1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 38
Текст из файла (страница 38)
По координатам хл,...,х, вектора х барицентрические координаты точки ро+ х восстанавливаются однозначно в виде н 1 — Ел=-лхе =хо, хл, ", хн Рассуждая несколько иначе, предположим, что (о; ел,..., е„) †. какой-то репер пллюрного аффинного пространства А, Пы — единственная т-мерная плоскость, проходящая через точки ро, рл,..., р, находящиеся в общем положении, и х',..., х'„, 0 < л < т,, — их координаты.
Тогда координаты хл,..., х„любои точки р Е П„, однозначным образом выражаются в виде: х = хо + Лл(х' — хо) + ... + Л,„(х'а — хо) у = 1.2 ... п. (7) Эти уравнения способ так называемого параметрического задания плоскости П . Мы достигнем болыпей симметричности в записи, если введеъл параллетр Ло, связанный с Лл,..., Л„, соотношением Ло+ Лл +... + Л„= 1, и перепишем (7) в виде :г = Лохе+ Ллтл+...
+ Л х"', 7' = 1,2,...,п, (7') Барицентрическис комбинации хорошо согласованы с аффинными отображениями, как зто видно из следующего утверждения. 182 Гл. ф Аффннныг. и ееклидоеы точгшныс просглранстеа Предложение 2. !) Пусть 1": А -~ А' —. Оффиннос отлображение и ро,...,р,„Е А. Тогда ф (~- х,р,) К; хгф Р!) С; х, г=о г=о г=о й) Пусть улочки ро,рг,...,Ра задают, барииенпгрическую систе- лгУ кооудинат в А. Тозда длл любых точек Чо, Ч1, ..., Ч„Е А' сУ- ществует единственное аффлнное отображение у, длл которого !'ЬР.) = Ч„! = О, 1,... г гп 1( ~ ~х,р,) = 1(р+ ~ ~х!1рг — р))= г=о"' г=о ш = фФ+Тф(~,х,Ы1-Ф)) = йр)+ ~ хгюф(Р,-Р) = г=о = йр)+ ~ х (У(р.) — У(Р)) = ~ х фиг !==о г==о что доказывает утверждение !). Так как всякая точка из А представляется единственной барипентрической комбинацией, то теоретико-множественное отображение 1: А — ! А' можно определить формулой 1 (~' Хгрг) Х~' ХгЧг.
Это единственно возможное определение в силу !)г и нужно лишь проверить, что 1" - аффинное отображение. Действительно, и и и и 1 (~' хгрг) ф (х' Угр г )= ~', Хгуг ~' Угуг = г=-0 г.=о г=о г=-0 = Чо+ ~~', хДЧ вЂ” Чо) — (Чо + ~~', Уг(Чг — Чо)) = г=1 г=! и п и — уг)(Чг — Чо) =.~11(~х!Рг — ~ угрг), г=-1 г — — О г=-0 где Пу: Ъ' -0 1" — линейное отображение, переводящее р;, — ро в Ч, — Чо для всех ! = 1,..., п.
Оно существует, ибо по предположению гР! — Ро, ,Рп — ро) --. базис векторного пространства 1г, П Н р и и е р 3. В пешестпепной аффинной плоскости А и качестие репера можно паять пер!пины любого иеаырождеиного треугольника. Гели, скажем, 1!го,о), !О, 1, 0), 10, О, 1) барипентрические координаты вершин треугольника, то !1гг3,1гз,!/3) --- барипеитрические координаты его пеитра тяжести. Доказательство. Выбрав точку р Е А„в соответствии с предложением 1 получим д' К Аффеенные проеп2ронетоо 183 1(р) = Дб+ ор) = ~ ~а,х, 1=1 где ао = 1(о), а, = Р1 е„орп = х1е1+... + Обратно; осли значения функции 1; А — 1 мУле (8) и ч = г1е1 +...
+ гпеп, то согласно п Д(р+ ч) = ~ а,(х, + г,) + ао —— (8) 2 пЕп. Й вычисляются по фор- теореме 2 = (~ аех, + ао) -Ь ~~ ассе = Д(р) + Ру'. ч, т.е. 1 — аффинно-линейнзя функция. Замечание. Положив (Л1 + 11д)(р) = Л)(р) + рд(р), В(Л)+ +рд) = ЛР( + рРд, мы обнаруживаем, что множество о всех аффинно-линейных функций А — 1 .й наделено структурой векторного пространства: если у,д Е о, то (Лз + рд)(р+ ») = ЛД(р+ ъ) + рд(р -~-ч) = = Л(1(р) + Ру ч) + р(д(р) + Вд ч) = = (ЛУ ~- рд) (р) + (ЛРУ + рРд) ч = = (Л у + 11д) (11) + (Р(Л,(+ пд)) . », т.е.
Лу -Ь рд Е о. Теперь Р можно интерпретировать как линейное отображение о — 1 Г*. Ядром Кег В является прямая ое в о, состоящая из постоянных функции. Обратимся еще раз к системе линейных уравнений а11х1 + 012х2 + ° ° + о1 х — 61 ОпнХ1 + От2Х2 + ° ° + О~пили — оп, которую можно записать в виде (д') 6.
Аффинно-линейные функции и системы линейных уравнений. Пусть (А, г ) аффинное пространство над полем й. В соответствии с определением 2 отображение 1; А -1 11 называется оффинно-линейной функцией, осли 1(р+ч) =Д(р)+Ру ч ЧрйА, ч йГ, где Ру Е Г* линейная функция на Г, называемая, как и ранее, линейной частью (или дифференциалом) функции 1. Константы, т.е.
скаляры, относятся к аффинно-линсиным функциям с равными нулю линейными частями. Выбрав систему координат (о; е1, ... еп) и обозначив через х1,... ..., хп координаты точки р Е А в атой системе, мы выразим значение функции 1 в виде 184 Гл. 4. Аффпнные и твклидовы твчежные простпранетва где 1; .. аффинно-линейная функция; 1,(р) = ~ ~аохг — Ьь г=т (10) Р~т х=О, ..., Р~, х=О.
Здесь РД - линейная часть функции (); Р); х = ~ а, х . Решения системы (10) образуют, как мы знаем (см. гл. 1, г 3, п. 5), надпространство Ьт С И размерности п — т, где т ранг системы Руы ...,Ру . Таким образом, совокупностью решений системы (3) бУдет плоскость П = Ро + (т РазмеРности и — т. Обратно:любую плоскость П = ро + Ьт С А можно задать системой линейных уравнений. Действительно, согласно теореме 4 из г 3 гл.
1,векторное надпространство Ьт С И размерности п — т' является пространством решений системы уравнений вида (10), имеющей ранг т. Далее, по определению точка р принадлежит П тогда и только тогда, когда рф й П, Если хы,.,,хп --- координаты точки р в выбранном репере, а хвою ...,х"„ координаты точки ро, то ро1г = ~ (х — хо)ем и система (10) принимает вид ао(х — х ) =О, у=т г = 1,...,тп, или аоху = Ь„т = 1,..., т, Е з.=т где Ь, = ~ хо. Ранг этой системы по-прежнему равен т. г 1 Итак, доказана Теорема 6. Пустпь А —. аффинное пространство размерности и. Множеслпво тпочек, из А, координаты котпорых удовлетпворяют сов,местной системе линейных уравнений ранга т, образуют (и — т)-мерную плоскость П С А.
Любая плоскостпь в А жожегп быть так получена. В частности, гиперплоскость задается одним линейным уравне- нием агхт + агхг + .. + а„.т„= Ь. Предположим, что система (9) совместна и хо,...,х,", одно из ее решений. Принимая хы, хп за координаты точки ро в некотоо о ром репере (о; ет,...,е„) (так что гг(б) = — Ь,) и условившись для краткости называть саму точку ро решением, мы на основе известных фактов приходим к выводу, что любое другое решение системы (9) или (9') имеет вид р = ро + х, где х е "т' удовлетворяет системе линейных уравнений Ь' к Аффпнные проеспрвнетвв 185 Оставив в системе (9) лишь с < т линейно независимых уравнений (линейно-аффинных функций 7",), мы на любую плоскость П размерности п — г можем смотреть как на пересечение г гиперплоскостсй. В случае несовместной системы линейных уравнений пересечение гиперплоскостей пусто.
7. Взаимное расположение плоскостей. Пусть (А, 1с) -- аффинное пространство разлсерности и. Обобщая понятие параллельности плоскостей одинаковой размерности (см. определение 5), введем следу юшее Определение 9. Пусть П' = р+ Г, П" = с) + Г" (Г, Г' векторные подпространства в 1' размерностей Ь, 1) и Ь < Е Говорят, что плоскость П' параллельна П", если Г' С Г. В случае Ь = 1 мы возврагпаемся к прежнему понятию параяяе.пьности.
Если П" С П', то условие параллельности автоматически выполняется. Учитывая установленное нами соответствие между плоскостями и системами линейных уравнений, мы можем утверждать, что справедлива Теорема 7. Для любой плоскости П С А и любой точки с) Е Е А найдетпся, и притом единственная, плоскость П' размернвегпи 81сссП' = 81шП, првхвдящ я через точку с) параллельно П. Если с) Е П, тв П' = П.
Если с) ф П, то П и П' не пересекаются. В частности, параллельность двух гиперплоскостей П и П', заданных в одной и той же системе координат уравненилми а,хс+... +а„х„= Ь, а,х(+... +а„х„= Ь, означает попросту пропорциональность коэффициентов ссри переменных: а', = Лао 1 = 1,...,и; а совпадение П = П' наяагает, естественно, еще одно ограничение Ь' = ЛЬ с тем же Л е .н.
Определение 10. Непараллельные и непересекающиеся плоскости П, .П' С А называются скрещивающимися. Качественную картину взаимного расположения плоскостей подкрепим некоторыми количественными оценками. Во-первых, если няоскости П' = р+ Г, П" = с) + Пп пересекающиеся и о -- их общая точка, то, как мы знаем, аффинная оболочка имеет вид П;= А(П', Пн) = о+ И; Иг = Г+ Г'. Но в таком случае по теореме 6 из Ь 2 гл. 1 имеем т:= с1пп П = с1пп И' = Й + 1 — с, где Ь = с1пп Г, 1 = с1пп Г', 1е > 1, 1 = с11сп (Г П Г'). (11) Если пересочение П' О П" пусто, то рассмотрим векторную прямую 1'ь — — (Л рд ( Л б Я) и подпространство 11г Г + Г' + 1г 186 Гл.
4. Аффиииьсе и еаклидоаьс точечные. просщраисспаа Так как рс) р Г + Г" (см. упр. 4.4.1), то т = с))шП = с))ш (Г+ Г') + с1цп)г! — — А+ ! — з+ 1. Плоскость П' = р+ 11", очевидно, содержит П' = р+ Г и П" = = с) + Г" = р+ р~ + Г' С р+ Г'+ 1с. С другой стороны, всякая плоскость, содержашая П', П", содержит вектор р! и прямую 1гы а потому содержит П'. Другими словами, в случае П' й П" = Рс имеем равенство П' = А(П', Пн). Таким образом, = сП цсП', Па) = 1Р А + ! — з, если П' й П" У) И, (12) ) А+! — з+1, если П'йПп = О.
Четверка (г,)сЕт), 0)1)1)!)т)в, (13) целых чисел, определенных соотношениями (12), вполне характеризует взаимное расположение плоскостей П', П". Пример 3. Пусть (А,нз) трехмерное веспественное аффинное пространство, П', Па две прямые в нем, так сто и = 3, А = 1 = 1. Разные случаи взаимного расположения прямых в Аз достаточно очевидны и изображены на рис. б. П'=Пи Рис. б Попробуйте представить скрещившощиеси плоскости размерностей 1 и 2 в четырехмерном вещественном аффинном просгранстве. УПРАЖНЕНИЯ 1.
Проверитьч что П' = р-~- 1Я, Пи = 4-~- Уи являются пересекающимися, т.е. имеющими хотя бы одну обшусо точку, ровно тогда, когда рч е сг + пи 1ссь со следствием теоремы 4). 2. Пусть А1Пы...,нв,) аффинная оболочка прямых Пы...,П в вещественном и-мерном аффинном пространстве А При каком минимальном т имеет место совпадение ЛСП', , П ) = Ау 3. Пусть сро,ры ...,Р„) репер аффинного пространства А размерности и и (р'„, рсы...,р'„) — набор из и+ 1 точки аффинного пространства А'. Доказатьи у 2. Евклидовы (спеченные) прогтрансгпва 187 чго существует н гочносчи одно аффинное отображение у: А э А', для которого з'(рд) =р'„э =о,ц 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
