1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 69
Текст из файла (страница 69)
2.2.12. Да, существенно. Бачи, например, и = р и А = Е, то ЪгА = О, а все подобные матрицы С 'АС совпадают с А. 2.3.2. Для матриц Ео, 1 ( г,у ( и, положим Р, = Р(Е„). Тогда Р,Р, = Р(Е„)Р(Еи) = Р(Е„Е, ) = '0(6оЕ„) = 6„Р„ т.е. Рв,..., Р„- - ортогональная система идампотонтных матриц. Отождестаеяя п х и-матрицы с операторами на координатном векторном пространстве Г, для единичной матрицы Е будем иметь Р(Е) Ъ' = Р|1' бв... ср Р Ъ; откуда 2, гапк Р, = гапйР(Е). Если Р, ф О прн всех г, то отсюда вытекает, что гапк Р, = 1. Естественно ожидать, что так оно н есть. Действигельно, в противном случае Р, = О для некоторого 6 а тогда Р, = '0(ЕмЕ„Е„) = Р(Ем)Р,ЯЕо) = О чу, так что Р(Е) = 2", Р, = О.
Но в этом случае Р(Х) = Р(ЕХ) = Р(Е) ) (Х) = = О для произвольной матрицы Х - противоречие. Мы приходим к выноду, что гап1сР(Е) = п, а из Р(Е)~ = Р(Е) следует, что Р(Е) = Е. Далее, а2шР~Г = 1 =э Р1Г = (АО~). Пусть Аб~ вектор-столбец в 1' = К' вида АО~ = Р(Е,1)А~", 2 ( ( ( и,. Так как ЕоЕы = 6,ЪЕа, то Р(Е, )А~ ~ = Р(Еа)Р(Еа1)А ~ = Р(ЕоЕы) = 6 вАО~. (*) В частности, Р(Еп)А~' = АЫ~ и Р,АО~ = Аб~. Стало быть, А~О ф О и А~О б Р,Ъ', т.е.
Р,Ъ' = (АЪО), 1 ( 1 ( щ Ъ" = (А~Ц,...,А~ ~). Пусть А = (А~'~,..., АОО) -- п х и-матрица (строка столбцов). По определению гап)е А = и. Согласно (*) Р(Ео)А = (О,..., А~О...., 0) = АЕо и, значит, Р(Х)А = АХ. Полагая С = А ', будем иметь 0(Х) = С 'ХС = = уо(Х). П 2.3.3. По предположению АнГ = А+'Г = ... = А еГ = Аа (А"Ъ), Ошвгты и указания и уиражненияи 347 откуда 1ш А" С Кег А" = О, что с учетом теоремы 4 из 3 1 приводит к прямой сумме )г = Кег А" й 1ш А". Инвариантность слагаемых относительно А очевидна и отмечалась ранее. 2.3.5. Нормализованному многочлену УГГ) = 1™ Ч- 2 ,'", ад'" ' б С]Г] сопоставим комплексно-сопряженный Г"11) = Г -1-2,',", ад" '. Из условий следует, что ЛлГГ) = 1ЩГЧ) — произведение нормалгюованных взаимно простых комплексно-сопряженных многочленов. Следовательно, Лл11) = р Ч-д для некоторых взаимно простых вещественных многочленов раас), 011). Определим г11), в11) б и]1] такие, что рг — дв = 1, и положим д = рв-1-дг, )г = ге+ вэ.
Тогда 1 Ч-д = 1рг — дв) -1- (раз;дг) = (г' -1-в )(рл -~-д ) = Щ Лл]1). Остаатся положить В = 01Л). 2.3.6. Если одна из матриц А, В невырождена, то все в порядке. Скажем, Ллв(Л) = г)еггА — ЛЕ) = г)ег А 'гЛ — ЛЕ)Л = бесгВА — ЛЕ) = = Лил(Л). Так как Л-многочлены г)еГГА — ЛЕ) и г)ел ГВА — ЛЕ) непрерывно зависят от коэффициентов матриц А, В, то интересующее нас равенство справедливо и для вырожденных матриц. 2.3.7. Привести матрицу В к диагональному виду. 2.3.8.
Убедиться в том, что матрица А 6 М„Я), интерпретируемая как линейный оператор на координатном пространстве Я", является полумагической в точности тогда, когда столбец е:= ]1, 1,..., Ц служит собственным вектором одновременно для .4 и 'А (с одним и тем же собственным значением Л = а(А) = аГ Л)). Коль скоро это так, то А, В б ЯМад„Я) .=э 'ГАВ)е = .4]Ве) = а(В)Ае = а(А)а(В)е; '(ЛВ)е = = 'ВГ 'Ае) = аГА)аГВ)е =~ АВ б Ббдад ГСГ). 2.3.9. При и = 1 утверждение верно.
Далее " индукция по а. Пусть и наименьший порядок, для которого утверждение неверно, т.е. для некоторои н х и-матрицы А = га,л ) все матрицы из э гА) имеют собственное значение 1. Друтими словами, любой матрице В = г11адгдм...,0„), В, = х1, отвечает вектор-стобец х ~ О с ВАх = х, илн, что то же самое, С4 — В)х = О. Приходим к соотношению г)гдг..., В„) = г)ес(А — с)1ад(Вг,..., В„)) = О для всех 2 выборов 0„1 = 1,..., п. Разлагая определитель по элементам первой строки, получим выражение гл]дг,...,В„) = галл — Вл)д (Вэ>..., 0„) ~- члены без Вь По предположению индукции определитель г)*где,..., В„) порядка а — 1 отличен от нуля для некоторого набора Вло,...,до.
В таком случае из г)гг1 В~~,... В,) = О = ьггг 1 Вэ ...,В ) и из (*) следу-ет, что (а~ г — 1) г)* (Вл,..., В„) = (аг ~ -~- 1) г) (Вл,..., В„), откуда агг — 1 = агг -1- 1 — противоречие, поскольку сЬаг и ~ 2. 348 Ответы и указания к упражнениям 2.3.10. В одну сторону им!ликация вытекает из результатов п. 1 о проекторах. Предположим теперь, что гап1лА = г, гап1л(б — А) = п — г.
Тогда 1' = (ел,..., е,; е„рп..., е„), векторы Аеп..., Аер линейно независимы н Ае в л = ... = Ае„= О. Так как (à — А)(е„ю,..., е„) = = (е,~.п..., е„) и гатй(б — А) = и, — р, то (б — А)(еп...,е„) С (е„~.п..., е„). Если (б — А)е, = о„р1е,л1+...
+ о„е„, то, положив 1 е,=е,— отлет~ —...— сше„, л<г; е,=е,, г-~-1<1<и, мы будем иметь Ае,', = Ае, и (à — А)е' ,= О, 1 < г; (б — А)е', = ео г+ 1 ( г ( ль Значит, А и  — А — - проекторы и А = А. 2.4.1. Матрица А имеет вид Л = (т + 1)Š— 5 и с1еСЛ = (т+ 1) '(лп+ 1 — п). 2.4 2 Ап Аз, Ав и Аз соответственно. 2.4.3. а),7(А) = зз(3)н-зл(3)-рзл(3)гзл( — 2); б) да — в случае ранга 1 или 4, нет --- в случае ранга 3. 2.4.4.
а) Ля(1) = Хв(1) = (1 — 4)'(1 — 2); б) ря(1) = (1 — 4)(1 — 2), Лв(1) = (1 — 4)з(1 — 2); в) з(А) = ббаб(2, 4, 4)., з(В) = зл(2)-раз(4). 2.4.3. Удобно рассмотреть расширение й поля Я, содержащее все характеристичоские корни матрицы А (разумеется, Й = С =т Й = С). Аналог теоремы 4 позволяет привести А к треугольному виду-, а так как сгАз = сг(С лАС)", то с самого начала можно считать А верхней треугольной матрицей с характеристическими корнями Ло....,.Л л по диагонали. Пусть Ло, Лп...., Лр все попарно различные корни кратностей пв > О, пл > 1, ..., пр > 1, ~ п, = п.
Для степени Аз характеристическими корнями будут Ло,..., Лр~, так что по условию лллЛ(+... + ллрЛр — — О, й = 1,2,...,р. При р > 1 имеем линейную однородную систему с отличным от нуля определителем Вандермонда, откуда т = ... = пр — — Π— противоречие. Таким образом, Ло = Π— единственный характеристический корень кратности и и, следовательно, Ля(1) = 1", т.е. А" = О. Обратное утверждение тривиально. 2.4.6.
Пусть сначала А -- жорданова клетка порядка т. Тогда непосредственно проверяется, что П 'ЛП, = '.4, где П,„ = ()бн~ 1,'3",' матрица с 1 на побочной диагонали н с О на всех остальных местах. Если Л прямая сумма клеток Жордана, то берется прямая сумма матриц вида П 2.4.7. Без ограничения общности считаем А приведенной к ЖНФ: ,4 = з(А).
Соотношение Ан = Е выполняется в точности тогда, когда 349 Опгветы и указания н упражнениям я"~ [Л) = Е для каждой жордановой клетки ям[Л), входящей в,У[А). Но это возможно только при т = 1. Таким образом, Е=э[А), А =Е=эА=41аб[Лм....,Л ), Л, =1. 2.4.8. Пусть сначала А —. магическая 3 х 3-матрипа с нулевым следом. Так как ог А = 0 .=э п[.4) = О, то, используя матрицу Я из упр. 1.2.9, получаем АЕ = а[А)5 = 0 =э бес А = 0 [в противном случае 5 = А '[АЕ) = = 0 --- противоречие). По теореме Гамильтона---Кэти имеем Аз = ЛА для некоторого Л б О, так что Аз магическая матрица. В таком случае и А = Л1 '0~А магическая матрица, т = 2й -р 1 ) 3.
Если теперь А --. произвольная магическел 3 х З-матрица, то Ао:= := А — [113)[от А)Я магическая матрица и огАо = О. Стало быть, Ао б б Ма8г[О) для любого нечетного т ) 1. Но ЯАо = АоЯ = а[Ао) = 0; поэтому А"' = [Ао+ -[осА)5] = А"'+ (-огА) Я 6 Мадэ[О). 2.4.10. в[1) = [1~ — 2рс -Ь Лр),1[Л вЂ” д), п[1) = [1 — Л)[1 — р)г'[Л вЂ” р). 2.4.11. Пусть Ля[1) = П", [1 — Л,)"*., Л, гг Лг при г ф у, 3', п, = и. По теореме 3 имеем разложоние 1: = бг",, 1'[Л,) в прямую сумму корневых подпространств.
Полагаем Ях = Л,х для любого х б 1Я[Л,) и Л' = А — Е. Если А матрица оператора А в жордановом базисе,то соответственно Я = ЛгЕт-|- - -~-Л„Е,„До = А — Я = Хн,+. -~.Жн„ где гу, прямая сумма жордановых клеток,1в[О), я ( н,. Так как Е„, гят = Хт Е„,, то Ягя' = ХЯ. По китайской теореме об остатках [принять на веру или заглянуть в [ВА П1]) эффективно строится комплексный многочлен 1"[1) такой, что 1[1) — Л, = [1 — Л,) * )и[1), Ь,[1) б С[1], г = 1,...,р. Если теперь и . — произвольный вектор из 1'[Л,), то ° = Х*[А)ИА)", Х [1) = П[1 — Лг)"', и поэтому [1[А) — Л,)яи = Л,яА1,[А)1н[А)и = О, т.е.
можно положить Я = Д[А), Л' = А — 1" [А). Очевидно, можно считать с)е81[1) ( н. 2.4.12. Л' ЛЛ" ' (')Л" ' ... ' Л'-о" ~г/ *-1 0 Л" ЛЛ~ ' "' ЛЯ 'тг — г [,1.[Л))' = Ль 0 0 0 2.4.13. По теореме Гамильтона Кэпи [см. такжо упр. 14 в конце гл. 2 иэ [ВА 1]) 2 х 2-матрипа [Л, У] = ХУ вЂ” УХ удовлетворяет соотношению [Х, У]г = ЛЕ, Л = — бео[Х, У], поскольку, как мы знаем, тл(Х, У] = О. Так как [Е, У] = О, то и [[Х, 1 ]г, Я] = О.
350 Ответы и указания к упражнениям 3.1.1. а) (г — 1/3). 3.1.2. а) саво = 3/игзОО; б) х 4 х =э зз -р зз = О, х = (зз,зз, з). 3.1.3. Пусть (ез,..., е„) какой-нибудь ортонормированный базис ц-мерного евклидова пространства Г. Ввиду невырожденности матрицы А = (ао) система векторов (аы...,а„) с ая = ~,", а,ье, тоже будет базисом в И. Применяя к (аы..., а„) процесс ортогонаяизации, описанный в теореме 6, получим ортонормированный базис (е'„..., е'„), где е', = св аю сг. т'- О; матрица перехода С = (св ) верхняя треугольная. Обратная к ней матрица С = (С') ' = (сю) тоже верхняя треугольная. Имеем е =~ св аь=~(~ а,вс~ )е, =~ 6 е,. Матрица В = (Ьм ) ортогональная как всякая матрица перехода от одного ортоноргвированного базиса е, к другому е',.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
