1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Из Р, ~ О следует ~ 8. Операторы на пространотоах оо скалярным проноооденаеи 141 существование вектора х р'. -О, х е 1щРо По определению 'Р;х = х, Р х = 0 при 1 ~ 1. Поэтому Ах = ~ Ло Р1х = Л;Р,х = Л,х, т.е. Л, и Ярос(А). Обратно, если Л Е прес(А) и Ап = Лп для некоторого ч ф О, то Ап = Лп = Л~~~ ъп, ъ = 'Р», а с другои стороны, Ач = А~чу = ~~ Ап, = ~л ч1. Поэтому ~, (Л вЂ” Л )и = О. Но векторы пы...,по, взаимно ортогональны (следствие взаимной ортогональности проекторов Р,,...
..., Р,) и, значит, те из них, которые отличны от О, линейно независимы. Стаю быть, 1Л вЂ” Ло)п1 = 0 для каждого у, и если ч; ф 0 (а такое 1 найдется, поскольку ъ у': О), то Л = Л,, Е 1Лы..., Л,). Единственность установлена. Многочлены 11(1),..., 1„,(1) Е С~1) из утверждения г) строятсл конструктивно: '1')=П Л офг Понятно, что 1,® Е 2[1), если А самосопряженный оператор. Используя определение семейства взаимно ортогональных проекторов Р. и разложение б), будем иметь Аа = (~Л,Р;)(~ Л,Р,) =~ Л,ЛР,Р1=~~'ЛаР1, ~3 АА2 (~~~ЛР)(~ '2Р) ВАЛОР (при й = 0 использовать а): А = ~ ,'.
ЛеР1 = ~ ,'. Р, = с). Таким образом, У(А) =~ У(Л,)Р, для любого многочлена ~(1). В частности, Л(А) =~У(Л) Р, =Л1Л) Р; =Рь И 1 142 Гл. Я. Векторные пространства со скалярным произведением Как всякий линейный оператор, нормальный оператор А записывается в виде А = В + 1С и, аналогично, А* =  — 1С, где В, С эрмитовы операторы (см. (6)), в свою очередь выражающиеся через А и А*: В = — (А+ А'), 1 Из АА* = А*А следует, что ВС = СВ.
Обратно, из перестановочности В и С вытекает перестановочность А и А'. АА* = Вг+Сз = А*А, т.е. нормальность А. Отвлекаясь от нормальных операторов, остановимся на роли перестановочных или, как еще говорят, коммутирующих операторов. Лемма 6. Пусть А, В перестановочные операторы на комплексном пространстве 1'. Тогда А и В имеют общий собственный вектор.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Л Е прес(А) . Рассмотрим подпространство Ил = (х е И ! Ах = Лх). Тогда ВИ" С 1'". Действительно, используя условие АВ = ВА, приходим к импликации х Е И~ ==ь А(Вх) = В(Ах) = В(Лх) = Л(Вх), т.е. Вх Е 1 Линейный оператор В, ограниченный на Ил, имеет собственный вектор у Е И~; Ву = ру, р 6 прес(В). Таким образом, Ау = Лу, Ву = 1лу, т.е. у — - общий собственный вектор. П Теорема 13.
Два зрмитовых оператора А, В или две изометрии А, В на и-мерном зрмитовом пространстпве Г одновременно приводятся к диагональному виду в некотором ортонормированном базисе тогда и таолько тогда, когда они перестановочньь Доказательство. Предположив, что А и В диагонализируемы в общем ортонормированном базисе, мы приходим к выводу о перестановочности их матриц А, В в этом базисе. Но так как в любом другом базисе матрицами операторов будут С ьАС, С 'ВС, а С '.4С С 'ВС = С 'АВС = С 'ВАС = С 'ВС.С 'АС, то перестановочны сами операторы. Обратно,.
пусть АВ = ВА. Тогда по лемме 6 операторы А, В имеют общий собственный вектор ем Без ограничения общности можно считать, что )(е1(! = 1. Подпространство И' = (е1)'- размерности и — 1 инвариантно относитевьно А и относительно В в силу их эрмитовости (лемма 3) или в силу унитарности (лемма 5). Ограничения А и В на ИЯ будут перестановочными эрмитовыми (соответствтенно унитарными) операторами. Инду.кция по размерности приводит к явной конструкпии ортонормированного базиса, в котором А и В запишутся в диагональной форме.
П ~ с. Операторь> на пространствах со скалярнь>м произведенном 143 Замечание 4. Напомним, что по теореме 3 перестановочность эрмитовых операторов А, В эквивалентна эрмитовости оператора АВ. 8. Положительно определенные операторы. Так как любому эрмитову оператору А на зрмитовом пространстве И (симметричному оператору на евклидовом векторном пространстве) отвечает квадратичная форма д(х) = (Ах ~ х), а к последней применимы такие понятия, как положительная определенность, полуопределенность и т.п. (см. гл. 1, г 4, п.
8), то их можно переносить и на А. Определение 6. Э р ми то в (или линейный симметричный ) оператор А называется положительно определенным, если (Ах ~ х) > О для лк>бого вектора х ~ О из И. Теорема б и последующие замечания показывают, что для всякого положитсльно определенного оператора А существу.ет ортонормированный базис пространства И, в котором матрица А принимаст диагональный вид: л, (14) Л„ с положительными собственными значениями Лы ., ., Л„Е й. Обратно, интерпретируя любую матрицу А вида (14) как матрицу эрмитова (си>лглетричного) оператора А относительно какого-то ортонормированного базиса пространства И, мы приходим к выводу, что условно Л» О, ..., Л„> О обеспсчивает положительную опрсдгленность А. Это обстоятельство закрепляется символом А > О.
Имеет смысл также говорить о положительно полуо»ределенном операторе А (обозначение: А > О), когда Л> > О, ..., Лн > О и Лс = = О для некоторых индексов 1, Для двух эрмитовых (сига>летричных) операторов А, В будем писать А > В, если А — В > О. По смыслу положительно опрсделснный оператор невырожден (обрати>л).
Это видно и из неравенства Коши Буняковского )(Ах)х)) < )(Ах!) ))х(!. Обратно, условия невырожденности и А > О гарантируют положительную определенность А. Предложение 1. Всякий положительно определенный опера>пор А записывается в виде квадрата некоторого другого положительно определенного оператора: А = В',. принсм выражение корня квадратного В:= ъ>А едпнстеенно. Доказательство.
Достаточно привести матрицу оператора А к диагональному виду (14) и положить В = с)1аб(з>>Л>,..., >>>Л„), считая >>>Лс > О. Опсратор В с матрицей В в данном ортонормированном базисе будет положите зьно опредгленныьь Соотношение .4 = В г 144 Гл. 3. Векторные пространссава со скалярным произведением при переходе к другому базису сохраняется: С 'АС = (С сВС)з. Таким образом, А = Вз. Утверждение о единственности В удобно доказывать при помощи теоремы 12 о спектральном разложении. Именно, если В' > О и (В')з = = А, то, рассматривая спектральное разложение В' = ), р Р', поз з у' лу.чаем соотношение ~ руР~ = (В ) = А = ~ Л Р .
Все числа р > О попарно различны, как и их квадраты сс~. Единственность спектрального разложения оператора А приводит нас к заключению, что множества (рз) и (Л,) совпадают, т.е, при надлежащей перенумерации должны выполняться равенства р~ = Л, Р,' = Р„ откуда р, = ьсЛ, и В' = В = ьсА. П Предложение 2. Пусть С произвольный нсюыроькдснный линейный оператор на пространстве со скалярным произведением. Тогда произведение А = СС* (или С'С) является невырожденным ссололсительно отсределенны,м оперипором. Доказательство.
Эрмитовость (или симметричность) оператора СС' уже проверялась: (СС*)* = С*'С' = СС . Невырожденность А = СС' очевидна: с1есСС* = с1ес С'С = с1ес С с1ес С = бес Сс1сс С = = ~ бес С~а р'. -О. Далее, х ф О .==ь С*х р'. -О, поэтому по определенивз сопряженного оператора имеем (СС'х~х) = (С*х ( С*х) > О Чх ~ О. Это и значит, что А = СС* . положительно определенный оператор. То же относится и к произведению А'А. П Из предложений 1, 2, обобщенных на случай вырожденных операторов, немедленно вытекает Теорема 14. Пусть à — пространство со скалярным произведением (* ~ *).
Слсдуюсине свойства линейньст операторов на 1' эквивалентны: А Вз Вл В. 2) А =СС*; 3) (Ах ~ х) > О. В одномерном комваексном пространстве каждое из свойств 1), 2) характеризует неотрицательные вещественные числа: г > О означает возможность как записи г = Лг, Л е К (аналог 1)), так и г = г' гс (аналог 2)). 9. Полярное разложение. Упомянутый параллелизм между комплексными числами и линейными операторами на пространстве со скалярным произведением простирается дальше, вплоть до записи комплексного числа в тригонометрической форме: г = ~я~ел е = = ьсгге'к.
Об этом свидетельствует ус 8. Операторы на пространствах со скалярнь<м произведением 145 Теорема 15. Всякий невырожденный линейный оператор А на зрмитовом <или свклидовом) векторном пространстве 1' может быть представлен в виде (15) где Р— положительно определенный оператор, а Ц -- изометрия (,унитарньлй или ортогональпый оператор). Разложение (15) единственно. (Оно называстпся полярным разложением оператора А.) Доказательство.
Согласно предложениям 1 и 2 АА' = Рг, где Р положительно определенный оператор, являющийся единственным квадратным корнем: Р = л<АА*. Разумеется, Р обратимый оператор. Положив О. = Р <А, получим выражение (15). Нужно только убедиться, что Ц изометрия. Действительно, так как Р* = Р и РР ' = б = с' = (Р ")*Р* =ь =~ (Р ')' = (Р') ' = Р '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
