1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 24
Текст из файла (страница 24)
+ аалааг 1 при 1= гу Взяв транспонированную матрицу 'А, соотношения (14) (или (15)) перепишем в кратком виде: 'А А = Е, (16) У Е Ееклндоеы векторные пространства откуда .4 ' = 'А. Так как А ' А = Е =ь А А ' = Е,то и [16') что приводит к соотношениям 0 при 1фу, ие1 ал1 + апауг -Ь ., + п,„аун = [15') 1 при 1= у. Определение 7. Квадратная матрица А = [ио), у.довлетворяющая одному из эквивалентных условий [15), [15'), [16), (16'), называется ортогональной Множество всех ортогональных матриц порядка и, обозначается символом О[п). Непосредственно проверяется [и мы к этому.
еще вернемся), что О[п) - группа. Она называется ортогональной группой. Если теперь А произвольная ортогональная матрица, то система векторов [е'„..., е'„), полученная из ортонормированного базиса [еы,,,, ен) по формулам (14), будет также ортонормированным базисом. Мы приходим к следующему выводу. Теорема 10. Матрица переходи от одного ортонормированного бизиса к другому ортогональная, и всякия ортогонильнпя матрица может быть матрицей такого перехода. Заметим, что из формул [14) и условия ортонормированности векторов получается геометрическая интерпретация элементов а, ортогональной матрицы А.
Именно, а„. = [е, [ е,'.) = совр„., [17) где со;: "-- угол между старым базисным вектором е; и новым базисным вектором е'. Переходя в равенстве [16) к определителям, получаем еще., что [бес А)г = 1, т.е. определитель всякой ортогональной матрицы равен 1 или — 1.
Мы знаем из 8 2 гл. 1 правило преобразования координат вектора х 6 Г пРи замене базиса. Если х = 2 ', х;е; = 2,', х';ео то 1 = 1, 2,...,. и. х; = лг а,.х, л Но теперь известно дополнительно, что А ' = 'А, поэтому 1 = 1, 2,..., п. хл = ~ ио~х3, 6. Симплектические пространства. Понятие скалярного произведения "многолико". Так, любая невырожденная билинейная косо- симметричная форма на Г = игнл задает симплектическую линейную структуру. Сама форма, часто обозначаемая [х [у), называется еще кососкплярным произведением на 1'.
Пара [1', [* [ *)) называется силиелектинеским пространством. Согласно теореме 9 из 8 4 гл. 1 симплектическую структуру без ограничения общности можно считать 8 Л.И.Кострнкнн 114 Гл. Я. Векторные иростронстоо со скалярным произведением стандартной (отвечающей матрице / или до). Соответствующий базис называют симилектнчесмим. Переформулировка следствия упомянутой теоремы 9; все симплектические пространство одинаковой размерности изомордгньь Так же, как и в случае евклидовых пространств, естественно рассмотреть группу линейных операторов на Р, сохраняющих симплектическую отру ктуру. Определение 8.
Линейный оператор А: Р— ~ 1г называетсл симилектическим, если я2ы [Ах[Ау[ =[х[у[ Множество всех симплектических линейных операторов на пространстве 1' называется симплектической ерриаой и обозначается символом Бр(2т):= Яр(1с). В матричной форме условие принадлежности А к Бр(2т) записывается в виде При этом А называется симилектической митричей. Отсюда следует, что с(ес А = к1.
На самом деле с)еС А = 1, как это прямо вытекает из теоремы 10 (п. 10 з 4 гл. Ц; 1 = РГ(до) = РГ(сА до А) = (с1ес .4) Р1(до) = с1е1 А. В том, что множество Яр(2т) действительно является группой, т.е. замкнуто относительно обычных операций (.4, В) н+ АВ, А ~ — > ~ А '.,легко убедиться непосредственной проверкой. При т = 1 имеем изоморфизм Яр(2) = ЯЕ(2, К). Действительно, для а, у), у, б Е К из условий 0 — 1 а,З 1 0 Т б с 'у д 0 — (аб — ДТ) 0 — 1 аб — Ду 0 1 0 следует, что аб — 3 у = 1. П Мы видели в п. 5, что элементы ортогональной группы находятгя во взаимно однозначном соответствии с ортонормированными базисами евклидова пространства. Аналогично, линейный оператор А: Кз'н -у Йз симплектичен тогда и только тогда, когда он переводит симплектический базис в симплектический (причем для любой пары симплектических базисов найдется оператор, переводящий один базис в другой).
Спектр симплектического оператора (симплектической матрицы) обладает рядом интересных особенностей,как показывает у' Е Евклидовьс векторные пространства 115 Теорема 11. Справедлива импликаиия А Е Яр[2т) =~ Хлф = 1ав'Хл(-). Корни характеристического мноеочлена Ха[7) разбивасотсл на четверки [и на парис), расположенные симметрично относитвльно вещественной оси и относительно единичной окружности, Другими словами, Хлф = ~, н а,Гс возвратный ьсногочлен: ас =ага.
с.1=1,2,... Доказатсльство. Пусть А матрица оператора А. Из определяющего соотношения 'А,7оА = до имеем 'А ~ =,7оА,7в ~ = — доАдв. Стало быть, ХА[1) = доС[1Š— А) = дсх[до[УŠ— А)Уо') = с1ех[1Š—,УоАУ„') = = дофŠ— 'А ') = с1еС[ ~[УŠ— А ~)) = дех[УŠ— А с) = = деЯŠ— А ') деь А = деЯА — Е) = с1ех[Š— 1А) = = 1а"'дес(-Š— А) = 1ов'ХАН Мы видим, что вместе с Л характеристическим числом симплектического линейного оператора А л — — ' будет также и Л с. Кроме того, ХА [1) с 1с[с], так что вместе с комплексным корнем Л корнем мно- ~л=л т гочлена Хл1с1 будет и Л.
Каждый корень Л с ]Л] ~ 1 и 1шЛ ф О определяет четверку корней Л, Л, 17Л, 1ссЛ [рис. 4). При наруше- Л нии одного из условий получается пара корней. П Рис. 4 Иногда на симплектическом пространстве Г со стандартной структурой,Ув. [х]у] = ~[х,+ у, — хсу,+ ), с=1 вводится согласованная [хотя и связанная с,Уо не канонически, т.с. способом, зависящим от выбора системы координат) евклидова структура Зсо [х]у) = ~~с хьуь. в=1 Для [х [у], как и для любой билинейной форлсы [схс.
й 3), найдется такой линейный оператор .У, что [х] у] = [х],Уу). 116 Гл. 3. Векторные пространсгиео со гжаллрным произведен!!ем Кососимыетричность [х] у] влечет кососил!метричность оператора,7. На самом деле его матрицей в выбранном базисе служит,4. Ясно, что .Т н Нр(И) и,72 = — б. Наглядно оператор,7 можно представлять в виде вращений на угол н,(2 в каждой из симплектических (гиперболических) плоскостей. Назовем плоскость П Н И нулевой, если [П ] П] = О, т.е, [х ] у] = 0 Чх, у Н П (косан ортогональность).
Из определения оператора,7 следует, что плоскость П нулевая в точности тогда, когда плоскости П и,у(П) ортогональны в евклидовом смысле. Так как,у невы- рожденный оператор, то с](щ П = с((щ,у (П), а поэтому размерность нулевой плоскости П в И = И~ не превосходит т. Оператор,у, удовлетворлющий условию Тз = — В, дает возможность ввести в симплектичсское пространство И еще и комплексную структуру. Что под этим следует понимать, разъясняется в 2 4. УПРАЖНЕНИЯ 1. В пространстве Рз вегцественных многочленов ДП степени < 3 векторы 1, ! ортогонвльны относительно скалярного произведения, заданного формулой (! ]9) = ], П!)9(!) б! (частный случай формулы (2)).
Найти а) надпространство (1,!)ь; б) ортонормировапный базис в Рз. 2. Пусть (1;(* э)) евклидова трехмерное векторное пространство такое, что ]х] = (х]х) = Зхз! + 2хз эх ха з— 4хгхз — 2хгхз + 2хзхз (проверить, что эта форма положительно определена). Найти: а) угол а между векторами х = 11, 1.1], у = (2,2, !]; б) все векторы, ортогональные х. 3. Исгюльзуя процесс ортогонвлизации Грама--Шмидта. доказать, что любая невырожденная матрица А = (а, ) Е ЬХ„(И) может быть записана н виде произведения А = ВС ортогональной матрицы В н верхней треугольной матрицы С с беС В = 4 бе! А. 4. Множество Д!ь(Н), рассматриваелюе как пз-мерное евклидово пространство со стандартным скалярным произведением, содержит группу О(п) ортогональных матриц, определяемых п(п -~- 1)/2 соотношениями (!б) или (15') (0(п) суть ортогональная груцпа).
Таким образом, О(п) можно рассматривать как "алгебраическое многообразие" размерности пз — п(пл1)/2 = п(п — 1)/2 = б!гп о(п), где а(п) - векторое пространство кососимметричных матриц порядка и. Естественно ожидать какого-то хорошего соответствия между множествами О(п) и о(п). Примером такого соотнетствня сгужит преобразование Кэяи К = (Š†.4) (Е тА), А =- (Š— К) (Е-~-К). (18) Требуегся доказать, что если Л Е О(п), бе!(Š— Л) Р' О, то К Е о(п), Верно и обратное: каждой матрице К Е о(п) отвечает А Е О(п) с 1 ц Брег(А).
Нри указанном соогветствии из "алгебраического многообразия" 0(п) требуется выбросить "гиперповерхность". определяемую уравнением бе!(Š— А) = О. Можно предложить другое преобразование Кэлп К = (Е-~-Л) (Š— А), Л = (Е-~- К) '(Š— К), (19) где из О(п) нужно удалить вгиперповерхность" с уравнением бе!(А -1- Е) = 9, или,что эквивалентно, ортогональные матрицы с — 1 б Врес(А).
у 2. Эрмигпоеы ееичпорн(пе просгпрансгпеа 117 Требуется убедиться в справедливости соответствия (19). б. 11роверитгч что ортогональные матрицы, полученные преобразованием Коли из кососимметри шых (в соотношениях (18) и (19)), имеют определитель 1 (множество всех таких матриц обозначается символом сО(цО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
