1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 66

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 66)

Его сочинением "О началах геометрии" и последуюшими морелями плоскости Лобачевского была, в частности, доказана независимость пятого постулата Евклида. 33О Гл. 7. Прилозеенил (см. (3)) выберем ортонормированные базисы (с',), (е',.), 1 < 1 < и (ортонормированность относительно скалярных произведений (* ~ *), и (* ~ я) ).

Матрица Г билинейной формы, полярной к о, в каждом из базисов (с,с',), (е,е',) пространства И имеет один и тот же вид с11ай ( — 1, 1, 1,..., 1). Поэтому линейный оператор А, заданный равенствами Ас = е, Ас', = е',, 1 < 1 < и, очевидно, является автоморфизмом формы о (или )'), т.е А Е 0(о). При этом А с = Ас = е, так что А — движение пространства Лобачевского, переводящее точку с в точку е. П Некоторую информацию о группе 0(С1) дает Теорема 2. Стационарная подгруппа 0(о)в любой точки е е Е Л изоморфна группе $0(п) вращений вокруг точки е = Ф (е) на аффинной кареле (К., Ф ). Доказательство.

Наша цель показать, что движению А пространства Лобачевского Л, оставляющему на месте точку е Е Л, соответствует вращение в К вокрут точки е; верно и обратное. Итак, пусть А е = е, т.е. Ае = Ле. По условии> о(е) = — 1. Так как А ~ О(С1), то о(Ле) = о(е) .==~ Л = х1. Без ограничения общности считаем Л = 1, заменяя в случае необходимости А на — А. Из (3) сшедует, что А(1с ) = 1с . Полагая А, = А~я„, А', = А,.~са, будем иметь А,(е + х') = е + А',х' для любой точки й:= х = е + х' Е Ж, где х' Е Г,. Таким образом, А' ортогональныи линеиныи оператор на 1', а А, вращение пространства К, вокруг точки е:= е.

Так как х й Л ~ х = р(е + х'), 1с 7': О, то с учетом (5) имеем Ф,(А х) = Ф (Ах) = Ф (р(е+ А,'х')) = с+АлхАе(е+х)А(Фех)~ т.е. именно вращение Аг и изображает действие А: Л вЂ” > Л на аффинной карте (К„Ф ). В свою очередь если Ае вращение пространства К, вокруг точки е с линейной частью А'„то линейный оператор А: 1' — ~ 1с, определенный равенствами Ае = е, Ах' = А',х', будет, очевидно, автоморфизмом формы о, оставляющим инвариантной аффинную гиперплоскость |Е, с 1с.

При этом А е 0(о) действует на Л в точном соответствии с действием А; на К,. П З б. Геометрия Лобачевского 331 3. Метрика Лобачевского. В дальнейшем мы фиксируем точку ео центр открытого шара [2') в евклидовом пространстве Уо = = ео + 1'о и возвращаемся к аффинной карте [Уо, Фо) Лемма 1. Пусть ал,аг Е Л, ал ~ аю Проведелл через Фо(ал) и Фа[аз) прямую Е аффинного пространства Ро.

Тогда Е иересекает сферу [6) в двух различных точках. Доказательство. Точки прямой Л задаются в виде р+ 1а', где р — некоторая точка в Ев, 0 ~ а' -- вектор из Ко и 1 -- произвольное вещественное чисю [координата точки на прямой). Если а' = спел +... + о„нт р = [Дл,..., Д„), то аффинные координаты у, точки г = р+ 1а' имеют вид у, = Д +1оо Точка пересечения прямой А со сферой [6) получается из уравнения и о1 +)Зб+ 7 =,'Л [1еи -Ь А) — 1 = О Квадратный трвхчлгн алг + Дб + 1 с положительным коэффициентом о = 2„, ог при ег принимает отрицательные значения в точках Фо[а1 ), Фа[аз) прямой Е, поскольку для них ~,, у~ — 1 ( О.

Значит, ол~ + Д1+ у имеет два различных вещественных корня. П Пусть Фо[Ьл), Фо[Ьо) — — точки пересечения А со сферой [6), взятыг в таком порядке, чтобы координаты 1ь точек Фо[Ьл), Фо[ал), Фа[аз), Фо[Ьг) на прямой шли в порядке возрастания [в случае необходимости меняем местами точки а| и аг). Положим [7) Л[ал, аг):= б . [алаз [ = [ал, аг, Ьг, Ьл[, где, как обычно, [аы аг, ЬгкЬл[ двойное отношение четырех точек [см. гл.

5, ~ 3). У нас ал ф аг, но соотношение [7) сохраняетсл и при а~ —— аг, когда д . [ачао[ = 1, а Е -- любая прямая, проходящая через точку Фо[йл). Лемма 2. Если ал ~ аг, 'то глл[еул, аг) > 1. Доказательство. Прямая Е, проходящая через Фо[ал), Фа[аз), может рассматриваться как аффиннзя карта проективной прямой Р'. Опредвлиле на Р' другую аффинную карту, взяв за бесконечно удаленную точку Ьы Введем в втой аффинной карте систему координат, взяв за нулевую точку Ьг, а за единичную аг [понять, что это значит, лучпле вссго из описания свойств двойного отношения в гл.

5). Тогда по формуле [2Ц из ~[ 3 гл. 5 получили что [ал, аа, Ьз, Ъ|] = х аффинная координата точки ал. Так как Фо[ал) 332 Гл. 7. Приложенил лежит между Фо (Ь | ) и Фо (аг ): оо и 1 6 Фо(Ьг) Фо(а|) Фо(ая) Фо(Ь|)~ то т > 1. Остается добавить, что двойное отношение не зависит от выбора аффинной карты.

За|ее ч ание. Из свойств двойного отношения следует, что [а|,аг, Ь|, Ьг[ = [а|,аг, Ьг, Ь|[ ' < 1. Теорема 3. Вырижение |1(а|,ая), определенное по формуле (7), инвариантно относительно движений пространства Лобочевского, т.е. |г'А б О(о). Доказательство. Пусть А е 0(д). Коли а| — — аг, то Аа| —— = Аая и гл(ам а|) = г.'|(АамАаг). Пусть а| ф аг. Так как а|, аг, Ьг, Ь| лежат на одной прямой Р пространства Р(И) З |1, то Аа|, Аас, АЬг, АЬ| тоже лежат на од- ной прямой А(Р').

Далее, Фо(Ь|), Фо(Ьг) Е 5" ', где 5" ' — сфера, определенная уравнением (6). По своему смыслу А переводит Я" в себя, так что Фо(АЪ|), Фо(АЬ|) зто точки пересечения с Яо прямой, проходящей через Фо(Аа|), Фо(Ааг). Согласно теореме 4 из 3 3 гл. 5 [Аа|,Ааг, АЬ|,АЬ![ = [а|,а|иЬ|,Ьг) = П|(а|,аг). (8) Осталось показать, что [Аа|,Аая,АЬг, АЬг[ = гл(Ааг, Ааг), а это верно, если точки Фо(АЬ|), Фо(Аа|), Фо(Ааг), Фо(АЬ|) расположены на соединяющей их аффинной прямой в порядке возрастания коор- динат. Предположив, что зто не так, мы должны признать, что в по- рядке возрастания координат идут точки Фо(АЬ|), Фо(Аа|), Фо(Аа ), Фо(АЬ|). Но тогда по лемме 2 [Аа|, Ааг, АЬ|, АЬг[ = г1(Ааы Ааг) > 1, откуда [Аа|,Ааг, АЬг, АЬг[ = [Аа|,Ааг, АЬ|,АЬг[ | < 1.

Полученное неравенство, однако, противоречит соотношению (8) и лемме 2. П Определение 3. Расстоянием Лобачевского между точками а|, аг б Л называется величина р(а|, аг) = 1оя |1(а|, аг), У б. Геометрия Лобачевского 333 где Ь . — функция, заданная соотношением (7). Основание логарифма, влияющее лишь на масштаб, не указывается.

Из доказанных нами фактов относительно лг' вытекают следующие свойтпви метрики Лобачевского р: 1) р(АасСАаг) = р(аг,аг) ч А к 0(д);. 2) р(аг,аг) = РСаг,аг); 3) Р(аг, аз) > О, пРичем Р(асд аз) = О и==; аг = аг, 4) Рсйг,йз) — Рсйг~ йз) + Р(йг, аз), если точки аг, ам аз коллинеарны и Фо(аз) лежит между точками Фо(аг) и Фо(аз).

Для доказательства последнего утверждения нужно проверить равенство гсассаы аз) = гУ(ас, аг) гУ(аг, аз), но оно вытекает непосредственно из определения двойного отношения. Стоит обратить внимание на тот факт, что пространство Лобачевского не ограничено, хотя оно и "помещается" в шаре. Метрика Лобачевского позволяет ввести понятие угла в пространстве Л. Углы с вершиной в точке ео (ео центр сферы (6)) измеряются так же, как в аффинной карте. Для определения величины угла У с вершиной в любой другой точке е рассмотрим движение А Е 0(С1), переводящее е в ео, и положим величину угла У равной величине угла АсУ) (для последнего величины в геометрии Лобачевского и в аффинной карте совпадают, поскольку его вершиной является ео).

Это определение не зависит от выбора движения А. Действительно, если Ве = ео для какого-то другого движения В, то С = ВА ' — движение и Сео — — ео. Тогда В = СА и В(У)=С(А(Ус)). Согласно теореме 2 С реализуется евклидовым движением аффинной карты (Ео, Фо). Поэтому величины углов В(У) и А(Ус) в аффинной карте совпадают. Пусть снова У угол с вершиной в точке е, А любое движение Лобачевского и У' = А(У). По определению Л-величина угла У' равна Е-величине (евклидовой величине) угла А'(У'), измеренного в аффинной карте, где А' Л-движение, переводящее вершину е угла У' в ео.

Но тогда движение А'А переводит е в ео, и величина утла У равна величине угла (А'А)(У), измеренного в аффинной карте. Так как (А'А)сУ) = А'(А(У)) = А'(Уо), то мы доказали, что величины углов не меняются при движении Лобачевского. Лк>бое утверждение относительно углов с общей вершиной, справедливое в евклидовом пространстве, будет справедливо и в пространстве Лобачевского. В частности, рагверяугаьсй угол равен я: 334 Гл.

7. Приложения если углы рог и гув находятся в одной плоскости и имеют общую сторону йг, лежащую между ор и ов, то их сумма равна углу рбв. 4. Плоскость Лобачевского. Как нетрудно видеть, одномерная геометрия Лобачевского совпадает с одномерной евклидовой геометрией (если й задано неравенством хэ ( 1, то функция 11х) = 1оя 1+х определяет отображение й на вещественную прямую, причем й-расстояние переходит в евклидово и й-движение --- в евклидова движение).

Остановимся несколько более подробно на двумерном пространстве Лобачевского. Из гл. 4 мы знаем, что всякое движение евклидовой плоскости с неподвижной точкой е является либо поворотом вокруг е на некоторый угол, либо отражением относительно прямой, проходящей через е. Соответствующая терминология переносится и на плоскость Чобачевского. В равной мере справедливы также следующие утверждения.

Характеристики

Список файлов книги