1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Рассмотреть ортонормированный базис, н котором А принимает канонический вид, и интерпретировать каждый блок соь у — сйп у в1п у сову как умножение на е г в одномерном подпространстве пространства Г. 3.4.2. Положить Л = о + зД (обычная запись комплексного числа). Тогда в базисе (ем1е~,..., е„, 1еа) матрица Ая оператора Ая принимает блочно-треугольный внд с блоками по диагонали.
Согласно правилу вычисления определителя с углом нулей беСАа = П(о, - дз) = П !Л,~з = ПЛз — — 1 деСА~з. а=1 з.=з Так как определитель линейного оператора от выбора базиса не зависит, то утверждение тем самым доказано. Остается воспроизвести детали. 1 3 3.5.1. Потому что ряд 2 ',, ( — ) расходится. "=' Л 3.5.7. 1 = сов(21 — 1) — для Т„Я и 1 = соь — для Г„(1); 1 = и+1 и-Н1 = 1, 2,..., и.
3.5.8. Да, имеет: с точностью до линейной замены переменной, 7' многочлен Чебьппева второго рода. 4.1.1. Согласно следствию теоремы 4 П ОПа=с-НГ, Г=Г ОГ . Поэтому гЕП ОП ~=а рз;и =с=а-~-и .е-= р4=п — и ЕП -ВГ 4.1.6. Достаточно заметить, что утверждение справедливо для равностороннего треугольника, что существует аффинное преобразование 7", переводящее равносторонний треугольник в заданный треугольник, и что 7' переводит прямые в прямые, середины отрезков в середины и, следовательно, медианы в медианы. 4.2.1. 7.
4.2.2. 7. 356 Ответы и рназвння к рнрпхенениям 4.3.1. Симметрическая группа Яз. 4.3.2. Вращение на угол х/4 вокруг точки [ — 1/л/2, 1+ 1/л/2). 4.3.3. а) поворот вокруг неподвижной точки в двух ортогональных плоскостях; б) поворот в одной плоскости плюс сдвиг в ортогональной плоскости., в) сдвиг. 5.2.3. Как и в упр. 3.3.8, в соответствии с методолз Лагранжа составляется фу-нкция 2,, хз — Л2, /, х,х и записываются условия экстремальности х, — Л2 /., х„= О, 1 < / < п. Приходим к характеристическому уравнению относительно р = 1/Л.
5.2.4. -1/2 < 1 < 1. 5.2.5. Гипербола. 5.2.6. В случае пропорциональности всех соответствующих коэффициентов [возможно, кроме свободных) их уравнений. 6.1.3. Указание: см. [2. ч. 4, 3 1[. 6.1 4. Взять, наприлзер, Р = й~ = И' и рассмотреть элемент (1, 0) З [О, Ц + [О, 1) З [1, 0). Коли попытаться представить его в виде [и, Ь) З [с, ез), то в итоге получатся противоречивые соотнолпения а4 = 1, Ьс = 1, ас = О, ЬА = О. 6.1.5.[АЗВ) '=.4 'ЗВ 6.1.6. Обе матрицы совпадают с А З В. 6.3.2. У к аз ание: воспользоваться соотношением [10).
А = илТл з'- изТг -'г озТз, В = ДлТл з'- ДзТз з'-ОзТз, [.4, В) =.4 — ВА = С = ЗлТл Ч- ~зТз Ч-"~зТз, то и мы легко проверяем, что вектор [эыуз,'уз) = (слы вез,оз) х [/вы Дз, лзз) суть векторное [или внешнее) произведение. То же верно и дзя за[3, и), если заметить, что матрицы 0 0 1 0 0 1 0 — 1 0 Р~ = 0 0 -1, Рз= 0 0 О, Рз= 1 О 0 0 1 0 — 1 0 0 0 0 0 составляют базис пространства во[3., В) и [Рл Рз) = Рз [Рз Р1[ = Рз [Рз Рз) = Рл ° 6 3 3. У к аз ание: воспользоваться формулой Лапласа [ВА 1, гл. 3, 3 3, упр.
8]. 7.1.4. Из упр. 7.1.3 следует нужный изоморфизм для алгебры зп[2). Действительно, ести 357 Ошоетм и указания н рпраэененияи 7.1.6. Из очевидного соотношения (В 'АВ) =В 'АВ В 'АВ...В 'АВ=В А В следует, что ехр(В АВ) = ~ — (В АВ) ' = ~ — В оА'В = нэо о>о В ' ~ — Аэ В = В '(ехрА) В. ьво 7.1.6. (е~/2)А. 7.1.7. Из гл. 3, 3 3 известно, что в подходящем ортонормнрованном базисе матрица А унитарного оператора А записывается в виде А = В Жаб(е'е',...,е'е") В ~, так что А = ехр((ВЙаб(ун,,Зо„)В ). 7.1.8. Как для всякой нзометрии, ()АхО = Ох(), поэтому 3(АВ)хо = = ()А(Вх)() = 'ОВх2.
Остальное ясно: ))АВО = зпр ()(АВ)хО = оцр ОВх2 = ()В(!. о=о 1 О=о 7.1.9. Выбрать базис, в котором нормальный оператор А имеет диагональную матрицу А = 6(аб(Лм..., Лн), )Л~) ) )Лг( ) ... ) )Л ). Тогда = )Л~!. 'ОАО = зцр -Н* И=о Отсюда все следует. 7.1.10. Схема рассуждений достаточно естественна н изложена в [15), Так как г(А) < ОА ~~ (см. 2) в и. 9), то в случае 1(шь, Ат = О имеем 1(шь, г(А)~ = О, а значит, г(А) < 1. Обратно: при г(А) = 1 — 2е < 1 и достаточно большом я из 1) в и.
6 вытекает, что ОА '6 ~ < с(А)+е = 1 — е., откуда ОА"'3 < (1 — е) и, стало быть, 1(шо, А~ = О. 7.3.1. Пусть Я = (а / у,(а) ) О, 1 = 1, ,ш) наш ограниченный многогранник, Если а б Я и, скажем, (~(а) = О, ..., 1,(а) = О, (,.~.~(а) > О, ..., у (а) > О, то уравнения (,(х) = О, 1 < ~, '< г, опроделяют плоскость П„(Пл = Я прн г = 0).
Множество Я = П„О В будет гранью в Я, содержащей точку а. Пусть теперь Я' -- выпуклая оболочка множества всех вершин многогранника Я. Так как Я выпуклое множество, то У С Я. Остается показать, что всякая точка а, б Э' содержится в Я . Докажем это индукцией по ейп П, Если 53ш П, = О, то а . - вершина и, стало быть, содержится в У по определению. Считаем далее йшП, > 0 н полагаем для определенности, что выполнены соотношения (о).
Проведбм в плоскости П„через точку а 358 Отвешы и указания к упражнениям любую прямую (а+Лх), пересечение которой с многогранником Я задается неравенствами 7, (а + Лх) = У; (а) + ЛХ, (х) ) О, г + 1 < в' ( ш (У, линейнал часть функции 7,). Многогранник Ь' ограничен, поэтому данное пересечение представляет собой отрезок рф Как и на всей плоскости П„функции ум...,)'с обращаются в нуль в каждой из точек р, ц. Но и ~,(р) = ~,(д) = О хотл бы для одного в ) т, а это значит, что 81шПр < с)ппП, и с)1шПв < с)1шПв По предположению индукции можно считать, что р, д Е о~. 'гак как а Е рб, то и и б Я~.
Это рассуждение, очевидно, почти повторяет доказательство теоремы из З' 3 гл. 7. МЕТОДИ'ЧЕСКИЕ ЗАМЕ'ЧАНИЯ Наивно думать, что все содержание книги было когда-то изложено в реально читаемом курсе. На самом деле, уже начиная с главы 3, приходилось жертвовать отдельными фрагментами, а глава 7 затрагивалась лишь частично (экспонента линейного оператора и геометрия Лобачевского). Правда, некоторый материал сознательно переносился в упражнения. Один из вариантов курса отражен ниже в списке экзаменационных вопросов на устном экзамене. Экзаменационный билет включал два вопроса из разных разделов и не очень сложную задачу. ЭКЗЛМЕНЛЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ 1.
Теорема о базисе конечномерного векторного пространства над полем. 2. Закон изменения координат вектора при переходе к новому базису. 3. Изоморфизм пространств одинаковой конечной размерности. 4. Теорема о размерности суммы подпространств. 5. Когда сумма подпространств является прямой7 б.
Теорема о размерности двойственного векторного пространства. Рефлексивность. 7. Гоометричоская интерпретация решений линейной однородной системы. 8. Задание линойных отображений векторных пространств матрицами. Преобразование координат вектора. 9. Критерий биективности линейного отображения в терминах ядра (в терминах образа). 10. Ллгебра линейных операторов. Минимальный многочлен.
Критерий невырожденности оператора. 11. Теорема о связи между матрицаыи линейного оператора в различных базисах. 12. Инвариантные подпространства: общие факты;теорема об операторе проектирования. 13. Собственные векторы и собственные значения. Характеристический миогочлен. 14. Теорема о геометрической и алгебраической кратности. Свойства следа оператора. 15. Теорема о диагонализируемости линейного оператора с простым спектром, 1б. Инвариантные подпространства комплексных и вещественных линейных операторов.
17. Теорема о приведении комплексного линейного оператора к треугольному виду. 18. Теорема Гамильтона-- Кэли и ее следствие. 19. Форму.тировка теоремы о ЖНФ матрицы и ее следствия (критерий диагонализируемости). 20. Теорема о ЖЕ1Ф нильпотентной матрицы. 360 Методические. замечания 21. Теорема о разложении пространства в пряму>о сумму корневых подпространств. 22. Единственность >КНФ матрицы. 23. Матрицы бнлинойной формы в различных базисах. 24.
Симметричные и кососимметричные билинейные формы. Квадратичные формы, 25. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду. 26. Однозначная определенность сигнатуры вещественной квадратичной формы (закон инерции). 27. Метод Якоби приведения невырожденной симметричной билинейной формы. 28. Положительно определенные формы и матрицы. Критерий Сильвестра. 29. Канонический вид кососимметричной билинейной формы.
30. Евклидовы векторные пространства. Неравенство Коши Буняковского и его следствия. 31. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Процесс Грама Шмидта. 32. Теорема об ортогональном разложении пространства. ЗЗ. Естественный изоморфизм евклидова векторного пространства и двойственного п[>остранства. 34. Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы. Группы О(п) и 80(п). 35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
