1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Подилгебра Е(Г)и с Е(Ги) овеществленных операторов (относительно стпруктуры „Т) состоит в точности из оператпоров., перестановочных с .Т. Более интересен следующий вопрос. Пусть Р чбтномернос вещественное пространство (скажем., с1ппи И = 2п) и А: 1' -+ т' линейный оператор. Когда на 1' существует комплексная структура ,Т, согласованная с А, т.е. такая, что А = Ви, где В: Г т Г оператор на комплексном и-мерном пространстве Гу Мы разберем содержательный частный случай.
Теорема 1. Пусть е' = Их и А; К вЂ” т И . 3;линейный оператор, не имеющий собственных векпюров. Тогда на 1х можно определить согласованную с А комплексную стпруктуру (подробности сообтиаютсл в ходе доказательстпва). у 4. Колсилеиессфиивиил и овеиэеетвление 151 Доказательство. Согласно условию А имеет два комплексно сопряженных характеристических корня Л, Л.
Положим Л = Л1+1Л2, Л1,Л2 Е К, где Лэ ф О. По теореме Гамильтона- -Кали А2 — СгА+ + (сСеС А)Е = О, т.е. Ая — 2Л1А+ (Лс + Л~~)Е = О. (6) Определим оператор,Т, полагая ,у = Л. 1(А — Л 5), или, что эквивалентно, А = Л 5' + Л .У. Подставляя выражение для А в равенство (6), находим (Л~~Е + 2Л1Л2 У + Л~ 27~) — 2ЛсссЛ1Е + Лэ 7) + ссЛ1 + Лэ)Г = О, откуда стсдует Аэ — Ая сСеС Ан = сСеС Асс = сСеС 12 1 Ас+1А2 А 2 — А2+1А1 = с1еС А1 +1А2 О Аэ Ас — 1А2 А О А А = с1еС А с1еС А = ~ с1еС А~2 3.
Комплексификация. Пусть 1' "- произвольное векторное пространство над Ь размерности н. Непосредственно проверяется, что на внешней прямой сумме Сс Оэ Сс . — векторном пространстве пар (п,и) с операциями а(пи) + а(н', и) = (сэп+ о н, ои -Ь ои), а, а' Е К, соответствием 7: (н,и) еэ (-и,н) определяется линейный оператор, задающий комплексную структуру на С' О С . Эта комплекснал структура называется канонической. ,У = — 5' Согласно общим рассуждениям из п.
2 на Сс определена структура комплексной прямой С1. Так как оператор А перестановочен с,7, то А = Ин, где Б: С' э С' †. — оператор умножения на некоторое комплексное число. Этим числом, очевидно, является Л. П Докажем теперь П р е д л о ж е н и е 3. с1ес Асн = ~ сСеС А~ 2. Доказательство.
Проведем прямые выкладки, основанные на элементарных преобразованиях над полем С и не слишком входящие в детали овеществления. Так как сСес А = с1еС А, где черта означает комплексное сопряжение, и так как имеет место соотношение (4), использующее запись А = А1 + 1'.42, то 152 Гл. Я. Векторные нроетранетеа ео скалярным ароизеедением О п р е д ел е н и е 4. Комплексное векторное пространство Р еэ И, связанное с Г йу 1г, называется комплексификаиией (или комплексной оболочкой) пространства И.
Для него вводится специальное обозначение Если смотреть на С как на векторное пространство размерности 2 над 41, то 1гс = Р Зн С --. частный случай тензорного произведения пространств -- конструкции, широко используемой в математике (мы упоминали о ней в ~ 4 из гл. 1, .а более подробно она будет рассматриваться в главе 6, з 4). Так как йшн(Г 6~ Г) = 2п, то в соответствии с равенством (2) йппс Р с = сйщн Г По определению 1(ц,ч) = .7(п,ч) = ( — ч,ц), так что (п,ч) = (и, О) +1(ч, О). Поэтому пару (п,ч) естественно обозначать и+1ъ.
При этом (и + гч) + (и' + гч') = (и + и') + г(ч + ч'). Далее, (о + Ц) (и + гч) = (оп — Вч) + (оч + Дп), поскольку (об -ь (1,7) (и, ч') = о(п, ч) + Я вЂ” ч, и) = (оп — Дч, оч -~-,Зп). Запомнить эти правила нетрудно, поскольку они в точности соответствук~т правилам действий с комплексными числами. Векторы и+1 0 обозначаются просто через и, так что вещественное пространство 1~ считается подпространством в Ис. О п р о д ел е н и е 5. Комплексификаиией К-линейного оператора А: И вЂ” ~ И назовем С-линейный оператор А: Ис — > 1'с, для которого А (и+1ч) = Ап+1Ач. Имеем импликацию К = (е,,...,ен), ~ И = (е„...,е„) .. Стало быть, матрица А оператора А в базисе (е„..., еа) будет служить одновременно и матрипей .4с оператора Ас в том же базисе, т.е. А =А. В частности, йеС А'" = с1е1 А и Сг Ас = Сг А.
Так как (А+ В)с(п+ Ьч) = (А+ В)п+ г(А+ В)ч = = (Ап + Вп) + ъ~ Ач + Вч) = (Ап + ьАч) + (Вп + 1Бч) = = А (и+ 1ч) +В (и+ гч) = (А' + В )(и+1ч), у 4. Комилсксификоиия и овсщсствлснис 153 то (А+В)с = Ас+Вс. Аналогично проверяется, что (АВ) = АсВс, По аналогии с Ас опреденяются продолженные с к' линейные и, более общо, полилинсйные формы на к'с. Если, например, 7" билинейная форма на вещественном пространстве 1', то полагаем (х + ту, п + гк) = у(х, п) — у (у, м) + 1(у (х, м) + у (у, п) ) . В качестве упражнения проверьте, что из кососиммстричности 7 сясяуст кососиммстричность Х". Пусть теперь 1У --- вещественное векторное пространство со скалярным произведением (к ~ к).
Тогда и на к'~ определяется скалярное произведение (х + уу ~ и + ям~)с:= (х ~ п) + (у ~ и) — г ((х ~~) — (п ~ у)) . Если при атом пара (к;(*~*)) евклидово пространство, то (1гс, (* ~ *)с) будет эрмитовым векторным пространством. В частности, норма ~~ * ~~с на р задается равенством (Йх+ тур ) = ()хЙ + Йур . Возвращаясь к общему случаю, предположим, что А линейный оператор на к', а а + 1Ь собственный вектор с собственнылс значением а + Ц линейного оператора Ас на 1'с (а, Ь е 'к', а, В е Щ. Тогда, в соответствии с определением, Аа + 1АЬ = Ас(а + 1Ь) = (о+ Ц)(а+ гЬ) = (аа — ВЬ) + с(Ва+ оЬ), т.е. Аа = аа — ДЪ, АЬ = Да + пЪ. Такилс образом,(а,Ь), двумерное инвариантное относительно А подпространство.
Так как Ас всегда имеет хотя бы один собственный вектор, то мы еще раз доказали теорему 7 из ~ 3 гл. 2. Заметим, далее, что каждое векторное пространство Г над С размерности п изоморфно комплексной оболочке 1сс подходящим образом выбранного векторного пространства к' над К. Достаточно зафиксировать некоторый базис (ем ,е„) в Г и взять в качестве 1' совокУпность всех вектоРов вида 2 ауе с о е Як: с ь' = (ем ., ., е„)с — — ((ем, .., е„)н) 4. Комплексификацня овеществление комплексификация. Введем обозначение Ьм = (~'с)н для вещественного пространства размерности 2п, полученного из п-мерного вещественного пространства 1У комплексификапией, а затем овешествлением, с1егко понять,что (7) 154 Гл.
Я. Векторные нростренсгнес сс скалярным произеедением причем говорят о вещественной плоскости И и о мнимой плоскости г'1'. Согласно СЗ) на И' определен оператор 7 = (СВ)гч овеществление оператора СВ умножения на 1 в 1'с. Его матрицей сяужит „7о (см. (5)). Оператор .7 меняет местами вещественную и ынимук> плоскости. Простейший случай представится, когда И = Кг, 1гс = С и И' = (С )и = Б'~. На комплексной прямой определена операция комплексного сопряжения а + С,В е-с а + СВ = а — ч',3. В общем случае на пространстве С7) действует аналогичный линейный оператор Я: и + С и ь+ и + ги = и — си с матрицей Расширяя эту ситуацию, рассмотрим произвольный С-линейный оператор А: 1'с — ~ 17с (а при желании даже линейное отображение 1'с — с Г~, где С) ф Сз).
Ком лексно сопрлженнгям к А назовбм оператор А: Ис — > Ис, для которого А и+Сзг = А(и+ Си). При этом СА)и = Я Аи 8. Линейность над С оператора А является простым следствием линейности А и оператора комплексного сопряжения. Записанный в базисе Сес,..., е,) пространства Сг оператор А имеет матрицу .4 = 41+1 4ю а оператор А -- матрицу А = .41 — САС с вещественными матрицами .4г и Аз (ср. с рассуждениями из п.
2). Отсюда следует, что условие А = А необходимо и достаточно для возможности записи А = Бс (комплексификация некоторого вещественного оператора И вЂ” с И). Используя понятие комплексно сопряженного оператора, мы можем записать для любого овеществленного оператора Аи с матрицей (4) СгАн = 2 СгАг = Сг(А+ А) = СгА + Сг А. Пусть П произвольное комплексное пространство. В п. 1 гл. 1 мы рассматривали пример пространства Г., которое назовем комплексно сопряженным с Г и которое отличается от СС только умножением на скаляры; Л уз х = Лх. Аналогично, если СЪ; 7) вещественное пространство с комплексной структурой., то линейный оператор —.7 также определяет комплексную структуру, называемую сопряженной с исходной.
Если, далее, И -- комплексное пространство, отвечающее (СГ,,7), то И-- комплексное пространство, отвечающее (1г, —,7). у 4. Комплексификпиия и оееилестеяеиие 155 Применяя теперь к комплексному векторному пространству Г сначала функтор овеществления, а затем функтор комплексификации,мы построим канонический С-.линейный изоморфизм ~: (Гн)' †« 1г а Г С этой целью заметим,что на Я~) имеются два И-линейных опес ратора; оператор канонической комплексной структурьл,7(х,у) = ( — у, х) и оператор умножения на г = Чг — 1, отвечающий исходной комплексной структуре на 1: г(х,у) = (зх,лу). Так как .7 коммутирует с л, то он С-линеен в этой структуре.
Поскольку,Х2 = — с', его собственные значения равны шг. Введем стандартные обозначения для двух подпространств, отвечающих этим собственным значениялс Г' = ~(х,у) Е (Ги) !,7(х,у) =1(х,у)), 1' ' = 1(х., у) Е (рх) ! .71х, у) = — г(х, у)). Оба множества 1'л о, Го' явллются комплексными подпространствами в (Гн): ясно, что они замкнуты относительно сложения и умно- женил на вещественные числа, а замкнутость относительно умножения на,'1 следует из того, что .1 и г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
