1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 40
Текст из файла (страница 40)
4. Аффггнные и евклидова! точечные. пространства нейно независимы. Всееда выполнено неравенство С(ег,..,ге ) > > О, частным случаем котпорозо при о! = 2 лвляетпся неравенство Коши .Буняковского. Определитель Грама С(е 1,..., е, ) можно истолковать как квадрат из„объема параллелепипеда Р(ор1,,., гор ) со сторонами ггр!г ' ' ' !сгрт (рг г!+ егг з 1г гол) Р(орл,...,ор ) = (1!ор, +...+1 ор ~ 0 <1, < Ц. (10) е = п„,(Р(ор„..., орт)) = ~с1ес(агд)!т~, что полностью соответствует замечаниям из (ВА 1г гл. 3, 3 1, п. 1].
Поэтому ам ., ал„, ам ... а„,! а1т ° атт ам ... агт (ипг) !за!1 .. агпгп ат! гп а, = ~ ~алгол = (Ег ~Е1), = 11сл(ае )г ввиду ортонормированности базиса (11,... г 1 ). Следовательно, (е! (е!) ... (ел ~е ) (ет ~ е!) ... (ет ~ ет) (От)2 = =С(ел,...,е ). Итак, определитель Грама С(ел,..., е ) равен квадрату объема т-мерного параллелепипеда со сторонами орл, ..., ор По поводу объемов фигур в евклидовом пространстве более подробные разъяснения даны в учебном пособии [2). У|1РАЖНЕНИЯ 1. Найти расстояние от точки р = (2, 1,— 3,4) до плоскости Н: 2х! — 4хз — 8хз + 13х4 -!- 19 = О, х! -~-х! — хз + 2х4 — 1 = О. 2. Найти расстояние между плоскостями Нг! х! Ъ хз + хг — 2х" — 2 =- О, х! + х! — х4 — хз — 3 =.
О, т! — хз -~- зхз †— 1 = О; Нз! (1,— 2,йг,8,2) 4-((О,1,2,1,2), (2,1,2,— 1,1». Пусть (11,... г 1,„) ортонормированный базис векторного пространства (г', в которол! лежат векторы е„..., егп (возможно, линейно зависилгые), и пусть е =~а! 1!. г=.! По определению считаем у 3. Группы и геометрии 193 3. Показать, что обьем е параллелепипеда (11) вычисляегся по формуле и =йор( 1| "1., зй, где 1| длина перпендикуляра, опу|ценного из гочки рьт, на аффинную оболочку .4(о, р|,..., р,).
9 3. Группы и геометрии 1. Аффннная группа. Вначале рассмотрим простейший пример. Пример 1. Вещественная аффинная прямая А по определению совпадает с множеством Й вещественных чисел. Другими словами, точка х Е И отождествляется (и мы этим отождествлением будем пользоваться) с нещесгвенным числом х Е Гь Геометрия прямой описывается аффинными автоморфизмами в смысле п. 2 из 1 1. В данном г|учае это будут отображения Ф д: А — | Д, определенные правилом Ф в: х ьь ох т,З, о Е И, Д Е Гь (1) Если угодно, х — координата точки х в некотором репере (о,е), т.е. х = о+ -1-х, Ф д(х) = (о -1 Д) -1-ох = о -1.(ох -1 Д). Обозначим символом А| = А1У(И) множество всех аффинных преобразований вида (Ц. Так как композиция (2) Ф д Ф,-=Ф д любых двух преобразований Ф д, Ф, Е А| снова принадлежит А|, и так как Е = Ф| о Е А|, а Ф„-| |в —.
преобразовю|ие, обратное к Ф„Л, то множество А| вместе с естественной операцией умножения (2) является грустей (см. (ВА 1, гл. 4, 1 2)), называемой одномерное вещественной а1бфинной группой. Из (2) следует, что А| - . неабелева группа, а отображение я:Ф д ьп яю|яется щ|иморфизмом А — | И* на мульгиплика| явную гру|шу Н* вещественных чисел, отличных от О. Лспо, что Кегх = (Ф| О ~ Д Е В) подгруппа сдвигон в А|, изоморфная аддитивпой группе Ж+ =- (ВЧ +) вещественных чисел. Мы имеем тО, чтО принятО называть короткой в|очной последовательностью морфизмОв групп: Π— | ВЬ вЂ” з А| -| и" — | 1.
Пусть теперь (А, 1У) - и-мерное аффинное пространство над полем Я| 1": А — 1 А биективное аффинное преобразование (аффинный автоморфизм). Согласно общему определению (см. 2 1) ((р+ ч) = ((р) + Уч, где У --- невырожденный линейный оператор на 1', обозначаемый в общем случае ыу". По условию с(е1.г ф 0 и линейный оператор г имеет обратный У' 1, являющийся линейной частью аффинного преобразования 1 (р+ч) = ( (р)+У ч. Обозначив через е единичное (или тождественное) аффинное преобразование с линейной частью с: ч ь-+ ч, мы видим, что 1 =1 '.
(=е. 13 А.И. Кострикин 194 Гл. 4. Аффинные и евклидовы точемные просларанства Пусть 1 и д -- два аффинных преобразования пространства А. Их композиция А = Т ' д- 'р ь у(д(р)) снова является аффинным преобразованием с линейной частью Я = = У'6 (У и б — линейные части преобразований У и д). Действительно, 6(р + ч) = ((д(р -~- ч)) = 1(д(р) + Яч) = = ((д(р)) + У(йч) = (1 д)(р) + Убч = 6(р) + 'Н. Ассоциативность операции умножения на множестве АЯ(А) = Аь(.й) всех аффинных автоморфизмов следует из ассоциативности закона композиции на множестве произвольных отображений А — ь А (см. (ВА 1)). Таким образом, Ай(А) есть группа, называемая и;мерной аффинной группой (аффинного) пространства А. Мы получили часть следующего у тверждения.
Теорема 1. Совокупность 4ь(Я) всех аффинных автоморфизмов и-мерного пространства (А, И) над полем й образуепь группу. Все аффанные автоморфизмы, оставллюиЬие на месте фиксированную точку о 6 А, образуют подгруппу Аь(ч)ь С А„(ч), азоморфную полной линейной группе СТ (К) = СХ ь(.й). Подгруппа Т = (1ч ~ ч й е И) сдвигов пространства А нормо ьна в Аь(й) и служит ядром зпиморфизма Р в точной последовательности е — > Т вЂ” > Аь(Я) ь СЬь(Я) — > е.
(Точность означает, что 1ш у = Кег Р.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим аффинныс автоморфизмы 1,д е А„(.й)ь. Так как У(б+ х) = о + Ух и д(о + х) = о -~- 6х, то (1од)(о+х) = 1(д(о+61х)) = ((о+Ох) = о+Уй', те. (од й Ао(Я)ь. Аналогично показывается, что 1 ~ й А„(й)в Единичное отображение также содержится в Аь(.ч) . Таким образом, Ав(ч)в -- подгруппа в А„(Я). Соответствие Р: 1 ~-> Р1 = У' для 1 й Аь(Я)ь, очевидно, является изоморфизмом Аь(и)в на группу всех невырожденных линейных операторов, т.е. на Сь(ь'). Мы еще раньше отмечали, что сдвиги образуют подгруппу Т с А„(Я), изоморфную аддитнвной группе пространства И, Пусть — сдвиг и 1 — — произвольный аффинный автоморфизм с линейной частью У.
Тогда (У- '~.У)(р) = (Ц-'~.)((р) = У-' ®р) + ') = ~(((р)) +У 1ч =р+У ~ч =1ч- (р). Так как р — — произвольная точка, то отсюда следует, что Х д 3. Группы и ееомстрии 195 Равенство (3) ьюказывает, что Т ". нормальная подгруппа в 4„(й), т.е. ядро некоторого гомоморфизма. Найдем этот гомоморфизм. Хорошо известное отображение Р: 1 ~-> Р 1 = У' имеет в качестве ядра подгруппу КегР = (У е .4ь(Я) ~ У = Е). Значит, 1 Е КегР ==Ь ~(р+ и) = 1(р) йч. вьг еь ° * ь =~~ да=~=( + Чвр)т ~=МЯ не зависит от точки р и 1(р+ ч) = (р+ и) + ъ = (р+ ч) + и, так что -.
сдвиг на вектор и. Итак, КегР = Т. С другой стороны, выбрав какую-то начальную точку о и построив для любого У Е е СЬ(Г) отображение о+ и еь р+Уч, мы видим, что 1ш Р = СЦК), так что Р эпиморфизм. П Докажем еще следующее утверждение. Теорема 2. Каждое аффиннос преобразование 1: Š— ь Е с линейное частью У можно представить в виде У = ь' д, еде 1 сдвиг на вектор а = о7(о~), д аффиннос преобразование, оставляющее на месте заданную точку о, Это разложение зависит от впочки о. Если заменить о на о', то вместо вектора а нужно взять а' = а+ (У вЂ” Е) Ф'.
Доказательство. Положим а = оЯ и д = 1 '1. Мы уже знаем, что д аффинное преобразование. При этом д(о) = 1 1 . 1(о) = 1(5) = 11о) — о11о) = о. Стало быть, д оставляет о на месте. Взяв вместо о другую точку о', мы получили бы вектор а' = о'До'~. Если о' = о+ Ь, то 11о') = У~о) + У Ь, или, что то же самое, о' + о'7(о') = о+ о7(о) + У Ь, откуда а' = У Ь вЂ” Ь + а = а ч- (У вЂ” Е) ой'. П При фиксированной начальной точке о е А группу АЯ(А) можно представлять себе как множество (СЦГ),1') пар (У;и) с действием (4) (У, ч)(о+ х) = о+ У х+ ч и с законом композиции (Уь и1) (Уэ,че) = ЖУе,и:+У1ие) (5) Действительно, если ~, = (Уб ч,), 1 = 1, 2, то ® ' зе)(о+ х): з1 1зз(о Ч х)) = ~1 (5+ Уех + за) = о+ У1(Уех + иг1 + иь Отсюда следует (4) и (5). Выберем теперь в А какую-нибудь систему координат 1о; ем... ..., еп).
Тогда координатами точки р = о+ х будут по определению 196 Гл. л. Аффинныв и ввклидовы точвчныв пространства координаты хы.,., х„вектора ор = х = 2 , 'х;ео Если 1 .. аффинное преобразование с линейной частью Ру = У, то ф(р) = ф(о) + У х = о + О Я + Ух. Обозначим координаты точки 1(р) через ры..., у„; пусть также оУЯ = 2,'Ь,е„а Г = (1,.) матрица линейного оператора У, так что (Ух), = ~Л х,. з=-1 Собирая все данные, мы получим р =~ Л,ху+б., 1=1,", . (6) Короче, р(У(р) Пй)) = р(р й) (7) для всех р, в е Е.
В определении движения ф не предполагается, что ф - — аффинное преобразование, но на самом деле 1 им является, как показываег Теорема 3. Отображение 1: Е -ь Е лвллетсл движением тогда и только тогда, когда ф аффаннвв преобразование с линейной частью У -- ортогональным линейным оператором на)'. Доказательство. В одну сторону утверждение почти очевидно. Действительно, любое аффинное преобразование с ортогональной линейной частью У' обладает свойством (7); и~ььяв)=.йв,~~~.я=пьт7ь ~41~~= = /)У(и)/! = 'йи/! = )/р~р+ ъф! = )(рф)) = р(р, а).
Заметим, в частности, что любой сдвиг есть движение. Центр тяжести лежит в доказательстве обратного утверждения. Мы разобъем это доказательство на несколько этапов. 1. Очевидная проверка показывает, что произведение двух движений бу.дет движением. Пусть ф движение, о фиксированная где У, х, В столбцы соответствующих координат (ср. с (3) из з 1, а еще лучше .-" с (3) нз ~ 1 гл. 2). 2. Движения евклидова пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
