1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 33
Текст из файла (страница 33)
коммутируют. Покажем, что Г = 1з по сз Го ~, а также, что Г'о естественно изоморфно Г, тогда как Го естественно изоморфно Г Из определений сразу же следует, что Гл о состоит из векторов (х,— зх), а Г из векторов вида (у,гу). Для данных п,ч е р уравнение (п,ч) = (х,— лх) + (у,зу) имеет единственное решение х = (и + зч)/2,у = (и — зч)/2. Следовательно, 1д = 1' о Ю Го'. Отображения х г-л (х, — лх), х ьч (х, гх) являются И-линейнылеи изоморфизмами Г на 1'~ о и соответственно Г на Го'. Кроме того, они перестановочны с действием з на Г, 1' и действием,7 на юг о, Го' в силу определений. Это завершает нашу конструкцию. УПРДЖПЕНИ11 1. Предлагается убедиться в гом,что ортогональный оператор А на евклидовом некторном пространстве Г, нс имеющий собственных векторов (зто возможно лишь в случае 41ш Г =- 2т), яазяется овешествлением унитарного оператора и: 11 — ч П на комплексном векторно~ пространстве П размерности т, снязанном с и.
Заметим в агой связи,что овеществление унитарного просгранства приводит к евклидову пространству в два раза большей размерности. 2. Доказать формулу из предложения 3, выбрав базис (еы ...,ея) комплексного пространства 1Г, в котором матрипа А оператора А: 11 -л СГ имеет верхне- треугольную форму с Лп ...,Л по диагонали. 3. Пусть П - векторное пространство над С. Чему изоморфпа комплексификания 11 З 4. Пусть (1',(*И)) — евклндово пространство, Р с — его комплексификапия, А -" линейный оператор па лг, определяемый правилом: А(п+ ич) = и — лч для 156 Гл.
Я. Векторные иространсгпоа со скалярным ироизеедеиием нсех и,и Е М. Будет ли А линейным оператором на онетестилении икс, и ос.ли да, то будет ли А симмметричным, ортогональным, идемпотентным? В 5. Ортогональные многочлены 1. Проблема аппроксимации. В самых различных вопросах математики и физики встречается задача о разложении произвольно взятой из некоторого класса функции по заданной системе функций.
Не вдаваясь в аналитические тонкости, которые обычно рассллатриваются в курсе анализа, мы ограничилшя обсуждением чисто алгебраического аспекта этой задачи. Попутно будут затронуты некоторые новые вопросы линейной алгебры и геометрии. Запас функций вещественной переменной Ь у нас будет исчерпываться пространством Сз(а, Ь) непрерывных на отрезке а < 1 < Ь (или на интервале с бесконечными концами) функций со скалпрнылс произведением (У~И = / У(1)В(1)д? е Черта означает комплексное сопряжение, если встретится необходимость рассматривать комплекснозначные функции. В Си(а, Ь) будут выделяться подмножества гладких функций, например дважды непрерывно дифференцируемых.
Обычным образом вводится норма функции ?'- йЛ = ДУГУ)- Пространство Си(аи 5) превращается в метрическое с расстояниелл 4У В) = !~У вЂ” Д11 Сформулированная выше общая задача основана на рассмотрении ортонормированнои системы функций ~рл(1), ~рз(1), ... ( ~~л) =ЬВ и линейных комбинаций ~,о, д(1) с коэффипиентами ны зависящими от "приближаемой" функции у Б Си(а, Ь). Задача приближения имеет смысл лишь в том случае, если функции ~р,(г) достаточно хорошие бесконечно дифференциру.емые или даже аналитические. Если функция У(1) описывает какой-то периодический процесс в физике или механике, то естественно строить систему. (р (г)) при помощи элементарных периодических функций ешгл?, соеп?, п = О, 1,...
В общем случае хорошим источником ортонормированных систем служи г обычное пространство многочленов Щ. Построение системы (~ри(1)) заключается просто в последовательном применении уже известного нам процесса ортогоналнзацни Гралла Шмидта. Мы рассмотрим вскоре эти два важных примера (еш, сов и Щг)), а сейчас остановимся на уточнении проблемы приближения (или, как еще говорят, аппроксимации) функции у (ь).
й' 5. Ортогональные многонлены 157 2. Метод наименьших квадратов. Пусть дана ортонормированная система функций (р„(1)). Если 1 любая функция из Сг(а, Ь), то числа сь=((~рь), п=1,2, называются коз55фнинентами Фурье функции 1 относительно (р„(1)), т и и и и 0< У вЂ” ~ срр, =(1 — ~ ~его ) У вЂ” ~с,~р,) = г=-1 г=-1 я=1 = ~~Д~ — у С(р ~ Д) — ~ ~с,(Д~ ~р,) + ~ ~с с,(уу ~ ~р,) = 3 у,в — с,(( ~ рг) — 2 с,с, + ~ ~с~с,,дм у Я ьы и = ЙД вЂ” ~с су — ~ ~с,с, + ~ ~с с. = )(Д вЂ” ~~ ~сг(, то всегда )сг) < )Л .
г=-1 В правой части стоит не зависящее от п число, поэтому на самом деле выполнено неравенство )сь) < )(Д, ь=1 или, что то же самое, ~ уЫь)и < ~Л'. ь=ь Неравенство (Ц, справедливое для произвольной ортонормированной гислемы (р (1)), называется неравенством Бесселя. Оно доказывает сходиыость ряда ~,>, ~се ~и с неотрицательными членами.
Аппроксимировать в смьиле методи ниименьгиих квадратов данную функцию 1(1) линейной комбинацией ~ '„" дь ~оь(1) с постоянными коэффициентами дь и фиксированным числом слагаемых т --. значит подобрать коэффициенты дь так, чтобы минимизировать среднее квадратичное уклонение (по другой терминологии сделать наимсньшеи "среднюю квадратичную ошибку' — дыре(1) йи. Геометрический смысл этой задачи достаточно ясон.
Для вектора у из (бесконсчномерного) векторного пространства )г = Си(а, 6) мы ищем вектор ьо из линейной оболочки й' = 158 Гл. Я. Векторные иростронстои со скалярным произведением = (уы усз,..., узт), расстояние которого ~~ ( — узй до 1 было бы минимальным. Это так называеъ1ая задачи о кратчайшем расстоянии от точки до надпространства, или еще — задача о перпендикрляре, к которой мы вернемся позднее, находясь уже по настоящему в точечных, а не в векторных пространствах.
Мы всегда имеем разложение в прямую су.мму 1г=Г6>Г~, так что 1 = Д+ (ы где зи — - проекция 1 на Г, а 11 —. перпендикуляр виз конца вектора уп (довольно бессмысленное выражение) на Н, или, что то же самое, проекция з на Гз.. Если теперь Г э уз ф Д, то (2) !~у — Ф1! > !~у — Уо!! В самом деле, уо — ео Е Г и, следовательно, 1о — уз ортогонален вектору 11 — — у — Д. Согласно теореме Пифагора ~~у — Р~~з = ~~у — ус+ уо — Р1!з = !~у — ус~~'+ ~!Хо — 4~з, откуда и следует неравенство (2). Фактически задача о перпендикуляре сводится к задаче о нахождении проекции 1о вектора 1 на Г. Записав Д в виде 10 = т1'зо1 + ° ° + зт'ззт~ мы из условий (У вЂ” Уо~~рз) = О, у = 1,2,...,т, выраженных в виде системы из т линейных уравнений т1(р1 ~ уз ) + (~рз ~ ус ) +...
+ тп,(уст ~ р ) = (() уз ), 1 ( у < т, (3) находим неизвестные коэффициенты зь Условия (3) годны и в том общем случае, когда система (ры... ..., ~р ) не ортонормирована. Если же система ортонормирована, то с, = (з' ~ ео, ) -- коэффициент Фурье, и система (3) сразу дает тз = (у ~ узз) = с„1 < у < т. Возвращаясь к нашей задаче аппроксимации, мы заключаем, что среднее, квадратичное уклонение Йу — 2,'дз.узу~~и будет минимальным при й = с .
Это, между прочим, можно видеть и непосредственно; Если при увеличении т для любой функции з" е Си(а, 5) норму разности ~~ у — ~™, (Я~о;),р ~~ можно сделать сколь угодно малой, то систему (у (1)) называют полной ортогональной сишпемой йурнкиий. Необходимое условие полноты (ус (1) ), как видно из предыдущих рассуждений, заключается в том, чтобы для любой функции 1 выпол- ,9 5.
Ортоговаялные яногочленм 159 нялось соотношение (равенство Парсеваля) (су! = ~((~)~Р1)! = ()Д( . г.=1 о=1 (4) Вопрос о полноте ортонормированных систем (у (1) ) относительно данного класса функций Я) впервые был исследован крупным русским математиком В.А. Стекловым (1864 -1926). Условие полноты (4) выражается в интегральной форме ;ь го х 1пп / (()(1) — ~~ с д (1)) Ф = 0 ЧУ 6 Сх(а, Ь). (5) Я в=1 хг(е1 ~ е,) + хг(ег ~ е ) +...
+ х,„(е„, ~ ег) = Ц~еу), 1 < г < т (6) (см. (3), где следует заменить;р на е ). Если еы...,е,„— — ортонормированная система, то х = (~~е ), 1 < у' < т, искомое решение. Но существование решения, т.е. возможность опустить однозначным образом перпендикуляр из 1 на Ьг, неестественно связывать с каким-то базисом.
Нам известно, что любой базис допускает ортогонализапию. Поэтому решение системы (6) существует всегда, и оно единственно. Это значит, что определитель де1))(е, ( е ))( При выполнении условия (5) говорят еще, что последовательность функций ~ "," с р;(1) сходится в среднем к функции )П). Из сходи- мости в среднем, вообще говоря, не следует, что ~(1) разлагается в ряд по функциям р~ ф, т.е. 11г) = 2 ', с р ф. Лишь в случае равномерной сходимости ряда 2, с.|о ф можно в условии полноты (5) сделать переход к предельной функции под знаком интеграла, и разложимость Щ в ряд становится фактом.
Понятие сходимости в среднем, а вместе с ним и понятие полноты системы фу нкций сохраняет смысл для системы, не обязательно являющейся ортогональной и нормированной. 3. Линейные системы и метод наименьших квадратов. В связи с последним замечанием, а также ради получения дополнительной информации, относящейся к методу наименьших квадратов, вернемся к задаче о вычислении расстояния от точки до подпространства. Пусть по-прежнему 1г векторное пространство произвольной размерности со скалярным произведением (*~я), 1 фиксированный вектор и сг = (ем..., ео,) подпространство в И. Мы видели, что расстояние от 'точки' 1 до П измеряется нормой вектора 1 — Д, где А векто1> из Г с кооРдинатами хы..., х, опРеделаемыми из линейной системы 160 Гя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
