1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Теорема 6. Собственное движение. 7' трехмерного евклидова пространства Е является всегда винтовым, т.е. 7 сводится к сдвигу вдоль некоторой прямой и вра~цению вокруг этой же прямой ( винтовое движение включавт как чистый сдви", так и чистое вращвние). Нвсобстввнное движение есть отражение относительно некоторой плоскости П, соединенное либо св сдвигом на ввктор, квмпланарный твй же нлоеквстп, П, либо с врашенисм на угол, у вокруг прямой, перпендикуллрнвй плоскости П (нри р = и получается симметрия отнвситсльнв гавани).
Из теоремы 6 в качестве частных случаев вытекакгт теорема Эйлера (1776 г.), согласно которой всякое перемещение твердого тела с одной закрепленной точкой о представляет собой вращенив вокруг некоторой оси (проходящей через точку о), и теоремы Шаля (1830 г.) о том, что любое перемещение тела может быть осуществлено путем поступательного перемещения тапа вдоль некоторого направления и вращения вокруг оси с этим направленном. 4. Линейная геометрия, отвечающая группе.
В соответствии с точкой зрения, ставшей общепринятой более 125 лет назад и впервые четко изложенной в "Эрлангенской программе" Ф. Клейна (1872 г.), под геометрией счедует понимать совокупность инвариантов данной группы С. Пусть Г некоторос множество, или, как мы еще будем говорить, пространство точек, С вЂ” — какая-то подгруппа в группе всех биективных отображений à — ь Г. Предметом гвометрии, 202 Гл. 2. Аффсснньсе и евклидовы точечные проелпранетва отвечающей С, является изучение тех свойств пространственных фигур (или пространственных конфигураций точек) в Г, которые остаются неизменными при действии преобразований из С.
Все фигу.ры разбиваются на классы С-конгруэнтных фигур. Именно, фигура Фс объявляется конгруэнтной (или равной) фигуре и Фя (Фс ' Фг), если Фг = д(Фс) хотя бы для одного элемента д Е С. Из аксиом группы непосредственно вытекает, что конгруэнтность является отношением эквивалентности, т.е. справедливы свойства: сс 1) рефлексивность (поскольку Фс ' Фс с=~ Фс = е(Фс), е единичный элемент группы С; 2) симметричность (поскольку Фг = д(Фс) ==я. Фс = д ~(Фг), — 1 о и д е С и, стало быть, Фс ' Фг <е Фг Фс); 3) транзитивность (так как Фс = д(Фг), Фг = 6(Фэ) ==~ Фс = = (дЬ)(Фэ)). Таким образом, классы конгруэнтных фигур не пересекаются.
Рассматриваемые в линейных геометриях пространства Г являются либо линейными (векторными) пространствами. либо пространствами, производными от линейных. Ближайшими к нам примерами служат; евклидова геометрия (Г = К, С = 1во(Е)) и аффинная геометрия (Г = А, С = АК(А)). Уже эти две геометрии различаются множествами изучаемых фигур. Элементарная евклидова геометрия на плоскости имеет дело с прямыми, углами, треугольниками, окружностями и т.д.
и с соотношениями между линейными и угловыми элементами различных фигур. В аффинной геометрии приходится отказаться от всего, что обусловлено расстоянием между точками. Остановимся на некоторых простейших свойствах фигур в аффинной и евклидовой геометриях. Теорема 7. Преть (К, 1с, р) — евклидова пространство. Любые две плоскоспси П, П' Е Е тогда и только тогда С-конгруэнтнсл (С = 1во®), когда с1пп П = с1цп П'.
В частности, все точки конгруэнтны. То эке самое верно в случае аффинного пространства (А,1') и группы С = А11(А). Доказательство. Действительно, если П = р+П, П' = р'+Г и се(П) = П', сл Е С, то Р се(Гс) = Г', а так как с1ес эе:= с)еС Рэе ~ О, то с1пп Гс = йш сп, откуда по определению с1пп П = йш П' . Обратно: пусть йшП = йшП' = т. Выберем в Гс (соответственно в Г') ортонормированный базис (еы, .,, еы) (соответственно (е'„..., е,'„)) и дополним его до ортонормированного базиса ее (соответственно е';) всего векторного пространства у'.
Существует ортогональный линейный оператор У: 1с — ь Г, для которого Уе, = е',. Движение 1 с 1(р) = р' и Р) = У будет переводить П в П'. В случае аффинного пространства (А, 1') рассуждения совершенно аналогичны. Не нужно лишь заботиться об ортонормированности и ортогональности. П у Х Группы и геометрии 203 Отмеченную в формулировке теоремы 7 конгруэнтность точек выражают еще словами: группа С действует транзитивно на точках пространства Е (соответственно А). Транзитивность -- важнейшее свойство группы С и отвечающей еи геометрии, без которого мы лишились бы возможности "сравнивать" различные фигуры.
В случае аффинной геоътетрии группа АЯ'(А) обладает гораздо более сильным свойством. Теорема 8. В афт(тинной геометрии любые две систаемы (ро,... ...,р,„) и (ро,...,р' ) в (А„1') иэ та+ 1 точек, 0 < пт < п, находящихся в общем положении, конгруэнтпны. Доказательство. Дополним данные системы до систем точек (ро......,ри) и (р',...,р'„), и = т11шА„также находящихся в общем положении. По определению это значит, что векторы (ет = рттр(,..., е, = роДр составляятт один базис пространства Р, а (е', = ртор,,..., е'„= рор„) другой базис. Найдется невырожденный линейный оператор У; 1г -~ 1т с Уе, = е', Почожив У(ро+х) = = р'„+Ух, мы получим искомое аффинное преобразование 1: А в А, переводящее р, в р'„т, = О, 1,..., п. П ,Ясно, что теорема 8 перестает быть верной в евклидовой геометрии уже при т = 1, ибо для 1во(Е)-конгруэнтности пар точек р, т) и р', дт необходимо, чтобы вьчполня чось условие р(р, д) = р(р', тч).
Впрочем, это условие и достаточно, что можно у.смотреть из доказательства теоремы 7. Геометрический смысл аффинных автоморфизмов виден также из следующих рассуждений. Рассмотрим произвольное биективное отображение Р: А — т А, для которого рМ = Лр4 ==р УЯ~(в$ = ЛЯр)йу утЛ Е К (15) (поле й! здесь можно заменить любым другим полем). Геометрически это значит, что т переводит коллинеарные точки в коллинеарные или, что то же самое, аффинную прямую отображает на некоторую другую аффинную прямую. Положив У(ру) = т'(р) У(т1, мы видим (при Л = 1), что отображение У: Ъ' -в 1е не зависит от выбора точек г, й Е А, для которьст те = ру, а целиком определяется самим вектором ру. Докажем, что определсунное так отображение У' линейно.
Условие У(Лчт) = ЛУ(и) вытекает из опредечения У' и из условия (15). Любые два вектора и, чт Е Ъ' можно представить в видо и = ртт, и = дФ для некоторых точек р, т), г е А, поэтому и+ чт = ру + ф = рт. и У(п+ ъ) = У(тт) Р(г )= Р р) Р(о) + ~ЯЯ = Уп+ Уи. Стало быть, У -- линейный оператор на Ъ'. Для любой точки д = р+х имеем 1(т)) = Р(р) + 7 Я Р(т1). ~Я Я = У(ртЯ = Ух, 204 Гл. 4.
Аффвнныв и ввклидввы точечные пространства откуда З'(р+ х) = З'(р) + Ух, т.е. биективное отображение д', обладающее свойством (15), обязательно является аффинным преобразованием. Обратное также верно: если 1 аффинный автоморфизм с линейной частью У и если гв = Лрд, то У(гв) = ЛУ(~~). Но Д19) = = д(г+ гв) = ~(г) + У (гв), так что У(гв) = УЯ У~в . Аналогично, У (рад) = 1(р) УЦ . Нами доказана Теорема 9. Свойство (15) биективнвгв отображения У: А -у — ~ А лвллетсл характиеристическим длл аффипных преобразований.
Рассмотрим теперьспециальныйслучай,когдар,д,г три точки на одной прямой (как говорят, квллинеарные. точки) и р ф- ф Тогда найдется такое число Л, что (15') Определение 2. '1исло Л в формуле (15') называется простым вхпнвшвнигм коллинеарных точек р, д, г и обозначается ~р, д, г). Понятно, что из теоремы 9 вытекает След с т вне. Аффипное преобразование 1" пространства А сохраняет коллинеарнвсть тачек и простое отношение тройки коллинварных то чек.
Формула (15'), переписанная в "аддитивной" форме г — р = Л(д — р), означает попросту, что любая то ~ка й на прямой П. 4 записывается в виде т = (1 — Л)р+ Лд. В частности, в аффинной геометрии имеет смысл отношение между: образ внутренней точки г, 0 < Л < 1, остается внутренней точкой отрезка рд. Мы уже отмечали раньше, что длина отрезка . понятие евклидовой геометрии, но середина отрезка аффинное понятие.
5. Аффинные преобразования евклидова пространства. Эффект воздействия аффинных преобразований в окружая~щам нас мире наблюдается повсеместно. Простейший пример -- растяжение резиновой ленты. Отметим более аккуратно еще несколько фактов. В ~ 2, п. 4 мы условились понимать под объемом и„паралеллограмма Р(бр„..., ор„) со сторонами ор„..., ора величину и„= ) с1ес (а, )ф, где (ац) — матрица перехода от ортонормированного базиса (11,... ...,Г„) евклидова векторного пространства Ъ' к базису (ем ...,е„), е, = оро 1 = 1,..., и.
С другой стороны, если д аффинный автоморфизм с линейной частью Д, то объемом параллелепипеда, построенного на векторах Цеы..., Цеа (то щее, на отрезках, отождествляемых с этими вектоРами), бУдет и,', = ~ дсс(бдь)~, где матРица (Ь ь) вычисляется по следующему правилу. Пусть у у. ! руины и геометрии 205 Тогда ) Ь,ь~,:= йеь = ~~~ а ьй! = ~~~ а,ь~ ~д„~! = ~ (~ ~дз!а,ь) $ ! т.е. Ь ь = 2 ', дз!а,ы откуда Следовательно, О'„= ( ЙЕ1(Ьзв)( = ) С1Е1С) ив = ) дгхд! . ин.
Мы пришли к следующему выводу. Теорема 10. При аффинном преобразовании п-мерного евк- лидова пространства объем параллелепипеда, построенного на и векторах, умножается на абсолютную велпчину ог!ределип!еля пре- образования. Другими словами, при аффинном преобразовании от- ношение объемов параллелепипедов сохраняется. То же самое относится и к объемам любых других фигур в ев- клндовом пространстве. Следующее утверждение имеет наглядный геометрический смысл.
Теорема 11. Всякое невырожденное аффинное преобразование 1' и-мерного евклидова просгпранства (Е, Е) есть произведение: 1) сдвига на некоторый вектор; 2) движения, остаавляющеео неподвижной неко!ворую !ночку о; 3) аффинного преобразования 6, являющегося композицией и сжатий (растяжений) вдоль взаимно перпендикулярных осей, пере- секающихся в точке о. Доказательство. Действительно, согласно теореме 2 = Ь . д, где д(о) = о для некоторой точки о. Если й - линейная часть преобразования д, то согласно теореме 15 из у 3 гл. 3 й = РН, где с! — ортогональный линейный оператор на Г, а Я вЂ . положи- тельно определенный симметричный оператор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
