следует, что 41е1 Гл = +1. Мы примем это на веру, хотя при небольшом усилии этот факт можно установить. Уравнение — *, — хз — хо=0 (6) определяет в Г44 конус --- специальную поверхность второго порядка (или, как мы будем говорить в следующей главе, квадрику), на которой лежит целиком прямая, проходящая через начало координат и через любую точку на поверхности. Условие 1 > 0 выделяет так называемуко осрхнюю пслослнь конута (6). Далее, неравенства 1>0, 1 х х х >О 2 2 2 х дают необходимые и достаточные условия положительной определенности матрицы Р„или, что то же самое, положительной определенности соответствующей квадратичной формы (см.
гл. 1, ~ 4, п. 8). 214 Гл. 4. Аффинные и евклидовы тоне»нь»е пространс»ава Ясно, что зти условия положительной определенности сохраняются и для матрицы Гл У„) = А Р„А . Значит, линейный оператор Гл сохраняет не только конус (6), но и его верхнюю полость. Резюмируем свойства ГА.
1) ГА является автоморфизмом квадратичной формы (4); 2) с1есГА = 1; 3) ГА сохраняет верхнюю полость конуса (6). Определение 2. Всякий линейный оператор»ал — »»ал, удовлетворяющий условиям Ц -3), называется собственным преобразованием Лоренца, а группа Ь~ всех таких преобразований собственной группой Лоренци На самом деле гоъюморфизм Г является эпиморфизмом (с»ж упр. 3). Найдем ядро Кег Г. Пусть Р„= А. Р„А' для любой зрмитовой матрицы Р„(условие Гл = б).
В частности, при е = (1,0,0,0) имеем Р = Е и АА' = Е, откуда А* = А Таким образом, АР„= Р„А. Выбирая различные независимые матрицы Р„, получим А = оЕ, а так как с1е1А = 1, то о = ~1. Стало быть, Кег Г = (~Е). ГИы получили следующее утверждение. Теорема 1. Соответствие Г: А ~-» Гл между комплексными мап»рицами второго порядка с от»ределитпелем 1 и собсп»венньлми преобразованпями Лоренца является гомоморфны отображением группы ЕГг(С) на группу Ьь всех собственных преобразований Лоренца.
Каждому собственному преобразованию Лоренца отвечают ровно две комплексные матрицы А и —.4, различающиеся лишь знаком, Имея в виду теорему 1, часто группой Лоренца называют КТа(С), хотя правильнее было бы говорить о факторгруппе КХз(С)ДхЕ). Так как по определению форма 4(х) инвариантна относительно преобразований Лоренца, то зти преобразования переводят в себя поверхности 5,, заданные уравнениями з д г д 1 — х» — х1 — хз — — с, с е К.
Если с > О, то 5, двупо.постный гиперболоид, если с. ( О, то 5„ однополостный гиперболоид; наконец, Ео конус (терминология, заимствованная из аналитической геометрии трехмерного пространства, будет активно использоваться нами в следующей главе). На каждой из зтих поверхностей (в отдельности на каждой полости гиперболоида или кону.са) Г в лвляется движением в том же смысле, в ус 1. Пространства с ендефпнитной метрикой 215 каком ортогональный оператор на Р' определяет движение на сфере Я" л (движение преобразование, сохраняющее расстояние между точками).
Верхняя полость двуполостного гиперболоида — х,— хз — хе=1, 1>0,. 2, 2, 2,2 с определенной на ней группой движений 1 е (или Яьа(С)) представляет собой одну из моделей пространства Лобачевского А'. Мы не будем пока останавливаться подробно на самом понятии пространства Лобачевского, но обратим внимание на одно обстоятельство.
Группа движоний С какого-либо пространства Я лишь тогда представляет интерес, когда любую точку р Е о можно перевести в любую друтую точку д б э' некоторым движением д Е С: д(р) = д, или, что эквивалентно, любая точка д с Я являетсн образом относительно д к С некоторой фиксированной точки ро Е В. Мы уже отмечали в з 3, что группа А)1(А) действует транзитивно на аффинном пространстве А, а 1во(Е) на евклидовом пространстве Е. Группа Сап) действует, очевидно, транзитивно на сфере ян ' С Йо (как это проще всего обосновать?).
Покажем теперь, что собственная группа Лоренца Ь л транзитивна на А . Для этого точке х = (1,хмхюхз) е А сопоставим, как и ранее, эрмитову матрицу Р„1сль 15)). Она будет положительно определенной и иметь определителем 1. Как нам известно, любую такую матрицу можно представить в виде Р„=А А'=А(1 ", )А*, у о где А = ( ) — комплексная матрица с определителем 1. Это у1 01 и означает, что Р„полу.чается из фиксированной матрицы ( ) при помощи движения Гя. Стационарной подгруппой Ь~~, точки хо = 11,0,0, 0) служит совокупность всех Гя с (О 1) (О 1)' Другими словами, А А* = Е. Так как еще с1есА = 1, то мы заключаем, что Ь+ = ЯП(2) 1~~Е) = ЯО(3) (последний изоморфизм будет установлен в ~ВА П1); нам он пока не понадобится).
Движения пространства Аз называют еше гиперболическими аращен ями. 216 Гл. 2. Аффннные. и евнлидовы точечные пространства УП1зАЖНЕНИЯ 1. Рассмотреть подробно вторую возможность для действия оператора У 61ы 2. Доказать, что босГл = 1 лля линейного оператора Гл, определенного в п. 4. 3. Доказать, что гомоморфизм является на самом деле эпиморфизмом,т.е. отображением навею группу Ьт. 4.
Прочитать В 12 в части 2 учебного пособия 12],чтобы усилить для себя физический аспект, присущий пространству Минковского и грузие Лоренца. ГЛАВА 5 КВАДРИКИ Геометрические фигуры аффинной и евклидовой геометрий, которые будут изучаться в этой главе, знакомы читателю из курса аналитической геометрии. Используемая терминология кривые, поверхности и т.д, та же самая. Но мы уже видели в конце предыдущей главы, что возникает настоятельная необходимость выйти за пределы трехмерного пространства.
Чисто алгебраическая классификация поверхностей 2-го порядка в многомерных пространствах не очень сложна: надлежащий аппарат имеется в нашем распоряжении, хотя наглядное геометрическое воображение, вероятно, отойдет па второй план. Важное место займет изучение геометрических объектов с проективной точки зрения.
3 1. Квадратичные функции 1. Квадратичные функции на аффинном пространстве. Пусть А аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством И размерности и над полем ус Будем смотреть на Я как на одномерное аффинное пространство Я,. Например, множество Й вещественных чисел есть в то же время вещественная аффинная прямая Б = К, на которой действует одномерная аффинная группа (см.
'з 1, 3 гл. 3). По аналогии с билинейными формами ~: Г х à — » Я определяются биаффинные функции. Определение 1. Функция Ф: А х А -» зг называется биауд»инной, если Ф(р, »)) при фиксированной точке р е А или при фиксированной точке д является аффинным отображением ц ~-» а Е Й„(или р ~» о Е Я,). Биаффинная функция называется сил»л»еп»дачной, когда Ф(р, д) = Ф(я, р) Чр, д Е А. ГИы не будем доказывать тот факт, что если выбрать какую-то точку о Е А в качестве "начала' и положить р = о+ х, ц = о+ у, то любая биаффинная функция Ф выражается в виде Ф(д+ х о+ у) = ((х у) + ((х) + ('(у) + дю (1) где 1" билинейная форма на И, а ус = Ф(о, о) скаляр. Зафиксировав вектор у = а и положив 6(о) = 1'(а) + р~, РА(х) = »"(х,а) + 1(х), мы без труда убеждаемся в том, что действительно отображение р = о+ х ~-» Цб+ х) = 6(о) + РА(х) 218 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
