1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 46
Текст из файла (страница 46)
5 из 3 1 гл. 3). После подстановки будем иметь Я(о+ к) = ~ Лги", + 2рете-, ~, .х = ~апео е=-1 е=1 как и требуется в формуле (15). Однозначность типов (14) и (15) докажем, исходя из следующих соображений. Согласно теореме о приведении к главным осям квадратичной формы у ранг т и числа Л; определены единственным образом. Число еда = Ц(о) не зависит от выбора центра о (сьь (8)). Нам осталось установить отсутствие произвола в выборе константы 1е > О в формуле (15). Предположим, что в какой-то прямоугольной системе координат 1о',е',...,е'„) будет Ц(о'+х) = ~Л,(т',)а+2рл'.е..
р' > О. Пусть У симметричный линейный оператор на 1', соответствующий билинейной форме У, полярной к д (сьь п. 1 из 3 3 гл. 3): )'(х,у) = (Ух ~ у). 224 Гл. о. Квадрики а поэтому матрица перехода от (ес) к (е',.) имеет вид В О О Вг с ортогональными матрицами В! размера ! х т и Вг размера (и — т) х (и — т). С учетом переноса начала координат и отсутствия в выражониях для (г координат с номерами > т+ 1 получаем '!' Л,х~ = ~ ~Лс(х') + 2и, 2рх„а! — — 2р'х'„, — 2о, ! Е 2. Отсюда с! ! о Хс-!-! с = ' с-Ы В силу ортогональности В в выражении хсд ! = 2 о ту + оо должно выполняться равенство 2 , 'ог = 1, которое в нашем случае сводится .! к соотношении> Отсюда вытекает нужное нам равенство р' = р, поскольку р' и р положительны.
П УИРА?КНЕНИЯ 1. Считая 2а > ! > О, найти число классов эквивалентных нецентральных квадратичных функций на п-мерном аещестаенном аффинном цространстие. 2. Найти С(С2) длл каадрати"цщй функции С? над Ж аида хэ! -~-2 2 х,х -!-22 х, -!- !. !« с< 2 2. Квадрики в аффинном и евклидовом пространствах 1.
Общее понятие квадрики. Каждой квадратичной функции 1;) на А ставится в соответствие пространственная конфигурапия точек В!2, называемая коадрикой (или поверхностью (,гиперноясрхношпью) второго порядка) и определяемая как кгеометри !еское. место" (множество) всех точек р Н А, удовлетворяющих уравнению с<У(р) = О. При п = 2 квадрики называются еще коническими сечениями (кривыми 2-го порядка).
Квадрики можно рассматривать (и они действительно встречаются в различных задачах) над произвольным ~ А Квадрики в аднрйнном и свнлидовом нросолранслпвах 225 полем И, причем наиболее естественно брать в качество Я алгебраически замкнутое поле, например Я = С. Однако из соображений наглядности (тоже, впрочем, несколько условной) мы ограничимся случаелс полл хс = Н.
Здесь с самого начала удобно временно исключить из рассмотрения так называемые "нулевые" квадрики, на которых нет ни одной точки. Скажем, квадратичная функция хс + х~~ + 1 определяет нулевую кривую. Более точно: в дальнейшем предполагается, что квадрика Ясл, заданная уравнением бд(р) = О, —— непустое множество и что гап1с Есу;= х = гап1с Я = гап1с у > О. Считаем также п ) 2. Определение 1. Квадрика называется двойным подпроспсранством, если она совпадает с аффинной плоскостью в А. Например, уравнение х'-'-ь...
+х'. = 0 в и-ллерноъс пространстве А равносильно системе хл — — О, ..., хс = 0 и, стало быть,. определяет (и — г)-мерное подпространство. Определение двойного подпространства не зависит от системы координат, поэтому квадратичную функцинл Ц, опредеяяюлпую Ес1, можно брать в каноническом виде.
Как показывает следствие теоремы 2, любое двойное подпространство задается уравнением рассмотренного выше типа хл +... + х~ = О. Заметим, что двойные (линейные) подпРостРанства ххс + х~ ~= 0 и 2хс + Зх~з = 0 изображают в трехмерном пространстве одну и ту же прялсукл хс = О, ха = О. Ситуация совершенно меняется и становится гораздо более удовлетворительной в случае квадрик, отличных от двойных подпространств. Теорема 1 (теорема единственности) . Если квадрика Я не является двойным подпрошпранством, пло любые два ее уравнения (в одной и той лсе системе координат) пропорциональны, т.е. Е,у, =Е=Е~, =л дз=Лбд,, Л~Ь*. До к аз а тельство. По условию наша квадрика Я задается двумя уравнениями: Ол ср) = 0 и Яз(р) = О.
Бегяого взгляда на формулы (12) и (13) из з 1 достаточно, чтобы убедиться в существовании на квадрике Е не менее двух различных точек. Более того, существуют хотя бы две различные точки р, д б Я такие, что проходящая через них прямая Пр ц не содержится целиком в Е. В самом деле, иначе в соответствии с теоремой 4 из ~ 1 гл. 4 квадрика Я сводилась бы к аффинному подпространству (плоскости), т.е. была бы двойным подпространством.
Легко видеть, что Пр 4 С Я = (р., Д вЂ” множество из двух точек. Зафиксируем две точки р, у й Я с указанным свойством и выберем р за начало координат в А, а вектор р$ ~ 0 за последний вектор базиса (ес,...,е„) пространства Т'. Тогда Пру будет состоять из точек с координатами (О,..., О, Д.
Точка р имеет координаты (0,...,0,0), а с) координаты (0,...,0,1). СВ А.И.Кострикнн 226 Гж 5. Квадраки Распишем О~ по степеням координаты ха: О~ (р+ х) = дх„+ д(хм,, ., т„, ~)х„+ 6(хы, .., х ~). Здесь д — многочлон первой степени, а 6 — многочлен второй степени относительно хм ...,х„ ~ (д и 6 не обязательно линейные многочлены). Тот факт, что П 4 пересекается с Я в двух разных точках, означает,что трсехчлен бх"„ + д(0)х„ + 6(0) имеет два различных вещественных корня, т.е. д(0)е — 4б6(0) > 0 (на самом деле д у'.
-О, д(О) ф О, 6(0) = 0). Поделив на б, мы можем считать с самого начала б = 1. То же верно и для Цт. Итак, Я;(р+ х) = х~ + д;(хм..., х„~)х„+ 6,(хм..., х„~), 1 = 1, 2, причем Ьд(0) > О, Ье(0) > О, где с',(хы...,х д = д,(хы...,ха ~) — 46,(хм...,.х — ~) '~ = 1 2 дискриминант многочлена Ч'; от переменной х„с коэффициентами в и(х~ ° .
х — ~). При осуществленной нами нормировке нужно показать, что Яе = Яь Выберем произвольные, но фиксированные скаляры Лм... ..., Ла ~ е К и рассмотрим в А плоскость х~ =1Лм ..., х ~ =1Л„м 1ей. Тогда для х = 1Л~е~ +... +1Л„. ~е„~ + х„е„ будем иметь д,Щ+ х) = хз + д;«)х,„+ 6;«), (2) где Е) = 6,(ЕЛм... «Ла ~). (3) д,«) = д,«Л,.....,.~Л„,), 6,( Положим также Ь,«) = д.,«)' — 46;«), 1=1,2.
По условию Ь~(0) > О, .Ьз(0) > О. Найдется, следовательно, такое е > О, что при ф < е будут выполнены неравенства Ь|«) > О, Ье«) > О. Иначе говоря, многочлены (2) имеют при любом ф < е два различных вешественных корня. Но по условию множества корней этих многочленов при фиксированном 1 совпадают это есть просто пересечение Я с подпространством (1). Раз нормализованные многочлены степени 2 имеют одинаковые корни, то их коэффициенты совпадают: д,«) =д,«), 6,(г)=бе«), ф <е. (4) уе Я. Квадрини в а«йфинном и еанлидоаом пространствах 227 Но значений 1 Е К, [1[ ( е, бесконечно много, следовательно, равенства [4) справедливы при всех а В частности, они выполнены при 1 = 1.
Положив 1 = 1 в (3), перепишем (4) в виде равенства полиномиальных функций: У,[Л„...,Лп,) =У,[Л„...,Лп,), (5) 51[Л1...,Лп 1) = й,[Л1 «...,Лп 1). Из [ВА 1) мы знаем, что две полиномиальные функпии Д,; Л «-~ ьв Д[Л) степени т, совпадающие при Й ) т+1 различных значениях Л, совпадают как многочлены: 11[Х) = 1з(Х). Обобщением на случай многочленов многих переменных служит следующее утверждение [см. [ВА 1, упр.
2 в ц 1 гл. 6)). Если многочлены 11[Х1,..., Хп. 1) и )1(Хм...,Хп «) опРеДелЯют оДинаковые полиномиальные фУнкции К" 1 -+ К, то они совпадают, т.е, их козффициенты равны. Для доказательства нужно расписать многочлены по степеням одной переменной и воспользоваться индукпией по и.. Опираясь на зто утверждение, мы переходим от [5) к равенствам У1[Х1« .
«Хп — 1) У2[Х1««тп — В)« 61[ХМ..., Хп 1) = АЗ(Х1,..., Хп 1), которые показывают, что Я1 = О1а. Е3 2. Центр квадрики. Непосредственно видно, что изображенная на рис. 10 квадрика симметрична относительно начала координат. Более общую геометрическую картину отражает Определение 2. Точка о аффинного пространства А называется о -~- х центром (или центром симмееприи) квадрики ЯС1, если вместе с любой точкой о + х к ое;1 принадлежит и точка о — х.
Квадрика Я называется центральной, если у нее есз ь хотя бы один центр, и нецентральноа, если центр отсутствует. Рас. 10 Предположим, что центральная квадрика Я с центром в точке о не является двойным подпространством. Пусть Я(б+ х) = д[х) + 21(х) + ео = 0 ее уравнение. В силу центральности Я квадратичная функция 1,)«[д+ х):= еа«(о — х) определлет ту же квадрику Я: 91[о+ х) = У[х) — 21[х) + ео = О. По теореме 1 имеет место пропорциональность Я«=ЛЯ, ЛЕК„ 228 Гл. 5. Квадрики а так как у ф О, то это возможно лип<ь при Л = 1 и 1 = О. Но мы уже знаем из п.
2, что 1 = О условие центральности точки о для Я. Ыы приходим к выводу, что центр квадрики (не являющейся двойным подпространством) и ценп<р для квадра<пичной функции <г, задающей эп<у квадрику, совпадают. Множество С(Я<<) центров симметрии квадрики 5<-< совпадата с множестпвом СЯ) центиральных точек для квадратичной функции Я и является (в случае иепутпоты) аффинным подпространством (теорема 1 из З 1). Способ его описания в какой-либо координатной системе был нами разобран, поэтому вопрос о центральности любой квадрики 5 может быть решен эффективно. 3.
Канонические типы квадрик в аффинном пространстве. Основной является Теорема 2. Уравнение квадраки в и-мсрном вещественном аффинном пространстве приводится аффинным автоморфизмом к одному и толька одному из следующих канонических типов.