1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Явные формулы: НпЕ,"с) = Š— Ц "е~ — е Нв(1) = 1, Н! ф = 21, Нз(1) = 41з — 2, Нз ф = 81~ — 121, нормировка: е ' Н (1)Н„(1)сЫ= Е 2пзДЯ при т, = и. Это небольшое упражнение для читателя, овладевшего материалом п. 5. Надо только воспользоваться значением несобственного интеграла е еде=«гх и тем обстолтсльством,что на концах интервала Е-оо,оо) все про- 12 изводные функции е ' обращаются в ну.ль.
Далее, прямая индукция по п устанавливает справедливость следующего утверждения. Многочлен Эрмита НпЕ1) есть собственный вектор с собствен; ным значением — 2п диф!реренциальноео оператора сР К = —, — 21 —. д1з сй В математической физике полезны также функции Эрмита уц,(1) = е 7 Н„Е1) = ( — 1)пе 7 — е Докажем, что функция ф„Е1) яв яется собственным вектором оператора у б. Ортогонольные многочлены 171 с собственным значением — [2п+ 1). С этой целью рассмотрим вспомогательный оператор М= — — й с1'1 Легко проверить, что [Н,М) = 'НМ вЂ” МН = — 2~ — — 1) = — 2М. I а1 с)1 Отсюда следует, что если Г" -- собственная функция оператора 'Н с собственным значением Л, то Му есть собственная функция оператора 'Н с собственным значением Л вЂ” 2: 'НМТ" = [Н,М)Г" + МНГ" = — 2М7'+ ЛМГ" = [Л вЂ” 2)МТ.
Индукция по п приводит к соотношению 'НМ" 7' = [Л вЂ” 2н)М" 7. — 1' 2 З .1 — Р 2 Так как Не 1 12 = — е ' 1'-', то, заменяя Т' на е ' 12 и Л на — 1, мы 12 ~2 приходим к выводу, что Ч "е ' 12 есть собственная функция для 'Н с собственным значением — (2п + 1) при всех п > О. С другой стороны, индукция по и и непосредственные вычисления показывают, что 1о Е1'1'2 '" Е-1 Мпс-1 1'2 ,фл т.е. (1) ( 1)п 11п — гег'2 Тем самым все доказано. УПРАЖНЕНИЯ в1п ьг 1.
Тригонометрический ряд ~;~ сходится на И. Используя нера- 1 — — 1 гк венство Бесселя, показать, что он не является рядом Фурье никакой функпии 1 Е Сзс — 1г, и). 2. Получить рекуррентные формулы: 2п -~-1 п а) для многочленов Лежандра Р„тз)1) = 1Р„11) — Р 111)1 п-~-1 п,-~-~ б) для многочленов чебышева т„е1)с) = вст '11) — т„, 111)1 в) для многочленов Зрмита Н„тз[1) = 21Н„11) — 2пН 1[1). 3. Доказать самосопряженность дифференциального оператора б из и.
б непосредственно, не опираясь на обшуш формулу (ьь) из п. б. 1 .й ° ». Л,1= Л, 1 ° * - .М.в. служит Р„11)). 1 ~ 1 б. Доказать, что шах 1<1<1' Т Я~[— 172 Гл. 3. Векторные пространство со скалярным произведением 6. Доказатгь что многочлены Чебышева второго рода ) М и+1 й ~~ 12тД-1/ ортогональны на отрезке ) — 1, 1) с весом Л вЂ” Р: 7. Доказать, что все нули многочленов Т„(1),!1„11) вещесгвенные, попарно различны и лежат внутри отрезка — 1, 1). Указать эти нули в явном виде. ГЛАВА 4 АФсРИННЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ТОхйЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Нам, живущиля в трехмерном физическом мире (обозначаемом Ц), приходится иметь дело с точками, прямыми, плоскостями, расположенными причудливым образом относитечьно друг друга и не привязанными к какой-то выдеяенной точке — началу координат.
Понятно, что и в общем случае было бы желательно рассматривать геометрические объекты, которые получаются из прямых и сшоскостей, проходящих через начало координат, сдвигами. Другими словами, отвлекаясь пока от метрики, мы хотели бы сделать векторное пространство однородным, расширив его группу автоморфизмов при помощи сдвигов так, чтобы все векторы (теперь уже "точки" нового каффинного пространства") становились эквивалентными. В этой главе будут введены все необходимые определения и доказаны простейшие свойства аффинных пространств. З 1. Аффннные пространства 1.
Определение аффинного пространства. Как было отмечено выше, в любом векторном пространстве начало координат, ассоциирующееся с нулевым вектором, играет особую роль; при всех автоморфизмах пространства нулевой вектор остается на месте. Все векторы станут равноправными (или эквивалентными) только после расширения общей линейной группы за счет сдвигов (параллельных переносов) пространства. Чтобы этн соображения приобрели точный смысл, введем несколько опредечений. Определение 1. Пусть А — некоторое непустое множество, элементы которого мы будем называть точками и обозначать в р, д, 'й, Пусть, далее, р' -- векторное пространство над полем Я.
Множество А (а точнее, пара (А, Р)) называется вфсузинным пространством, ассоциированныля (или связанным) с Г, если задано отображение (р, и) ~-> р+ и декартова произведения А х )д в А, обладающее следунлщими свойствами: л) р + О = р, (р+ и) + и = р -~- (и -~- и) для любой точки р Е А и любых векторов и, и м 1У (Π— нулевой вектор пространства к'); ~ Часто, особенно в механикс и в теории дифференпиадьвых уравнений, симвазоля р обозначают производную ар/вс дифференпируемой функции р = рр).
У пас зта ситуация не встретится. 174 Гл. 4. Аффинные и ееклидоеы точечные проглпранстеа й) каковы бы ни были точки р, с) Е А, найдется, и притом единственный вектор ч Е 1', для которого р+ ч = д (этот "вектор из р в 4и обозначается обычно р~ или д — р).
Размерность п = дйшя 'ч' векторного пространства Г считается одновременно размерностью ассоциированного с 1г аффинного пространства А. Иногда пишут А", чтобы подчеркнуть роль размерности. В тех наиболее интересных случаях, когда у1 = К или у1 = С, говорят о вещественном или соответственно комплексном аффинном пространстве. По своему смыслу аксиома й) утверждает, что каждой точке р Е е А отвечает биекция ч — у р+ч множеств: )У = А.
С другой стороны, мы имеем биективное отображение йч: р — у р+ ч = йч(р), р Е А, на множестве А, называемое сдлнго,м (или париллельнь|м переносом) в А на вектор и. Из аксиом )), й) следует, что 1ч'1 ч=г 1и ' 1ч — йи-ьч~ (е им со -. тождественное отображение), т.е. 1 --- сдвиг, обратный к 1 . Стало быть, сдвиги образуют группу, изоморфную аддитивной группе пространства 1У.
Если положить ого+ |)1ч = 1оилдч то множество всех сдвигов становится векторным пространством, однозначно определенным пространством А и изоморфным пространству ч'. Обозначим его символом Азд. Замечание. Обратим внимание на то обстоятельство, что один и тот же знак + используется в выражениях и + ч, р + ч, имеющих совершенно разный смысл, но это не приводит к недоразумениям.
Если, далее, р, д, г, л — такие точки из А, что р+ и = 4, Ф + ч = в, то рф, гл ничто иное как разные представители класса, обозначаемого вектором ч. Запись р + рд = 4 удобно использовать в сину ее мнемоничности, не более того. Непосредственно из определения получаются простые правила действий с векторами рс): р$+ Ф = рд, М = -М., рФ = О (р, ц, т -- произвольные точки из А). С таким же правом можно писать (д — р) + (й — с)) = й — р, (д — р) = -(р — д), р — р = О. Пример 1. Если 1' произвольное векторное пространство над полем и и А = че Ь У смежный класс по векторному надпространству П С 1' (чо фиксированный вектор из 1'), то А являетсл аффинным пространством над Я с пространством параллельнык переносов Ан = сг. Каждому вектору и' Е П отвечает биекпия чо -~- и ь чо -~- и ф и', удовлетворяющая аксиомам 1), и) просто потому, что векторы пространства 1' образуют группу по сложению.
Говорят, у А Аффпнные пространства 175 чго А об>б>нинов ланеннос многооброэнс (или, коротко, линейное мноеооброэие)пространства Р,а надпространство Н направлениелинейного многообразия А. В частности, когда П = и и А как множество совпадает с К, будеы писать 1'„:= А, понимая под точкой р Е Р просто некоторый вектор и Е >г. Таким образом, для любого вектора и Е Р имеем рл ч .= и т ч Е К, и отображение 1л х Р†> Ъ'„ обладает свойствами >), В).
В этом случае (~' )а Р. Фактически на одном множестве К определены две различные алгебраические структуры. 2. Изоморфнзм. Аффинные пространства А, А', ассоциированные с одним и тем же векторным пространством К, естественно называть >ьзолсарфныжи, если существует биективное отображение у: А — > А', для которого Д~р+ ч) = ~(р) + ч при всех ч Е 1', р Е А (ради простоты мы обозначаем результат применения сдвига 1 в А и А' одним и тем же символом). Дадим более общее Определение 2. Пусть А, А' аффинные пространства, ассоциированные с векторными пространствами К, р"' над одним и тем же полем й. Отображение 1: А — > А> называется аффинныи (или аффинна-линейнььн), если для всех р Е А,ч Е и' выполнено соотношение 1>р-~-ч) =1>р) + Ру ч, где Р): 'и' -> 1г> линейное отображение векторных пространств.
Отображение Ру называют иногда линейной частью (или дифференииала.и) отображения 1. Для биективного аффинно-линейного отображения у' линейная часть Ру также биективна. В этом случае говорят об изожорфизл>е между А и А', а при А' = А об (аффиннвж) автожарфизжс пространства А, реализованном посредством нсвыролсдвннова иффиннаго преобразования 1. Заметим, что в принятых ранее обозначениях р+ч = а уравнение (1) переписывается в виде Р1 М=УЯП4. (1) Теорема 1. Аффинныс пространства (А,К), (А', 1") одинаковой размерности изажорфньп Доказательство. Так как д>ш1' = дйп>А = дйшА' = сйпЪ", то существует биективное линейное отображение г: К вЂ” > 1п (теорема 5 из ~ 2 гл. 1). Зафиксируем точки о Е А и о' Е А'.
Построим отображение у: А — ~ А', полагая ~(о) = о', Р)' = Г. Любую точку р Е А можно записать в виде р = о + ч. Согласно нашему определению у'(р) = о' + У'(ч). (2) Когда р пробегает все точки в А, ч пробегает все векторы в Г (по определении> аффинного пространства), а тогда о'+У (ч) в силу биективности У пробегает все точки в А'. По теле же причинам разным точкам из А соответствуют разные точки в А'. Стало быть, 1 176 Гл. л'.
Аффиннь»с и свклидовы точсмныс орос»пранства биективное отображение. Осталось проверить, что оно аффинно-линейно. В самом деле, используя (2), получаем 7(р+ п) = 7((о+») + п) = 7(о+ ~(»+ п)) = = о'+ У(и з- п) = о'+ (У'(») + У(п)) = = (о' + У (»)) + У'(п) = ((р) + Т» ( п. П 3. Координаты. Введем естественное Определение 3. Системой координат (нли репером) в п-мерном аффинном пространстве (А,И) называется совокупность (о; ем...,ен) точки о Е А и базиса (ем...,ен) в И. Координатами хы..., х„точки р в системе (о; е„..., е„) считаются координаты вектоРа оР в базисе (еы.,,, ен): оу» = х» е» +... + х„е„. Из Равенства Рс) = ос) — о1» слеДУет, что если хм..., хн — кооРДинаты точки р, .а ды.,,, у.„-- координаты точки о, то координатами вектора ру в базисе (ем..., е„) будут у» — хы..., у„— хн.
Обратно, если д = р+ а, то координаты у»,...,у„точки д получаются сложением координат а»,..., а„вектора а и координат хм..., хн точки р; д; =ас+х„1= 1,...,п. Замечание. Систему. координат можно задавать также п + 1 точками (ре, р»,...,р„) такими, .что векторы рор(,..., рор» образуют базис пространства И. Сказанное выше об основных операциях, выраженных в координатах, резюмирует Теорема 2. Пдсспь (ро, рм...,р„) -- система координат в пространстве (А, И), е,:= рс»р», 1 = 1,..., п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
