1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 25
Текст из файла (страница 25)
6. Доказать, что характеристический мпогочлеп хд(О ортогональной п х и-матрицы А обладает свойством хл(1(О = хх ((О. 7. Пусть А = (А(О,...,А(„1) произвольная матрица с попарно ортогональными строками. Доказать, что ( с1е( А = ( А(~й )А(м В.. (А( 1(( (стандартна» норма векторов в Нв). 8.
Пусть Х = [ХО1, , Х(„1) произнольная матрица из ЛУ„(а). Доказать, что бе(, Х < ((Х(,й (Х(з(((... ((Х(„, ~ (неравенство Адамара). О 2. Эрмнтовы векторные пространства 1. Эрмитовы формы. Многие задачи сводятся к тем или иным вопросам о линейных операторах, действующих на комплексных векторных пространствах, и по этой причине последние заслуживают особого внимания. Многообразие метрических соотношений в евклидовых пространствах над Е служит естественным стимулом для введения скалярного произведения и в комплексном случае.
Однако, как было отмечено в конце п. 7 из 8 4 гл. 1, стандартная билинейная форма в(х, у) = к(у( +... + к„р„с к, д. 6 С нс может быть отправным пунктом для этой цели, поскольку длина (норма) ((х(( = Х(ув(х, х) ВЕКтОра Х Е С" ОбЛадаЕт ЯиснрнятНЫМЯ СВОйСтВОМ: ((зх(( = в(зх,зх) =1 в(х,х) = — ((х(( . Если х ~ О и ((х(( > О, то гх Е Сч', но ((гх(( < О. Это определение явно неприемлемо, если мы хотим пользоваться интуитивно воспринимасмыл( понятием длины вектора. Замечательным аналогом евклидова векторного пространства служит эрмитово (или унитарное) пространство. Введем следующее Определение.
1. Говорят, что 1: 1' х Ъ' — > С есть подув(оралинсйная форма на комплексном векторном пространстве 1г, если: Ц ("((ух + (1у к) = сг("(х к) + (зу'(у к) (Уо (3 е С, х у к е 1', т е. (" линейна по первому аргументу при фиксированном втором; й) 1(х,ау+ (1к) = о((х,у)+(зу(хи), где черта над си (з означает обычную комплексную сопряженность (полулинейность по второму аргументу при фиксированном первом). Полуторалинсйная форма 1 называется эрл(ипзовой, если ((у,х) = 7(х,у). 118 Гл. Я. Векторные пространства со скалярным произвсдснисм 11усть (еь,,,.,еь) — — базис пространства И.
Если х = 2,иьеб у = у е, то 1(х, У) = ~~ 1мвУУ1,,(м — — 1(ец е;), .—. выражение значений формы с" в базисе (е~ ....., е„). Эрмитовость формы 1 означает, что коэффициенты ее матрицы г' = (1, ) удов- летворяют условию (,. = зы Другими словами, (1') где г'*:= сЕ. Матрица Г, удовлетворяющая условию (1'), также называется эрмитовой. Если гь матрица эрмитовой формы 1 в базисе (е',...,е'„), получающемся из (ем..., е„) при помощи матрицы перехода А, то К'=ьЛ ЕЛ (2) (.4 = (аб); ср. с выражением (5) из З 4 гл. 1). Непосредственно про- веряется, с использованием (1'), что (г')* = '('Л 7 А) = ьА 'Г Л = 'Л г"А = 'А.РА = Г', т.с., как н следовало ожидать, при замене матрицы Р на 'А.
Г А свойство эрмитовостн сохраняется. Эрмитовой форме ((х,у) отвечает, естественно, эрмитова ква- дратичнал форма ((х, х). Так как ((х.,х) = ((х,х), то квадратичная эрмитова форма принимает только вещественные значения. Если при этом ((х,х) > О и 1(х,х) = О ==ь х = О, то форма ( называется положительно определенной. Записав ( в виде ((х, у) = д(х, у) + 1 6(х, у) с вещественнозначными функциями д,6, мы, используя (1), легко убеждаемся в том, что д и 6 "- билинейные формы на И, причем д--- симметричная, а 6 кососимметричнвя форма. Наконец, положи- тельная определенность 1 эквивалентна положительной определен- ности д. Определение 2.
Конечномерное векторное пространство И над полем С, снабженное положительно определенной эрмитовой фор- мой (х ~ у):= 1(х,у), называется эрмипьовььм (унигаарнь м) прост- ранством. Комплексное чисю (х ~ у) называется скалярным произвед- ениемм (говорят еше: внутренним произведением) векторов х,у к 1'.
Итак, в новых обозначениях имеем (х(у) = (у(х), (ох+ Ду ( и) = о(х ~ в) + 3(у ~ я), (х ( х) > О; (х ( х) = О лишь при х = О. у 2. Эрмигповы векторные пространсгпва 119 Пример Т. Положив Тк ~ У) =. хгнгй-~- хэцэ -~-... т хнгТ, ОО лгы получим, пееомненно, положительно определённую эрмитову форму с единичной матрицей Е = Е, г.е. координатное комплексное пространство С", снабженное этой формой, становится эрмитовым.
Если перейти от стандартного базиса в е н к лгобому другому при помощи матрицы перехода А, то соглаг:но Та) мы сопоставим нашей стандартной эрмитовой форме эрмитову матрипу г' .= 'А А. В всществснном случае комплексную сопряженность можно игнорировать, так что зрмитово пространство истинный аналог евклидова. Как и в свклидовом пространстве, длина буй вектора у Е К определяется равенством 'йу(! = з)Ту'у). 2. Метрические соотношения.
Легко проверяемое соотношение 2Тп! у) = Ои+ уйэ -~-1йп+ сий — (1+1) (йпй' + йуйэ) показывает, что скалярное произведение выражается непосредственно в терминах длин Тпроцесс поляризации). Из очевидных равенств Тз" Т = гР Т мТ = гТге Т Т Т ю Р1 Л~ Т Т следует известное в евклидовом случае свойство нормы ОЛхй = (Л) ((хО. (3) Эта параллель распространяется на большинство других утверясдений. В частности, неравенство Коши -Буняковского (его называкзт еще неравеншпвож Шварца) приобрехтает следующий вид: ((х(у)! < йх(!. 'йу(! (4) Травенгзтво достигается в точности тогда, когда векторы х,у пропорпиональны).
Доказательство. Действительно, записывая комплексное число (х ~ у) в тригонометрической форме Тх ~ у) = ~(х ~ у)~его, со Е К, мы видим, что при лкзбом 1 Е К выполнено неравенство 'йхйэбэ+ ((х( у)С '" + Тх)у)сед)Х+ йу()~ = (хб+ уесд !ха+ успп) > О. Так как (х ( у)е '" = )(х ) у)! = Тх ( у)е'о, то оно переписывается в виде 'йхй Х + 2)(х(у)(1+ 'буй > О. Получающееся условие на дискриминант приводит к нужному неравенству.
Оно превращается в строгое равенство тогда, когда хйо+ +уеол = О при подходящем 1о Е К, т.е, при пропорциональных х, у. П Из неравенстве (4) непосредственно вытекает неравенство треугольника 'Ох жуй < ((хй + йуй 120 Г!. Я. Векторные пространства со смалярным проиэоедением и его очевидное обобщение [[х †я[[<[[к †у[[+[[у в.
ПРиме Р 2. ПРостРюьства Сэ(о, Ь) и Рв наД С, снагажеднные скаЯЯРным пРоиэведенисм являются, очевидно, эрмитовыми. Неравенство (5) в этих случаях принимает вид Р е ь ь ь / йь)+о(ь)Раь< / Яь)Ршт / [а(ь)Рос (сравнить с неравенством Минковского в примере 3 иэ 1 !). В эрмитовом пространстве С" со стандартным скалярным проиэведением (3) выполнено неравенство [х + ид э < ! ~ [х, э + ~ !р,!э. я .=1 Неравенство (4) позволяет утверждать, что существует единственный угол !р, 0 < !р < кь!2, для которого [[х[[ [[у[[ Квантовомеханическое истолкование величины сов- !р можно найти в л учебном пособии [2). 3. Ортогональность.
Как и в вещественном случае, набор векторов еь,...,е эрмитова пространства (1У,(*[*)) называется ортонормированным (или ортонормальным), если (е, [е ) = б, Этот набор векторов линейно независим и дополняем до ортонормированного базиса пространства И. Чтобы убедиться в этом, следует снова воспользоваться процессом ортогонализации Грама .Шмидта (см. п. 3 из 5 1), сопоставляя каждому вектору и вектор и = и— — 2,', (п[е,)е, и замечая, что и Е (еь!,, !е,„)х.
Вектор и можно нормировать и продолжить пропесс далыпе. Кстати, 1' = И' ид И'~, И'~~ = Иу! (6) для любого подпространства И' С )г. В качестве небольшого упражнения предлагается доказать следующее утверждение Теорема 1. Пусть (еь,...,е„) —. ортонормированный базис эрмитова (или евклидова) векторного пространства ()У, (* [*)). Тогда: 1) х = ~,(х [ е;)е; для всякого х е 1'; 11) (х [у) = 2,(х [е )(е, [у) для любых х,у Е К (равенство Парсевалл); ш) х Е 1'.==у [[х[[г = 2,', [(х[е;)[-'.
у 2. Эряитповы векторные вростравс>пса 121 Пусть (ем .,.,е„) .. ортонормированный базис эрмигова пространства Г. В теореме 1 использовано следующее соображение. Для любого вектора х = 2', л>е> ввиду линейности скалярного произведения по первому аргументу имеем (х/е.) = (~~ х,е,.!е ) =~~> и;(е,/е ) =лй. 1аким образом, мы пришли к линейной форме 1" = (* / е ): 1' — > — > С, сопоставляющей каждому вектору х = 2, л;е, его у-ю координату л относительно (е;). Если теперь у = 2, 'р е> -- еще один вектор пространства Г,то (х ~ у) = ~ т,р>(е, ~ е>) = л>у> +... + ж„у„, т.е. вычисление скалярного произведения векторов эрмитова пространства Г при выборе в нем ортонормированного базиса происходит по формуле (3) для стандартного скалярного произведения в С" .
Тем самым определен изоморфизм С" = Г эрмитовых пространств; (л>,..., л„) >-> 2 '> х,е, биективное отображение, сохраняющее скалярное произведение. В отличие от евклидова векторного пространства эрмитово пространство не отождествляется со своим двойственным пространством. Вместе с линейными функциями нужно рассматривать и полулинейные функции в смысле следующего определения. Определение 3. Пусть > -- обычная линейная форма (функция) на комплексном векторном пространстве Г. Сопряженной к 1 линейной формой (или полуланейяой функцией) на Г называется функция 1: à — > С, удовлетворяя>щая условиям Дх+ у) = 7(х) + Д(у), ДЛх) = ЛД(х).
Если (1'.,(* ~ *)) . - эрмитово пространство, то >" предстааяяется в виде 1(х) = (х ~а) для некоторого однозначно определенного вектора а (ср. с теоремой 9 из 3 1), но соответствие между 1 и а не является линейным. Если теперь > - полулинейная функция, то, выбрав какой-то ортонормированный базис (е,) в 1' и положив а = У, Д(е,)ео будем иметь для любого вектора х = 2,' л е соотношение (а ~ х) = ~(е, ~ ~ ~л е.) = ~ Д(е>) х, = Д(х).
Единственность вектора а вытекает, очевидно, из положительной определенности формы (я ~ я). Свойство эрмитовости (* ~ *) позволяет записать 1(х) = (а ~х) = (х ~а) = 1(х). 122 Гл. Я. Векторные пространства со скалярным произведением 4. з'нитарные матрицы. В евклидовом векторном пространстве переход от одного ортонормированного базиса к другому реализуется при помощи ортогональной матрицы (теорема 10 из г 1). Аналогичное утверждение имеет место в случае эрмитовых пространств. Пусть (еь), (е'.) .-- ортонормированные базисы эрмитова векторного пространства (Г, (л ~ *)), связанные матрицей перехода А = (а; ): е', = 2 ', апег Тогда о.ь = (е ~ еь) = ~ а, аоь(е; ~ е,) = ~ аба,ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
