1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (824980), страница 67
Текст из файла (страница 67)
1) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, биссектриса угла пра вершине перпендикулярна к основанию и делит его пополам. 2) Три признака равенства треугольника: по стороне и двум прилежащим углам; по двум сторонам и углу между нами; по трем сторон м. 3) Внешний угол треугольника боль|не любого внутреннего, с ним не смежного. 4) Во всяком треугольнике против болыаей стороны лежит и больисий угол. 5) Во всяком треугольнике любая сторона меньше суммы двух других сторон. 6) Иэ точки е, не лежащей, на прямой с', можно опустить на с перпендикуляр., причем единственный. Приведем обоснование последнего утверждения, для чего рассмотрим изображения е и 1 на аффинной карте (К„Ф,), опуская для ИРОстоты символ Фь.
Прямая й представляется на этой карте как хорда круга Л, а точка е как его центр е. Опустим евклидов перпендикуляр й из е на Р и покажем, что он будет перпендикуляром в смысле геометрии Лобачевского. Для этого рассмотрим отражение плоскости й относительно Ь. На карте К, оно представляется как евклидово отражение и поэтому переводит прямую 1' в себя. Отсюда следует, что Ь 1. й и в геометрии Лобачевского. у б. Геометрия Лобачевского 335 Рис. 25 Рис. 26 Единственность перпендикуляра, как и в евклидовой геометрии, вытекает из утверждения 3). П Используя 6), нетрудно проверить, что перпендикуляр короче наклонной. В качестве упражнения предлагается найти Л-расстояние точки (а,б) (в круге л~ + уг ( 1) от оси х и написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от оси я.
Таким образом, многие теоремы двумерной евклидовой геометрии справедливы и для двумерной геометрии Лобачевского. Но все теоремы о конфигурациях фигур на евклидовой плоскости выводятся из небольшого числа аксиом, выражающих простейшие свойства точек и прямых (например, через любые две точки проходит единственная прямая, а из любых трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими). Можно пытаться проверить, какие из этих аксиом остаются верными в геометрии Лобачевского.
Если бы оказалостн что все они справедливы, то можно было бы утверждать, что и все теоремы евклидовой геометрии справедливы в геометрии Лобачевского., поскольку они являются логическим следствием аксиом. Однако, это не так. В действительности геометрия Лобачевского подчиняется всем аксиомам евклидовой геометрии, кроме одной аксиомы о параллельных, гласящей, что через точку е, лежащую вне прлмой г', можно провести не более одной прлмой, не пересекающей е. Но из рис.
26 видно, что аксиома о парвляельных не имеет места в геометрии Лобачевского. Поэтому теоремы, обычное доказательство которых опирается на эту аксиому, могут быть неверны в геометрии Лобачевского. Существование и непротиворечивость геометрии Лобачевского являются доказательством того, что аксиома о параллельных не может быть выведена из остальных аксиом евклидовой геометрии.
Одной из теорем геометрии Лобачевского с существенно неевклидовым содержанием является Теорема 4. Сумма углов треугольнике в плоскости Лобпчееского меньше я. Показательство. а) Рассмотрим сначала случай прямоуголь- 336 Гл. 7. Прилоъссния ного треугольника, действуя в аффинной карте (Ко, Фе) и обозначая для простоты (до конца параграфа) точки в Л и в Л одинаковыми заглавными латинскими буквами, а Л-движения — греческими буквами. При помощи Л-движения совместим вершину при прямом угле с точкой О. Мы получим треугольник АОВ. Докажем, что каждый его утол ВАО и ОВА в смысле геометрии Лобачевского (пишем ВАО~я) меныпе, чем измеренный в аффинной карте (пишсм ВАО~к): ВАО~р, < ВАО~л., ОВА~д < ОВЛ~к. (9) Мы знаем, конечно, что Аов~а = Аов~я = я,Г2. Из вать нужное утверждение, поскольку.
сумма углов треугольника в евклидовой геометрии равна я. Доказательства неравенств (9) одинаковы, .поэтому ограничимся первым из них. Найдем движение, переводящее А в О, и умножим его на другое движение поворот вокрут точки 0 так, чтобы сторона ус(А)гр(0) (~р .- результирующее движение) лежала на одной прямой со стороной АО. Дальнейшие рассуждения опираются на рис. 27 и 1) 6), сформулированные в начале этого пункта. По определению (9) будет следо- гзг Рис. 27 на утверждения ВАО~л = р(В)0'р(0)~я, О~(О) = АО, :р(о) д(в) < ов. (10) (11) Отрезки .40 и Осе(0) = гр(А) 7г(0) равны в геометрии Лобачевского, поскольку один получается из другого Л-движением д. Поэтому поворот на угол я вокруг 0 должен совместить А с сс(0). Но этот поворот является и свклидовым движением, откуда следует равенство (10).
Для доказательства неравенства (1Ц воспользуемся свойством и нам достаточно доказать, что в еффинной евклидовой карте имеет место неравенство гр(В)огр(0) < ВАО. В свою очередь это неравен- ство в силу утверждения 4) будет следовать из евклидовых соотно- шений у б, Геомесарии Лобачевского 337 расстояния Лобачевского р~О,В) = р(р(О),~(В)).
Обозначим в соответствии с рис. 27 евклидовы длины: ОВ = х, фО) р(В) = р, 22(0)С2 = т. Заметим еще, чго ОР, = 1, г = 1,2. По определению расстояния Лобачевского р(О,В) =!об[0,В, Рз, Рг) = р(ф,О), р(В)) = 1оЯр(0), р(В), Св, Сг) = Стало быть, и+ф 1+х 1+ф/е 1+х == ц =их, и — у 1 — р 1 — у/и 1 — х а так как и < 1, то р < х. б) Для доказательства в общем случае воспользуемся утверждением 3). Из него следует, что треугольник не может иметь двух тупых углов: если бы у б АВС (рис. 28) углы при вершинах А, В были тупые, то внешний угол при вершине А был бы острым и., значит, вопреки 3) меньше внутреннего угла при вершине В.
Пусть теперь в Л АВС углы при вершинах А и В острые (если один из них прямой, то теорема доказана (сьь а))), Опустим, пользуясь 6), из С перпендикуляр СР на сторону АВ (рис. 29). Тогда Р лежит между А и В; допустив, что А лежит между Р и В, мы приходим к выводу, что в о САР внешний угол при вершине А острый, а внутренний угол при вершине Р прямой, что опять противоречит утверждению 3). 22 А В А и в Рис. 28 Р .22 Итак, точка Р лежит между А и В, а треугольник АВС разбивается на два прямоугольных: АРС и ВРС, для каждого из которых теорема доказана.
Имеем о+Д+Л < и, 7+1+И < к, о + (3+ ч) + д+ Л+ р < 2и, откуда 22 А.И. Кострикин 338 Гл. 7. Прилоякения а так как Л = р = я/2, то а + (П + ",') + б < к, а это и есть утверждение теоремы. П Замечание. Можно доказать, что в плоскости Лобачевского имеются треугольники со сколь утодно маяой суммой углов. Далее, в евклидовой геометрии сумма углов и-угольника равна к(п — 2). Так как всякий многоугольник М с углами а!,аг,...,а„может быть разбит на треугольники, то из теоремы 4 следует, что в геометрии Лобачевского справедливо неравенство л а, < к(п — 2). (12) г=! Теорема 5.
Пусть о(ЛХ);= я(п — 2) — ~ аь !=1 Если М = М! 0 ЛХ2 0 ° . 0 ЛХй, причем многоугольники ЛХ!, ЛХа,, .., ЛХь не имеют попарно общих енупьренних точек, то ь о(ЛХ) = ~ ~о(М,). г=! Д о к а з а т ел ь с т в о. Очевидно, о ( М) не изменится, если какую- нибудь внутреннюю точку на стороне многоугольника М объявить вершиной: число сторон увеличится на 1, а сумма углов увеличится на к. Следовательно, можно считать, что если вершина многоугольника М; принадлежит ЛХ, то она является и вершиной ЛХ . Стало быть, пересечение любых двух многоугольников ЛХ„ЛХ. будет являться объединением их общих сторон.
Нетрудно видеть также, что найдется такой многоугольник ЛХю что О,,л М; будет многоугольником. Это позволяет свести доказательство к случаю л' = 2. Пусть многоугольники ЛХ! и ЛХа имеют соответственно и! и пз сторон, причем т сторон у них общие. Эти стороны идут подряд, иначе множество ЛХ! ОЛХг не было бы многоугольником. Число сторон многоугольника ЛХ равно п! + пг — 2т..
Сумма углов многоугольников ЛХ! и Мз равна сумме углов многоугольника ЛХ плюс 2к(т — 1). Элементарная выкладка показывает, что о(ЛХ) = о(М!) + о(ЛХ ). П Свойства функции о аналогичны свойствам площади фигур на евклидовой плоскости. В плоскостиЛобачевскогозначение о(ЛХ) можно по определению считать площадью многоугольника ЛХ. Приведем своеобразный признак равенства треугольников. 339 у' б. Нерщпбнныс задачи Теорема 6. Если все углы треугольника АВС на плоскости Лобачевского равны соотвсгаственно углам треугольника А'В'С', то эти треугольники равны.
Доказательство. Движением плоскости Лобачевского можно совместить вершину .4' треугольника .4'В'С' с А и сделать так, чтобы сторона А'В' пошла по АВ, а сторона А'С' по АС (рис. 30). Тогда стороны ВС и В'С' не могут пересечься, поскольку это противоречило бы утверждению 3). В В' А = А' В' В А = А' Рис. 31 Рис. 30 Следовательно, один из этих треугольников будет лежать целиком внутри другого (рис.
31). Обозначим через ЛХ дополнительный четырехутольник. Так как суммы углов в А АВС и А А'В'С' равны, то ич теоремы 5 следует, что 01М) = О, но это противоречит неравенству 112). Остается единственная возможность, что треугольники АВС и А'В'С' совпадут. П ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ А. Записки лекпий И.Р. П1афаревича 60-х годов. Б. Впиберз Э.Б, Липейпал алгебра и геометрии..- М., МГУ, 1066. В. Никулин В.В., Шойиреепч И.Р., Геометрии и группы. - М., Наука, 1083. В части 1У книги В можно получить основательное знакомство не только с плоскостью Лобачевского 1в другой ее модели), но и с общей точкой зрении на геометрию.
3 6. Нерешенные задачи 1. Проблема Штрассеиа. Как и в случае гауссовой величины Г (см. замечание 2 в ~ВА 1, гл. 1, 3 3)), представляет значительный интерес оценка числа операций, необходимых для перемножения двух квадратных матриц большого порядка п. Так как умножение двух чисел более трудоемко, чем сложение, то преобладающее значение при априорных оценках необходимого машинного времени имеет число операций умножения. Непосредственно видно, что умножение двух п х и-матриц требует пч умножений коэффициентов матриц и пз(п — 1) сложений. Начнем с п = 2: а Ь А В аА+ЬВ аВ+ЬР с д С Р сА+ с1С сВ+ с1Р 22* 340 Гл. 7.
Прилоэеения Из тождеств аА+ ЬС = (а — д)(А — Р) + (Ь вЂ” д)(С+ Р) + д(А+ С) + (а — Ь)Р, аВ+ ЬР = — (а — Ь)Р+ а(В+ Р), сА+ дС = (с — д)А+ А(А+ С),. сВ + дР = (а — д) (А — Р) — (а — с)(А + В) + а(В + Р) — (с — д) А видно, что длн умножения двух 2 х 2-матриц с любыми козффициентами (которые в свою очередь могут быть матрицами) достаточно 7 умножений (вместо 8) за счет большего числа 18 сложений (вместо 4). Применяя этот метод к матрицам порядка п = 2ь, разбитым на четыре 2Я ' х 2" г-блока и используя простую индукцию по Ь, нетрудно показать, что их можно перемножить, применив 7 умножений и 6(7ь — 4") сложений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
