1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Чаще, однако, систему ортогональных многочленов 11рп(с)) нормируют не интегральным условием ~~ув„(1) ~~ = 1, а каким-нибудь локальным соглашениелс одного из следующих типов: 1) 1р„(1) — нормализованный многочлен степени и, т.е. ло„п = и.; 2) р„(1) = 1. В любом случае получаются системы пропорциональных векторов (фу.нкций), поскольку. условие ортогональности записывается одинаково: 1 ~1Р,Я~И = О, А = О, 1,..., и — 1. — 1 Последовательно полагая и = 1, 2, 3,...
и выбирая нормировку типа Ц, получаем систему ортогональных многочленов ио(1) = 1, и1(1) = С, изЯ = 12 — —, плЯ = лз — -1, ... (10) рассмотронных более двухсот лет назад (1785 г.) французским математиком Лежандром в связи с задачами теории потенциала. Общая формула для них была получена позднее, и теперь многочленалли Лелсандра называют систему ортогональных многочленов ~п(12 Цп Ро11) = 1, Рп(1) = „,, и = 1,2,...., (11) с нормировкой типа 2): Р„(1) = 1. Вот несколько первых многочленов: Рз(ь) = — (31 — Ц, Рз® = -(51 — 31), 2 з Ро(1) = 1, Р1(1) = 1, Проверим, что действительно многочлены 11 ~) обладают нужными свойствами.
Но формуле бинома Ньютона имеем 112 — 1)" = ~ ( — 1)ь ( 1121"-ь~ = 1'" — пез"-2 е .. 1йl л=о 166 Гя, 3. Векщорные пространства со скалярным произведением Позтому 1 Р (!) = (2п(2п — Ц... (т! -!- Цс" .~. члены степени < и — 2) = 2вп! (2п.)! -1- члены более низкой степени (12) 2 (и!)2 Это показывает, что бек Р„(!) = н, причем мы получили одновременно выражение для старшего коэффициента многочлена Рп (1). Далее, применяя к многочлену (!2 — Ц" = (1 — Цп(!-!- Ц" формулу Лейбница н-кратного дифференцирОвания произведения, получим д" т! дс ач! — Ь вЂ” „((! — Ц" (1 ~ Ць) = Е (н) — „(1 - Ц" „, (! Ц" ь=о Н" Так как при й < и многочлен — (! — Ц делится на 1 — 1 и, следовательно, д!ь обращается в нуль при С = 1, го Р„(Ц =, ( ) [ — (1 — Ц~)(1 т Ц" /, 1 — — 1 н1 2 =!.
Заметим. кстати, что при и! < и формула лейбница т-кратного дифференциро- вания произведения (! — Ц" (!. + Ц" даст нам многочлен, делящийся на 1 — 1 и на !-!-1, т.е. д" Ц: (! Ц ' от(1) ° и! < и. дс Стало быть, д~ ! — (!2 — ц", т,<п, о2 ' — многочлен, обращающийся в нуль при 1 = ж1. Используя теперь правило ин- тегрирования по частям, проведем проверку условий ортогональпости Р (!) к функциям 1, с, ..., !" '.
Имеем Постепенно понижая показатель при с,придем к окончательному равенству д — ь — 1 2" п. (1" ~ Р„(2)) = (-ц" й! ь, (12 — ц' = 0. Косвенным образом мы не только доказали понарную ортогональность много- членов Лежандра (Рь(!))Р!(!))=0, йФ1, но и получили выражение для членов последовательности (10)! 2" (и') 2 и„(1) = Ро(1), н = 1 2,... (2п)! 11" 2 а! (!1 Р„(Ц) = / 11 — (12 — Ц о2 = —./, ди дв — 2 ась — 1 (12 д! д -1 (12 Ц" си =- де" гч ф й(й — Ц у( Ел-', (!2 — Ц" д!. у' б. Оргногонольные многочлены 167 Действитшьно, из общих соображений мы знаем, что ивОО и Р„'СС) мос уг отличатьсл лишь постоянным множителем, и сравнение старших козффициентов Сом.
формулу 112)) дает нужное соотношение. Предвагается проверить, что гз (Р,41)~' = Р'(1)лс = 113) 2н -~- 1 Положим временно ю„= 1сг — 1)". При помощи формулы Лейбница (п + 1)-кратного дифференцирования произведений, стоящих в обеих частях тождества — 1) — ю = 2псю,, д о — и, получим со-~-В зо-г1 1сс (1г — 1) о , юо+ 2(п+ Ц1 юо+ (и+1)п — 'ю„= ла-~-1 ,1гс = 2п1, ю„+ 2п(п+ 1) — ю„. ,11о:~-1 сфо Умножив все члены этого равенства на 1сс(2впс) и воспользовавшись телс, что 1 с1" , — ю„= Р„с,с), мы придем к дифференциальному соотношению д д ф — 1) — вР„,(1) + 2Х вЂ” Р„(1) — п(в+1)Р„,(1) = О. (14) Рассмотрим на пространстве Сг( — 1, 1) линейный дифференциальный оператор сР 4 41., 41 о = (с~ — 1) —,, + 21 — = — ~(сг — 1) — ~ с11в с1с с11 " сН~ с областью определения Сз ( — 1, 1), где, как и ранее (см.
п. 4), берется пространство дважды непрерывно дифференцируемых функций с обычным скалярным произведением. Оператор Б самосопряжен, как это вытекает непосредственно из общих формул (е), .(ее) в конце п. 4. Равенство (14),переписанное в виде 5Р„(1) = п(п+ 1)Р„(1). (15) показывает, что многочлен Р„ф является собственной функцией самосопряженного линейного оператора о, отвечающей собственному значению Л = и (п + 1). Итак, уравнение ол(1) = п(11 + 1) х(с) допускает ненулевое решение и = Рос',с). Если бы размерность собствонного подпространства Ид была больше единицы, то в 1Уд существовал бы вектор у(1) у': О, ортогональный к Р„(1).
Так как собственные подпространства самосопряженного оператора взаимно ортогональны: (1У" ~1 ) = О, Л Ф р,. 168 Гл. Я. Векторные пространства со столярным произведением то вектор у(1) ортогонален ко всем Р (Ь), 1' = О, 1,... Это, однако, противоречит полноте системы (1Ц, вытекающей из теоремы Вейерштрасса. По той же причине оператор о не имеет собственных значений, отличных от п(п + 1), и = О, 1,... Нами доказано (по модулю теоремы Вейерштрасса) следующее утверждение.
Теорема 3. Дифференциальное уравнение — ~(1г — 1) — л(1)~ = Ли(1) д ., д д! д! в классе дважды непрерывно дифференцируемыл функций на отрезке — 1 < ! < 1 имеелп решения только при Л = п(п+ 1), и = О, 1,2,... Каждому и оп!вечаеп! единственное с точностью до умножения на константпу ре!пение и(1) = Рь(!).
Все указанные решения образуют в Сг( — 1, 1) полную ортогональную еис!нему функций. 1'ассмотренные нами (весьма бегло) дифференциальные операторы —,, и — ~(1г — 1) — ~ принадлежат к более широкому классу так д!а д! М~ называемых операторов Итурма Лиувилля, играющих заметную роль в математической физике.
Замечание. Ъ'1ногочлены 2" (и!)г и„(у) = оьР„(!), оь = (2п)! из системы (10) обладают следующим интересным свойством минимальности. Среди всех нормализованных вещественных многочленов степени п многочлен и„(1) наименее удачен в среднем от нуля на отрезке — 1 < ! < 1. В самом деле, речь идет о минимуме интеграла е! 1(1") = / 1'(!)т а! для 1(!) = !о +... Е Щ. — ! Используя разложение 1(!) = Оь~ ь(1) + Ть — ь1ь — ь(!) +.
+ !!Р!(1) + То б Е Ж попарную ортогональность многочленов Рь(1) и формулу (13) для //Р„(1) //, получим выражение 2о„ г ь — ! 2п+ 1 ~-~ 2!+ 1' !.=о которое, очевидно, достигает минимума при !! = О, О < ! < и — 1. 7. Ортогоналнзацня с весом. Непосредственным обобщением многочлснов Лежандра сяужат многочисленные семейства функций, получающиеся следующим образом. Пусть на отрезке и < ! < Ь за- у' 5. Ортогоналлнме иноеонленм 169 дана неотрицательная функция р(1), которую мы будем называть ве- совой функцией.
Рассматривается векторное пространство 1'(~р(1) ) = (ХУр(1)1'/ 1с = О, 1,2,...) или его конечномерное подпространство 1„(,Гр(1) ) = (,р(1) Г' Р < й < н — 1) . Встает вопрос о выборе в Г(Х/р(1)) (или в Ъ'„( Я~) )) орто- нормированного базиса. Обычный процесс ортогонализации Грама— Шмидта приводит к системе функций (;/р(1)СД„(1)), Я„(1) е Щ1), с1е8Я„= п, п =0,1,..., удовлетворяя>щих условию ;ь (,/р(1)С~ (1)/,/р(1)0„(1)) =/ р(1)1)„,(1)С)„(1) 11=5 „. а Говорят, что Я„(1)) - — ортогональные. многонлены, соответ- ствующие весу р(1). В этом смысле многочлсны Лежандра соответ- ствуют весу 1.
Мы могли бы с самого начала ввести новое скалярное произведе- ние (У~д)„„= ~ р(1) ~(1) д(1) а, lа и тогда речь шла бы об ортогонализации многочленов в прежнем смысло, но, как правило, предпочитают иметь дело с фиксированным скалярным произведением.
8. Многочлены с1ебышева (первого рода). Русский матема- тик и механик П.Л. Чебышев (1821 1894), обладавший разносторон- ними интересами, заложил основы теории аппроксимации функций. Ему принадлежат основные идеи обшей теории ортогональных мно- гочленов. Замечательная серия ортогональных многочленов Т„(1), н ) О, (а, Ь) = ( — 1, 1), соответствующих весу р(1) = 1/ /à — 1з, носит его имя. Вот их явное выражение: Т„Я = Д вЂ” 1з — (1 — 1 )" У = сов(п, агссов1). (16) ( — 2) "н'. яо — ~я (2п)! 11 о В частности, То(1) =1, Т,(1) =1.. Тз(1)=21Я вЂ” 1, Тз(1) = 41з — 31, Та(1) = 81~ — 81з + 1. Нормировка: 0 при тфи, т~2 при т=пфО, 170 Гл. У.
Векторные пространства со столярным произведением В связи с замечанием в конце п, б отметим, что многочлены Чебышева, наименее уклоняющиеся от нуля в том смысле, что максимум абсолютного значения ~-.,ьу:тд'„11) ~ на отрезке — 1 ( 1 ( 1 принимает наименьшее значение в классе всех нормализованных вещественных многочленов степени п. У п р а ж н е н и е. ! 1ро верьте, что выражение Е1б) правильно, и докажите, что многочлеп 1ебышева Х„Е1) лвллетсл собственным вектором с собственным значением пе дифференниального ос~ератора дз и Н вЂ” 1)— Шз де 9. Многочлены Зрмита. Е'ассмотрим вкратце многочлены Эрмита Н„® !правильнее многочлсны Лапласа «Еебышева Эрмита), отвечающие выбору а = — оо, 6 = ж, р(1) = е ' и получающиеся в результате ортогонапизации базисной пос.чедовательности одночленов 1, 1, 1з, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
