Главная » Просмотр файлов » 1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93

1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 46

Файл №824980 1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (Кострикин 2000 Линейная алгебраu) 46 страница1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980) страница 462021-01-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

5 из 3 1 гл. 3). После подстановки будем иметь Я(о+ к) = ~ Лги", + 2рете-, ~, .х = ~апео е=-1 е=1 как и требуется в формуле (15). Однозначность типов (14) и (15) докажем, исходя из следующих соображений. Согласно теореме о приведении к главным осям квадратичной формы у ранг т и числа Л; определены единственным образом. Число еда = Ц(о) не зависит от выбора центра о (сьь (8)). Нам осталось установить отсутствие произвола в выборе константы 1е > О в формуле (15). Предположим, что в какой-то прямоугольной системе координат 1о',е',...,е'„) будет Ц(о'+х) = ~Л,(т',)а+2рл'.е..

р' > О. Пусть У симметричный линейный оператор на 1', соответствующий билинейной форме У, полярной к д (сьь п. 1 из 3 3 гл. 3): )'(х,у) = (Ух ~ у). 224 Гл. о. Квадрики а поэтому матрица перехода от (ес) к (е',.) имеет вид В О О Вг с ортогональными матрицами В! размера ! х т и Вг размера (и — т) х (и — т). С учетом переноса начала координат и отсутствия в выражониях для (г координат с номерами > т+ 1 получаем '!' Л,х~ = ~ ~Лс(х') + 2и, 2рх„а! — — 2р'х'„, — 2о, ! Е 2. Отсюда с! ! о Хс-!-! с = ' с-Ы В силу ортогональности В в выражении хсд ! = 2 о ту + оо должно выполняться равенство 2 , 'ог = 1, которое в нашем случае сводится .! к соотношении> Отсюда вытекает нужное нам равенство р' = р, поскольку р' и р положительны.

П УИРА?КНЕНИЯ 1. Считая 2а > ! > О, найти число классов эквивалентных нецентральных квадратичных функций на п-мерном аещестаенном аффинном цространстие. 2. Найти С(С2) длл каадрати"цщй функции С? над Ж аида хэ! -~-2 2 х,х -!-22 х, -!- !. !« с< 2 2. Квадрики в аффинном и евклидовом пространствах 1.

Общее понятие квадрики. Каждой квадратичной функции 1;) на А ставится в соответствие пространственная конфигурапия точек В!2, называемая коадрикой (или поверхностью (,гиперноясрхношпью) второго порядка) и определяемая как кгеометри !еское. место" (множество) всех точек р Н А, удовлетворяющих уравнению с<У(р) = О. При п = 2 квадрики называются еще коническими сечениями (кривыми 2-го порядка).

Квадрики можно рассматривать (и они действительно встречаются в различных задачах) над произвольным ~ А Квадрики в аднрйнном и свнлидовом нросолранслпвах 225 полем И, причем наиболее естественно брать в качество Я алгебраически замкнутое поле, например Я = С. Однако из соображений наглядности (тоже, впрочем, несколько условной) мы ограничимся случаелс полл хс = Н.

Здесь с самого начала удобно временно исключить из рассмотрения так называемые "нулевые" квадрики, на которых нет ни одной точки. Скажем, квадратичная функция хс + х~~ + 1 определяет нулевую кривую. Более точно: в дальнейшем предполагается, что квадрика Ясл, заданная уравнением бд(р) = О, —— непустое множество и что гап1с Есу;= х = гап1с Я = гап1с у > О. Считаем также п ) 2. Определение 1. Квадрика называется двойным подпроспсранством, если она совпадает с аффинной плоскостью в А. Например, уравнение х'-'-ь...

+х'. = 0 в и-ллерноъс пространстве А равносильно системе хл — — О, ..., хс = 0 и, стало быть,. определяет (и — г)-мерное подпространство. Определение двойного подпространства не зависит от системы координат, поэтому квадратичную функцинл Ц, опредеяяюлпую Ес1, можно брать в каноническом виде.

Как показывает следствие теоремы 2, любое двойное подпространство задается уравнением рассмотренного выше типа хл +... + х~ = О. Заметим, что двойные (линейные) подпРостРанства ххс + х~ ~= 0 и 2хс + Зх~з = 0 изображают в трехмерном пространстве одну и ту же прялсукл хс = О, ха = О. Ситуация совершенно меняется и становится гораздо более удовлетворительной в случае квадрик, отличных от двойных подпространств. Теорема 1 (теорема единственности) . Если квадрика Я не является двойным подпрошпранством, пло любые два ее уравнения (в одной и той лсе системе координат) пропорциональны, т.е. Е,у, =Е=Е~, =л дз=Лбд,, Л~Ь*. До к аз а тельство. По условию наша квадрика Я задается двумя уравнениями: Ол ср) = 0 и Яз(р) = О.

Бегяого взгляда на формулы (12) и (13) из з 1 достаточно, чтобы убедиться в существовании на квадрике Е не менее двух различных точек. Более того, существуют хотя бы две различные точки р, д б Я такие, что проходящая через них прямая Пр ц не содержится целиком в Е. В самом деле, иначе в соответствии с теоремой 4 из ~ 1 гл. 4 квадрика Я сводилась бы к аффинному подпространству (плоскости), т.е. была бы двойным подпространством.

Легко видеть, что Пр 4 С Я = (р., Д вЂ” множество из двух точек. Зафиксируем две точки р, у й Я с указанным свойством и выберем р за начало координат в А, а вектор р$ ~ 0 за последний вектор базиса (ес,...,е„) пространства Т'. Тогда Пру будет состоять из точек с координатами (О,..., О, Д.

Точка р имеет координаты (0,...,0,0), а с) координаты (0,...,0,1). СВ А.И.Кострикнн 226 Гж 5. Квадраки Распишем О~ по степеням координаты ха: О~ (р+ х) = дх„+ д(хм,, ., т„, ~)х„+ 6(хы, .., х ~). Здесь д — многочлон первой степени, а 6 — многочлен второй степени относительно хм ...,х„ ~ (д и 6 не обязательно линейные многочлены). Тот факт, что П 4 пересекается с Я в двух разных точках, означает,что трсехчлен бх"„ + д(0)х„ + 6(0) имеет два различных вещественных корня, т.е. д(0)е — 4б6(0) > 0 (на самом деле д у'.

-О, д(О) ф О, 6(0) = 0). Поделив на б, мы можем считать с самого начала б = 1. То же верно и для Цт. Итак, Я;(р+ х) = х~ + д;(хм..., х„~)х„+ 6,(хм..., х„~), 1 = 1, 2, причем Ьд(0) > О, Ье(0) > О, где с',(хы...,х д = д,(хы...,ха ~) — 46,(хм...,.х — ~) '~ = 1 2 дискриминант многочлена Ч'; от переменной х„с коэффициентами в и(х~ ° .

х — ~). При осуществленной нами нормировке нужно показать, что Яе = Яь Выберем произвольные, но фиксированные скаляры Лм... ..., Ла ~ е К и рассмотрим в А плоскость х~ =1Лм ..., х ~ =1Л„м 1ей. Тогда для х = 1Л~е~ +... +1Л„. ~е„~ + х„е„ будем иметь д,Щ+ х) = хз + д;«)х,„+ 6;«), (2) где Е) = 6,(ЕЛм... «Ла ~). (3) д,«) = д,«Л,.....,.~Л„,), 6,( Положим также Ь,«) = д.,«)' — 46;«), 1=1,2.

По условию Ь~(0) > О, .Ьз(0) > О. Найдется, следовательно, такое е > О, что при ф < е будут выполнены неравенства Ь|«) > О, Ье«) > О. Иначе говоря, многочлены (2) имеют при любом ф < е два различных вешественных корня. Но по условию множества корней этих многочленов при фиксированном 1 совпадают это есть просто пересечение Я с подпространством (1). Раз нормализованные многочлены степени 2 имеют одинаковые корни, то их коэффициенты совпадают: д,«) =д,«), 6,(г)=бе«), ф <е. (4) уе Я. Квадрини в а«йфинном и еанлидоаом пространствах 227 Но значений 1 Е К, [1[ ( е, бесконечно много, следовательно, равенства [4) справедливы при всех а В частности, они выполнены при 1 = 1.

Положив 1 = 1 в (3), перепишем (4) в виде равенства полиномиальных функций: У,[Л„...,Лп,) =У,[Л„...,Лп,), (5) 51[Л1...,Лп 1) = й,[Л1 «...,Лп 1). Из [ВА 1) мы знаем, что две полиномиальные функпии Д,; Л «-~ ьв Д[Л) степени т, совпадающие при Й ) т+1 различных значениях Л, совпадают как многочлены: 11[Х) = 1з(Х). Обобщением на случай многочленов многих переменных служит следующее утверждение [см. [ВА 1, упр.

2 в ц 1 гл. 6)). Если многочлены 11[Х1,..., Хп. 1) и )1(Хм...,Хп «) опРеДелЯют оДинаковые полиномиальные фУнкции К" 1 -+ К, то они совпадают, т.е, их козффициенты равны. Для доказательства нужно расписать многочлены по степеням одной переменной и воспользоваться индукпией по и.. Опираясь на зто утверждение, мы переходим от [5) к равенствам У1[Х1« .

«Хп — 1) У2[Х1««тп — В)« 61[ХМ..., Хп 1) = АЗ(Х1,..., Хп 1), которые показывают, что Я1 = О1а. Е3 2. Центр квадрики. Непосредственно видно, что изображенная на рис. 10 квадрика симметрична относительно начала координат. Более общую геометрическую картину отражает Определение 2. Точка о аффинного пространства А называется о -~- х центром (или центром симмееприи) квадрики ЯС1, если вместе с любой точкой о + х к ое;1 принадлежит и точка о — х.

Квадрика Я называется центральной, если у нее есз ь хотя бы один центр, и нецентральноа, если центр отсутствует. Рас. 10 Предположим, что центральная квадрика Я с центром в точке о не является двойным подпространством. Пусть Я(б+ х) = д[х) + 21(х) + ео = 0 ее уравнение. В силу центральности Я квадратичная функция 1,)«[д+ х):= еа«(о — х) определлет ту же квадрику Я: 91[о+ х) = У[х) — 21[х) + ео = О. По теореме 1 имеет место пропорциональность Я«=ЛЯ, ЛЕК„ 228 Гл. 5. Квадрики а так как у ф О, то это возможно лип<ь при Л = 1 и 1 = О. Но мы уже знаем из п.

2, что 1 = О условие центральности точки о для Я. Ыы приходим к выводу, что центр квадрики (не являющейся двойным подпространством) и ценп<р для квадра<пичной функции <г, задающей эп<у квадрику, совпадают. Множество С(Я<<) центров симметрии квадрики 5<-< совпадата с множестпвом СЯ) центиральных точек для квадратичной функции Я и является (в случае иепутпоты) аффинным подпространством (теорема 1 из З 1). Способ его описания в какой-либо координатной системе был нами разобран, поэтому вопрос о центральности любой квадрики 5 может быть решен эффективно. 3.

Канонические типы квадрик в аффинном пространстве. Основной является Теорема 2. Уравнение квадраки в и-мсрном вещественном аффинном пространстве приводится аффинным автоморфизмом к одному и толька одному из следующих канонических типов.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,05 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6499
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее