1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Таким образом, В = АС' = =АС '.А=ВС. 3.1.4. Матрицы (Е х А)~', А~' коммутируют. Поэтогву 'К = '(Š—.4) ' '(Е-~-А) = (Š— 'А)(Еф 'А) = = (Š— А ')(Е-~-А ') = (Š— А ')А ' А(Е-~-А ') = = (А(Š— А ')) '(Е В- А) = (А — Е) '(Е -р А) = — К. ~А = (Š— К) в (Е+К) = (Š— ~К) ~(Е+ К) = (Е+К) ~(Š— К) = А Следует отметить еще, что бес(Š— А) = О с=-.-.-.: (Š— А)х = О для некоторого О ~ х б ЛХ„(И). 3.1.6.
Иэ (18) следует, что с(ес А = с(ес(Š— К) ' бес(Е+ К) = (с(ес(Š— К)) 'бес '(Е+ К) = = (бгг(Š— К)) ~ бес(Е+ К) = (с1ес(Š— К) ) бес(Š— К) = 1. Аналогично поступаем в случае (19). 3.1.6. Из определения ортогональной матрицы А следует, что если фл(Л) = О, то и фл(1/Л) = О, поскольку 1/Л = ЛАЛА) = Л, а многочлен фл(1) вещественный. Стало быть, многочлены у(1):= 1" фл(1/1) и фв(1) имеют одни и те зке корни, причем с одинаковыми кратностями.
Остается добавить, что фл(О) = х1, так что старшие коэффициенты многочленов 1(г) и фл(1) могут отличаться лишь знаком. 3.1.7. Перейти к ортонормированному базису (Аыф)АО,О, ...., А,„,ДА,„,Ц пространства И". 3.1.8. Получить иэ (ХО~) ортогональный базис (1'~О) пространства И". Сравнить !)1),>~! с ()Х~О)(, дес[уын...,уш~) с (Х~О,,Х<в>] и воспользоватьея предыдущим упражнением. 351 Оп|осты и указания к упражнениям 3.2.1. Нет, как показывает хотя бы пример матрицы |' — уГ2 А= Имеем 'А А = Е, о«е«А = 1, т.е.
А Е ЕСО(гг), но 'А А ~ Е, так что А х ««(и). 3.3.1. Без ограничения общности считаем унитарную матрицу А б й ос«(п) имеющей диагональный вид А=с)габ<ЛоЛ|,...,Л ), Л =Л ...Л, ЛЛ,=1. При п ) 2 одним из решений уравнения ХУХ У = А является пара унитарных матриц 0 0 ... 0 1 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 ог 0 ...
0 0 0 ог ... 0 с,с|„= 1. О О О ... оо 1 0 0 ... 0 0 0 ... 1 0 Л О, 0 1, 0 о А= Х Х= 1 0 И= — О где Л=е*' о = с*' "". 3.3.2. Пусть Л„««);= Лг («) — — характеристический многочлен матрицы Якоби порядка и (Ло («) = Ц. Рассматривая главные миноры в У и разлагая их по элементам последней строки, придем к рекуррентному соотношению Лог|«) = |газ — «)Л| г(«) — Ьг.
|сг-гуг-гЯ, Ь 3 2. Отсюда следует, что Л„(«) зависит от произведений Ь! с|,..., Ь„ге„|, а не от чисел Ью сь в отдельности. В таком случае, заменив в э' коэффипиенты Ьг., с|. на ь'Ьгсы мы придем к симметрической матрице Якоби,У' с тем гке характеристическим многочленом «„1«).
Но, как мы знаем (см. примечание 2), характеристические корни матрицы У вещественные, поэтому и Брег(У) с К. Обращаясь к вопросу о кратности л|обого собственного значения Л (при действии з' на Н ), заметим, что координаты х|,..., х„соответствующего собственного вектора х связаны линейными соотношениями — сь-гх| г -«- г|аы — Л)т| | — Ьо |х|.
= О, Ь = 2, З,...,п + 1 (со = 0 = Ь ). В соответствии с этими соотношениями хь = а|х|, где коэффициент пропорциональности ан имеет вид дроби со знаменателем Ь|Ь|...Ь«| и с числит|тем функцией от Ь|с|, ..., Ьг |с|. |, (аг — Л), ..., (аы — Л). Без ограничения общности считаем х| = 1, а в таком случае х однозначно определенный собственный вектор.
Стало быть, алгебраическая кратность корня Л, совпадающая в данном случае с его геометрической кратностью, равна 1. Непосредственно проверяется, что о| = Л«Лот«...Л„ | вполне подходящее значение. При и = 2 имеем 352 Ответы и указания и упражнениям З.З.З. Да. 3.3.4. Понятно, что одновременно диагонализируемые операторы А, Б перестановочны. Обратно, пусть А, Б "-перестановочные диагонализируемые линейные операторы. Диагоначизируемость А означает, что )г = ~''"' ВО... ОВ Г~", (Л',...,Лр) = прес(А). По лемме б, где С можно заменить на любое поле, содержащее Врес(А) и прес(В), каждое из надпространств К * инвариантно относительно Б.
Но если И' любое инвариантное надпространство,то диагонализируемость Б влечет диагонализируемость его ограничения на Рг'. В частности, в 1г»* можно выбрать базис (е~'~,...,ей',~), диагонализирующий Б. Так как это верно для 1 = = 1, ,р и так как Ае~'~ = Л,е о, то (е, ~,...,е~,~,е1 ',...„ е~",~) — базис, диагонализирующий А и В. 3.3.5. Так как АБ = БА, то из эрмитовости (симметричности) А и Б следует эрмитовость произведения. Кроме того, из теоремы о спектральном разложении следует, что ъ'А явля~тся многочленом от А, а»/Л многочленом от Б. Поэтому АВ=БА= А/В= 'Б А, н мы имеем АВ =ЬПГЛЯГЫБ) =ЬГМВ)', а так как (»г'А)* = »УА > О, (»УБ)" = »/Б > О, то ~(1АГВ)" = ГА»е'Б и, следовательно, АВ > О. 3.3.6.
Очевидно, '(А ) = (еА)» = ( —.4)» = А, поэтому, интерпретируя А как линейный оператор на пространстве векторов-столбпов со стандартным скалярным произведением, будем иметь (Азх(х) = (Ах ~ 'Ах) = = — (Ах ! .4х) < О. Далее, .4х = Лх =.» .4'х = Лзх и Лг < О. 3.3.7. Рассмотреть две квадратичные формы д(х) = (Ах ~ х), г(х) = (Вх) х), ассоциированные с А и В соответственно.
По условию форма д(х) положительно определена, поэтому по теореме 8 из уг 2 формы д(х), г(х) могут быть приведены к каноническому виду одновременно. Вели А = е)1аб(Л»,...,Л ), В = Жаб(ры...,р„) матрицы операторов А, Б в соответствующем базисе, то Врес(АБ) = Врес(АВ) = (Л~ры..., Л„р„) Е В, поскольку Л, б В, р, Е В. То же саыое можно доказать и другим способом. 3.3.8. Для опроделения стационарных значений формы д(х) удобно воспользоватыл известным из анализа мее»щдом Лагранлеа.
В прямоугольных координатах евклидова векторного пространства 1г будем иметь ч(х) = л',, )ох,хм (к~х) = 1. В соответствии с методом Лагранжа СтроитСя функция ь(х»,хз.....,х„) = ~ 1, х,х — Л~х, н»=3 =1 353 Ошвсты и уназпнил к упражнениям и приравниваются нулю ее первые частные производные по х„г = 1,..., и. Приходим к линейной системе (1', — 6, Л)х =О, г'=1,2,...,п, г=г которая встречалась нам при нахождении собственных значений и собственных векторов симметричного оператора У, ассоциированного с д, Отсюда вытекает требуемое утверждение. Итак, по доказанному форма Ч(х) принилгает стационарное значение на каком-то собственном векторе е, (длины Ц оператора У. Так как Уе, = =Л,е,, то д(е) =(е,(хег) =Л (е,!е) =Л,.
Это значит, что стационарные значения формы 9(х) совпадают с коэффи- циентами ее канонической формы. 3.3.9. Указ ание. Без ограничения общности данное семейство коммутирующих линейных операторов на пространстве 1' над С, ббш И < со, можно считать конечным, поскольку, в силу конечномерности ь(г'), в этОм семействе всегда можно выбрать конечное базисное подмножество (Аг,...,А ( А,А, = А,А„1 < г, г < т).
Далее нндукция по гп н рассуждения, использованные при доказательстве леммы б. Если уже найден собственный вектор х для Аг,..., А„,— г: А,х = Л,х, то рассматривается А„-инвариантное подпространство Иг = С(А )х, а в нем собственный вектор у = 1(А~)х. Аму = Л,„у, где г" некоторый многочлен. Но в таком случае А,у = А,)'(А„,)х = г'(А„,)А,х = = Д(А„,)Л х = Л у, 1 < г < т — 1. 3.3.10. Указание.
При п, = 1 утвержденио очевидно. Далее рассуждение по индукции относительно и. Можно считать, что А, г б .1,- матрица линейного оператора А„действующего на векторном пространстве 1' с фиксированным базисом (ег,...,е„), причем А,Аг = АгА, для г',1 б з. Согласно упр. 3.3.9 семейство (А, ~ 1' б у) обладает общим собственным вектором А х = Лгх. Без ограничения общности полагаем х = ег, заменяя в случае необходимости Я на сопряженное множество ю~ = (С~) бС'. При таком г:оглашении имеем Аг= О' " В '", ВгбМ.
г(С). (з) Из условия А,А = А А, следует, что В,В = В В„и по предположению индукции найдется такая невырожденная матрица Р б ЯХ вЂ” г(С), что все матрицы Р 'В,Р будут верхнетреугольными. Теперь достаточно положить н 1 0 О Р 3.3.12. Указание. В соответствии с упр. 3.3.11 максимальная размерность коммутативной подалгебры в Ъ1„(С) не может быть меньше 23 А.И. Кострикия 354 Ответы и указания и упражнениям )лСЯ -Н 1. Для доказательства максимальности этого числа используем рассуждения из статьи: МлгваИапл М.
О'Лшелл МаСш МопсЫу. 1998. Магсфь Р. 260 262. Преположим, что т, > 1п,Г4) + 2. Как и в упр. 3.3.10, записываем матрицы А„1 ( у ( т, в виде 1*) с коммутируюпшми матрицами Вл Е ЛХ„л1С): В,Вв = ВзВ,, Пусть Я = (Вм..., В„,) По предположению индукции г = йшлЯ < [(п — 1)~/4) 4 1.
Без ограничения общности считаем Вм..., В, линейно независимыми, так что В; = он В . При л > г положим С, = А, — 2, о„А . Очевидно, матрицы С, линейно независимы, причем при л = г ч- 1,..., т каждая из них с, имеет вид С. = ' ~, где с, — 1 х и-матрица. Кроме того, векторы с, должны быть линейно независимыми над С. Заметим теперь, что верхнетреугольные коммутирующие матрицы А, мы можем также записать в виде В, р, О рта с колвмутирующими матрицалли В,'.
Снова используя предположение индукции, мы приходим к ллножеству линейно независимых и х 1-матриц с',тм...,с',„, где в ( <)1п — 1) /4) + 1. При этом С,' = ~ л длл у > в+ 1. '1'ак как С, и С,' принадлежат к одному коммутирующему селвейству, то с,с', = 0 для л = г + 1,...,т и в = в -Н 1,...,т. Наконец, рассмотрим 1т — г) х и;матрицу С, лти строкой которой служит с„л' = л + 1,..., т.
Поскольку с, линейно независимы, гапк А > т — г. С другой стороны, Сс,' = 0 для у = в+ 1,..., т. Так как с,' линейно независиллы и так как е)1шКегС -~- Сйлп 1шС = и 1теорема 4 из 3 1 гл. 2) для линейного оператора С с матрипей С,то, с учетом неравенства для т, г, в,получаем а гл 3 (т — г) -г 1т — в) 3 2([ — ~ — [ ) + 1) > 2 [ — ) + 2 > и противоречие, доказывающее нужное нам утверждение.
3.3.13. Указание. Выберем базис в 1г, относительно которого матрицой формы у будет Рассмотрим симметричную невырожденнукл форму Вл(х, у) с матрицей Ф=~ -В О ! и согласованное с атон матрицей разложение К = 'е'л 61 1'з, так что В 1х, у) = 1а(хл, уз) р1хз, у!). 355 Ответи и указания к упражнениям С другой стороны, в силу соответствия между линейными операторами и билинейными формамн имеем у1х,у) = (к~ Ау), где А линейный оператор, обладающий всеми требуемыми свойствами: новырожденность у ~ невырожденность А; симметричность у симметричность А. 3.4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
