1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В соответствии с тео- ремой 6 из Ь' 3 гл. 3 выберем в Е прямоугольную систему координат 1о; е!,..., е„), в которой оператор 'Н принимает канонический внд: 'Не, = Л,е„Л, > О, ! = 1,..., и. Тогда ~ =1 .д. 6, сИЬ+х) = о+ Ох, 6(о+ х) = о+'Нх, (16) так что д -- движение пространства Е, а 6 -- аффинное преобразование, которое можно еше записать в виде произведения 6 — 6! 62 ° ° 6 (17) Здесь!ь!. аффинное преобразование с линейной частью 'Н!л 'Нее, = е, при ! у. -6; Ньеь = Льем Формулы (16) и (17) дают искомое разложение аффинного преобразования З.
П 206 Гл. 4. Афф»»ннв»е и евкл»»девы точсмные иростаранства 6. Выпуклые множества. Вспоминая определение барицентрической комбинации точек (из ~ 1, п. 5) р = Лоро + Л»р» + + Л ф , Ло + Л» + . + Л = 1, (18) и барицентрических координат,мы замечаем теперь,что при т = 1 ро точки р = Лоро + Л»ры Ло + Л» = 1, пробегают всю прямую Пр, р,. Если же дополнительно 0 < рв " й < Л, < 1» 1 = 0,1, то получится отрезок роры При т = 2 точки р = Лоро + Л»р» + Лара, Ло+ +Л» + Лг = 1, Лв > 1, 1 = 0,1,2, пробегают отРис. в крытый треугольник с вершинами ро, ры рг. Действительно, внутренняя точка р треугольника будет внутренней точкой отрезка рос), где д — внутренняя точка отрезка р»р».
Имеем р=Лоро+Лд, Ло+Л=1, Ло>0, Л>0, а»+аз=1, а»0, аг>0 ч = а»Р» + агррл Стало быть, р = Лоро + Л(аср1 + с»гр») = Лоро+ Л»р» + Лар, где Л» = Лся» > О, Ла = Лаг > 0 и Ло+ Л»+Ля = 1 (прямые вычисления или упр. 4 из й 1). Обратно: если р = Лоро+ Л»р» + Лгр» и Ло + Л» + Л» = 1, Л; > О, 1 = 0,1,2, то р = Лоро -1- Л»), где Л = Лс + Л» > О, Ло ч- Л = 1 и ») = а»р» + агр», ໠— — Л»/(Л» + Лг), аг — — Лг/(Л» + Лг), так что а» > О, аг > О, а» + а = 1. Итак, с) внутренняя точка отрезка р» р», а р - внутренняя точка треугольника с вершинами ро, ры ра (рис. 8). Рассуждая аналогичным образом, мы при т = 3 придем к тетраэдру, а при любом т < и — к симплексу. Именно, дадим следующее Определение 3.
Открытым т-мерным симплексом с вершинами в точках общего положения ро,ры...,р называется множество всех точек вида (18) с положительными барицентрическими координатами Ло, Лы..., Л . Неотрицательные барицентрические координаты относительно системы ро, ры..., рю соответствуют точкам замкнутого симплекса с вершинами ро, ры..., р Теорема 12. Обр зом любого т-мерного симплекса при аффинном автоморфиаме является симплекс. Все лммерные симплексы в аффинной геомеп»рии конгруэнтны. Доказательство. Это почти очевидно. Пусть )': А — р А аффинное преобразование с линейной частью линейным оператором У-: 1с — у 1с.
Применяя 1 к обеим частям равенства (18) с Л, > 0 и используя предложение 2, Ц из з 1, мы придем к равенству ~Я = ЛоХ»ро) + Л»1»р») +. + Л Х(ф» ), 9 3. Труппы и геометрии 207 означающему, что Х(р) .. точка симплекса с вершинами Х(ро), ры, ., ..., Х(р ). Последнее утверждение теоремы есть перефразировка утверждения теоремы 8. П Определение 4.Пусть(А,1') аффинноепространство. Подмножество М с А называется выпуклым, если вместе с любыми то ь ками р, о оно целиком содержит отрезок рф Симплекс -- важный пример выпуклого множества. Понятно, что пересечение любого числа выну.клых множеств выпукло.
Определение 5. Пересечение всех выпуклых множеств, содержащих данное множество ЛХ, называется выпуклой оболочкой мнолсества Ы и обозначается С(М). Очевидно, что С(ЛХ) = ЛХ в точности тогда, когда М выпукло. Собственно говоря, т-мерный симплекс с вершинами ро,..., р„, является выпуклой оболочкой у.казанной системы точек.
Предложение 1. Пусть М вьтуклое мноокеств, р Е А. Тогда С(лх0р) = 0рд, о 6 лх. Доказательство. По определении> отрезок ро, о е ЛХ, принадлежит любому выпуклому множеству, содержащему М и р. Стало быть; 0вемрй С С(М 0р). Обратное включение будет следовать из выпуклости множества 0ро, о е М, проверкой которого мы и займемся. ПУсть ды дг е М. ТогДа пРоизвольным точкам гь Е Роы гг Е Рйг отвечает точка т е т, гг. Покажем, что г 6 ро, где о какая-то точка из Х ЛХ.
Предположим сначала. что точки 4 р, йы дг не лежат на одной прямой. Тогда они принадлежат своей аффин- Р' Ч' ной оболочке -- двумерной плоскости П = А(11,оы дг), к которой мы вправе Рис. 9 применять обычную элементарную геометрию. В частности, мы замечаем, что прямая Пй в пересекает отрезок д1ог в некоторой точке д. Ввиду выпуклости ЛХ имеем включение о й М (рис. 9). В таком случае г Е ро, т.е. в этом случае все доказано. Если же точки р, йы дг лежат на одной прямой, то в качестве о можно взять просто одну ИЗ ТОЧЕК йы дь П Теорема 13. Аффинно-линейная функиия Х на вьпгйклой обола ске 5 = С(ро,ры...,р„,) конечной системы точек ро 1 = О, 1,... ..., т (т.е.
на симплексв), достигает своего максимума в одной из вериьин: п1ахХ(р) = шахХ(р ). ре» 208 Гл. 4. Аффинные и евклндоеы точечные пространства Доказательство. При т = 0 утверждение теоремы тривиально. Используем, далее, индукцию по т > О. Считаем по предположению индукции, что максимум функции 1 на выпуклом множестве М = С(ро,...,р„, 1) равен шах,< ?(р?). Ввиду предложения 1 всякая точка Й и Я содержится в некотором отрезке ртд), .с) Е ЛХ, и, значит, 1=р +Лр-ф, Если У вЂ” линейная часть функции ?', то .((') = Ы ) + Лу ЮА) -Г(Р Ю) = И 1) — ~(р? ) а поэтому ф(в) = (1 — ЛЦ(Рп,) + Л?(д) < 1пах(ф(Р ),1(1))) ( шахф(Р;). ьл 1<ее Несложная теорема 13 относится к аппарату линейного программирования, имеющего прикладное значение.
у прджнвпия 1. Убедиться, что группа А1(рр ) автоморфивмов аффинной прямой над полем из р элементов (р простое) имеет порядок р(р — 1). Какой группе иаоморфва А1(ра)? 3. Дать геометрическое описание собственного движения 1" евклидовой плоскости, если Гл? = — ~' ~, По) = (1,1). 3. Провести классификацию собственных движений четырехмерного евклидова точечного пространства. 8 4. Пространства с индефинитной метрикой 1. Индефинитная метрика. Под пространством со скалярным произведением мы условились понимать векторное пространство 1?, рассматриваемое вместе с фиксированной невырожденной квадратичной формой д(х) = 1(х,х) = ~а? т,я .
Евклидовы и эрмитовы (унитарные) пространства, соответствующие положительно-определенной форме д (обычной или эрмитовой), нами рассмотрены достаточно подробно. Важную роль играют также пространства с так называемой индефинитной метрикой, отвечающей неопределенной форме д. Как известно из Л 4 гл. 1, при надлежащем выборе базиса (е,) пространства 1? невырожденная форма ?1 у' 4. Пространства с»ндеф»нитной метрикой 209 принимает нормальный вид д(х) =х,+...-~-х,— х,,—...— х„ (1) 1основным полем теперь считается К).
Скалярным произведением на К будет 1х ~ у):= х>у> +... + х,у„— х,, >уч > —... — х„ун. Чтобы оставаться в вещественной области, будем говорить только о квадрате нормы (длины) ~~х~~~ = (х ~ х) вектора х, которая может принимать как положительные., так и отрицательные значения при 1 < в < и — 1. Воктор х будем называть изотропным, если ~~хО~ = О.
На аффинном пространстве К, связанном с векторным пространством К, определен квадрат "расстояния" р'(р, у) = ~(у — )' — ~ Ь вЂ” х )з — > — ->- 1 между точками р1х>,..., х>,), е)(у>,ун) Е К. Квадратичная форма 1х ~ х) называется еше метрической формой векторного пространства К, а рх1р,й) -- метрической формой аффинного пространства К. При 1 ( в ( и — 1 пространство К называется псевооев аидовым, а при в = 1 говорят еще о проетране>пве Минковсноео 1иногда к нему относят случай в = и — 1, но это несущественно: замена формы у на — у).
В ечучае и = 4 пространство Минковского отвечает физическому пространственно-временному континууму и играет важную роль во всех вопросах, связанных со специальной теорией относительности. 2. Псевдоевклидовы движения. Согласно обшей концепции, изложенной в З 3> п. 4, геометрия псевдоевклндова пространства определяется группой 0 псевдоевклидовых движений, которая порождается подгруппой Т параллельных переносов (сдвигов) и стационаРной подгРУппой 01вкп — в) некотоРой фиксиРованной точки о Е К (подгруппой, оставляюшей о на месте). При в = и мы имеем ортогональнук> группу 01п) = 01п, 0). В общем же случае "псевдоортогональная' группа 01в, п, — в) состоит из линейных операторов У: К вЂ” > К, сохраняюших форму 11).
Говорят также, что 01в,п — в) -- группа авто.норфизмов формы ф В выбранном каноническом базисе 1еы...,е„) пространства Г форма 11) имеет матрицу. Е, 0 0 — Е„ а оператор У е 01в,п — в) матрицу Е такую, что 'Е 1, К=1, Чтобы это понять, надо вспомнить закон изменения матрицы квадратичной формы при переходе к другому базису, в данном случае Ы А.И.Кострнкин 210 Гл.
л. Аффинныс и свннидовы тоненныс пространства к базису (Уеы...,Уе„). Очевидно, как и в случае ортогональной группы, с1ет У = с1ес Е = х1. Если с!ех У = 1, то говорят, что У собственный автоморфизм формы о, а аффинное преобразование 1: 1Š— + 1Е с Ру = У собственное "пссвдосвнлидово" движение. Заметим еще, что автоморфизм У формы о переводит изотропные векторы в изотропные, поскольку й(Ух, Ух) = Ч1х.
х) = О. 3. Группа Лоренца. Как уже отмечалось, четырехмерное вещественное пространство с невырожденной симметричной метрикой сигнатуры (1,3) занимает особое место. Определение 1. Группа 0(1,3) называется группой,Лоренца и обозначается 1. В этом случае стандартными являются обозначения Г = (ео, ел, ез, ез), х — сео -1- х,е, + х ео 4- хвез, ~1х~~ Ч(х) ~ х1 х2 хз' Достаточно интересным являетсл частный случай "одномерной группы Лоренца" Ь| автоморфизмов двумерного пространства, сохраняющих метрику (п1ц) =1 — х .
У(во+ е~) =о1ео+е~), У1ео — е~) =31ео — ел), У1ео+ ел) = о(ео — ел), У(ео — ел) = р1ео+ ел). Рассмотрим одну из этих возможностей, например, первую. Имеем о+Д У'ео = ео 2 о — Д Уел = ео 2 и —,3 + еы 2 о+Д + ел. 2 Матрица о — Д 2 и+,3 2 оператора У имеет определитель де1 Е = оД. Ограничимся собственным преобразованием Лоренца, т.е. будем считать о13 = 1.
Для пре- Группа 1 ~ описывает физическое движение по прямой 1у нас теперь х не вектор, а координата вектора и = сео + хел). Ясно, что все изотропные векторы пропорциональны векторам ео + е~ и ео — еы Поэтому для оператора У в силу его невырожденности имеются две возможности: у' 4. Пространство с индсфннитной вввтрино11 211 образования координат получим (.') 2 а +а откуда Введем обозначение а — а а — 1 — 1 2 =О= (2) а+ сс — ' ох + 1' Еще один повод к недоразумению: у нас с скаляр, а не вектор, как было раньше.
Рассматриваемая величина соответствует физической скорости, а скорость принято обозначать буквой т Заметим, что всегда ~е~ ( 1, и поэтому имеют смысл выражения, вытекающие из соотношения (2): 2 1 — е 1 — с а =, а=с 1+ о' '1' 1+ о' а+а ~ 1 2 Д вЂ” ох Наконец, получаем 1 — ох, х — о1 х (3) ъ'Т вЂ” вх ъ'Т вЂ” ьх Эта элегантная формула записана в масштабе, когда скорость света принята за единицу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
