1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Убедиться и гом, что барицентрическая комбинация конечного числа барицентрических комбинаций точек ро, ры..., р„яаляется барицентрической комбинацией этих точек. б. Пусть А . —. и-хшрное. аффинное пространстно. Доказать, что отображение 1': А э А. сохраняющее любые барипснтрические комбинации точек из А, является аффинным преобразованием Гобрашение утверждения Ц из предложения 2). 6. Используя свойства аффинных преобразований, доказать известную теорему о том, что медианы любого треугольника пересекаются и одной точке.
3 2. Евклндовы (точечные) пространства 1. Евклидова метрика. Чтобы полностью приблизиться к реалиям трехмерного физического пространства, мьг введем следующее Определение 1. Аффинное пространство (К, К) называется евклидввым (точечным) пространством, если Ъ' - евклидово векторное пространство. Слово "точечное" мы будем обычно опускать, поскольку ранее рассматривались только евклидовы векторные пространства, и поэтому никакой путаницы не произойдет. Итак, евклидово пространство есть тройка (К, 1Д р), где р(е,*) .-- функция расстояния между точками из К. Именно, Р(Р, 0):= бРУй' = ДРГ)РУ). Здесь (и ~ у) .
- положительно определенная форма, задающая скачярное произведение на 1У. Известные нам свойства функции расстояния в метрических пространствах (см. гл. 3, 2' 3, п. 5) гласят: г) Р(Р У) = Р(У' Р)' й) Р(р,в) = б д=ь р = в;. щ Р(р М+Р(г),г) > р(р,г) (неравенство треугольника). В дальнейшем символом Пр ч будем обозначать прямую, проходящую через две различные точки р, с) 6 К. Определение 2. Углам между прямыми Пр е и Па; назовем угол ьз между векторами р~ и глч: М~ 3) Определение 3. Система координат (о; еы ..,, е„) в евклидовом пространстве (К, К) называется прямоугольной (или декартовой), если (ег,...,е„) ортонормированный базис евклидова векторного пространства Г: (е, ~ е ) = д,з: г, г' = 1, 2,..., п. Пусть р, у точки в К с координатами хы хг,..., х„и ум уг,...
..., у„в прямоугольной системе координат. Тогда координатами век- 188 Гм 4. Аффинныв и ввклидовы тоне ~ныв пространства тора Ру будут у1 — хы .; ув — х„. Поэтому в соответствии с опре- деляющим равенством (1) (2) р(р у) = (у — Ч)з+" +(у — х )э -" обычная формула, по которой измеряется расстояние между точками. Теорема 1. Любые евклидовы (твчечные) пространства К, Е' одинаковой конечной размерности иэвмврфны. Этв значит, чтв суиествувт изомврфное отображение 1: Š— > К' аффанных пространств, сохраняющее расстояние между точками: р(р у) = р'(з'(р) х'(ч)) (8) (р' функция расстояния на Е ).
Доказательство. Выберем прямоугольную систему координат (о; ем..., е„) в К и прямоугольнук> систему координат (о', е(,... ..., е'„) в 7.'. Построим отображение 1; К -~ Е', полагая ((о) = о', У(х1е1 +... + х„е„) = х1е( +... + х„е'„. (4) Так как линейное отображение У': К вЂ” + Е', очевидно, биективно, то проверка, проведеннал при доказательстве теоремы 1 из ~ 1, показывает, что 1 -" изоморфиэм между аффинными пространствами К и Е' с Т11 = У'.
Кроме того, точка р' = 1(р) имеет те же координаты хы, х„, в (о', е',..., е'„), что и точка р в (о ем., ., е„). А так как в Е и в Е' расстояния р(р, у), р'(р', .д') вычисляются по одной и той же формуле (2) (в силу выбора базиса), то условие (3) изоморфизма евклидовых пространств также выполнено. П Введем некоторые новые понятия. Определение 4. Отрезком, соединяя>щим точки р и у аффинного пространства, называется множество рд = (ф+ лр4 ! о < л < Ц. По смыслу ру = ур.
Точка г, удовлетворяющая условию рг = гу, обычно называется серединой отрезка ру'. В случае евклидова пространства под длиной отрезка рд будем понимать величину !ру!:= )!ру!! = р(р,у) 2. Расстояние от точки до плоскости. Пусть П т-мерная плоскость в евклидовом пространстве К размерности и, р точка в К, лежащая вне плоскости П. Пусть у точка в П. Определение 5.
Если (р1! гв) = 0 для любых точек г,я Е П, то говорят, что прямая Пр с перпендикулярна к плоскости П и пишут Пр д 1. П; величина р(р, д) в этом случае называется расстоянием вт точки р до плосквспга П (оно равно нулю, если р Е П), а отрезок рд между точками р и д -- перпендикуляром из точки р на П. Пишут также рд А П. у 2. Евнлидовы (точечные) нространства 189 Длина перпендикуляра †.кратчайшее расстояние от точки р до П, т.е. р(р, г) > р(р, д) для любой точки г Е П, отличной от д.
В самом Рис. 7 деле, как видно из рис. 7, ре. = рд+ 9с сумма двух ортогональных векторов. Поэтому р7р,г) = (рве ~ рев) = (ф ~ рдв) + (дР ~ 9р) = р(р,с))з+ р(д,г) > р(р,е))', если Р ф д (свойство й) функпии р). Пусть П = о + П. Точку с) = о+ х на П ищем из условия ро 1. П. Так как 1с = Г+ Пл (теорема 7 из з 1 гл. 3), .а ор = х + др, где х б Г, то компонента 9р б Г вектора ор существует и определяется однозначно. Чтобы фактически найти перпендикуляр из р на П, выберем в Е прямоугольную систему координат (эе) 1о; ем ..., е, ..., ен), в которой векторы ем..., е составляют базис векторного подпространства Г.
Вектор и = ор мы считаем заданным. Мы найдем 5 = ~~17с)'О, вычислив координаты вектора х = ор + рс) = х7 е1 +... + х„ет. Заметим, что рс)~сП е==ь (рф ) Щ = О е=:э (рф ( е ) = О, 1 = 1,..., т. Следовательно, (х — и/е) =О, 1=1,...,ж, (6) откуда х, = (и! е;), 1 = 1,...,т. Если бы система координат (5) не была прямоугольной, то условия (6) выразились бы в виде системы из т линейных уравнений (е1 ~ е )х1 + (ез ~ е )хх +...
+ (ет ~ е;)хт =си ~ е ), 1 = 1,..., ш, (7) которая по доказанному имеет единственное решение. Система из пс линейных уравнений с еп неизвестными имеет единственное решение только тогда, когда ее определитель отличен от нулл. Определителем 190 Гл. л'. Аффинные и евклидовы точежные пространства системы (7) является (е1~е1) ...
(е~ ~е ) С(еы...,е ) = (8) (е,„(еь) ... е ~е ) ~ (е1 ~ е1) ... (е1 ~ и) ... (е1(е„,) ) (ез )е1) ... (ее )и) ... (ез )е„,) хг— С(еы...,е ) ~ ~(ет /е1) ... (еы !и) ... (еы !ею) ъ = ор. Если (еы...,е) ортоноржированный базис, то х, = (е; ~ ор). 3. Расстояние между плоскостями. Пусть П и П' плоскости в евклидовом пространстве (Е, 1, р): П = р+ С, П' = р' + Г.
Так как р' можно заменять на любую точку в плоскости П', то без ограничения обшности можно считать, что рр' 1 П', т.е. П. у 1. П'. Если одновременно Пр ' А. П, то отрезок рр' обший перпендикуляр к П и П'. Лемма 1. Если отрезок рр' общий перпендикуляр к П и П', то Р(Р,Р') ( Р(д, 1'), (9) каковы бы ни были точки о Е П, д' Е П'. Доказательство.
Пусть д = р+ и, й' = р'+ п'. Так как р' = = р+ р р', то д' = р + р1у + п' и я =рр +п — и. По условию (ф' ~ п) = 0 и (р~'(п') = О, т.е. (ф' ~ п' — и) = О, а в таком случае по теореме Пифагора имеем !)дф (! = ()и — п)! + Орр ((, откуда и следует неравенство (9). П Таким образом, С(еы, е ), называемый определитележ Грома векторов еы..., е,,„, не равен нулю. Мы еше раз получили теорему 1 из ~ 5 гл. 3, фактически повторив все рассуждения.
Резюмируем наши сведения о перпендикуляре. Теорема 2. Из каждой, точки р, лежащей вне плоскости П = = о + П евклидова пространства Е, можно опустить перпендикуляр рф Его длина ~рд~ есть кротчайшее расстояние от р до П. Есле, б любая выбранная нами точка на П, то ру = х — ор, где х = хчеь + ... + х„,е вектор в (7, координаты котороео в любой системе координат (о;еы...,е,...,е„) пространства К вычисляются как решение системы (7) по формулам Крамера у 2. Евклидовы (тисненные) проетнрансптвв 191 Лемма 2.
Любые две плоскости П, П' в (Е, 1т, р) имеют общий перпендикуляр. Доказательство. Пусть П = о+ Гт, П' = у'+ Г. Подберем точки р = д — и, р' = д' — и' так, чтобы вектор ф' был ортогонален к Гт и Г. Очевидно, ф' = и — и'+ уу'. Так как И = (ст+ Г) ей (П+Г) то ф' = Ь + с, где Ь б Гт + Г, с Е (Гт + Г), причем компоненты Ь и с определены однозначно. Кроме того, Ь = ч + ч', ч е Гт, ч' е Г.
Получаем рр = — и + ч + ч + и + с. Вектор рф' будет искомым, если мы возьмем и' = ч', и = — ч. Действительно, тогда рр' = с к (ст + Г)~. П Из лемм 1 и 2 почти непосредственно вытекает Теорема 3. Для любых двух плосьостей П, П' к (Е,1; р) найдутсл такие точки р Е П, р' Е П', чтпо будет выполнено неравенстпво (1). Отпреоок рр' лвляетпся общим перпендикуляром к П и П'. Он определен однозначно в точностпи тогда, когда О П Г = О (Гт, Г направляющие надпространства длл П и П'). Доказательство. Действительно, еояи рр' и дд' --- два общих перпендикуляра, то р(р, р') = р(т), д') и согласно доказательству леммы 2 и = и', т.е. д' = р' + и, у = р+ и, и Е Гт П Г.
Таким образом, множество общих перпендикуляров взаимно однозначно соответствует векторам из ГтОП'. Единственность имеет место только в случае Гтй Г = О. Так обстоит дело, в частности, когда П' точка, и, значит, Г = О. Г1 4. Определитель Грама и объем параллелепипеда. Решение задачи о перпендикуляре в п. 2 привеяо нас попутно к заключению, что определитель Граьта С(ет,..., ев,), вычисляемый по формуле (8), отличен от нуля, коль скоро векторы ем..., е линейно независимы. На С(ет,...,е ) можно смотреть и как на последний главный минор тя, матрицы положительно определенной квадратичной формы д(ч) = (ч ~ ч) на направляющем векторном подпространстве П плоскости П.
Согласно критерию Сильвестра (теореьта 8 из ~ 4 гл. 1) С(ет,, е ) = тя,„> О. Если же ем ..., е,„линейно зависимы и, например, е = оте~ +... + оь, тею ~ (нты уже отвлекаемся от базиса полпространства П),то т — 1 (е,ь~е;)= ~си(е ~е,), т=1,...,т, 1=1 так что последняя строка в С(ет,..., е,„) оказываетсл линейной комбинацией остальных строк. Таким образом, С(еы..., е ) = О и справедлива Теорема 4. Определитель Грама системы векторов ем..., е„, отличен от нуля в точностпи тогда, когда векторы системы ли- 192 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
