1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 75
Текст из файла (страница 75)
1 Гл. 4. Введение в функциональный анализ 438 то при любом т ?2 = Кий)хзи, гй = 1, 2, ... (7) Будет ли множество К ортогональным дополнением подпространства У,„ в пространстве ?г 7 а Если х = (х),'..лхи;...) Е 4, у = (УЫ ";у;") Е И = (гм ..., г„; ...) б о и имеет место формула (7), то для всех и х„= = у„+ гн. Из этой системы следует, что для всех и > 1 '"и = Уа (8) Для того чтобы выразить У1 и г) через х, воспользуемся соотношениями у) + ... + у,„= О, х) = у) + г). Из них с помощью (8) получим У) = — хг — ". — х гз = х) + тг + " + х 'Таким образом, ?г = У -~- о, и представление элемента х Е ?а в виде х = у + г, где у Е 1'„„г Е Я, единственно, т. е.
имеет место формула (7). Подпространство Я не является ортогональным дополнением подпространстна 1,„ ни при каком т > 1., так как у = (а: — а; О; О;...; О;...) и 1;и, г = )а; О; О;...; О;...) й зо„, т = 2, 3,..., но (у г) = а ф О при а ~ О. А ЗАДАЧИ В задачах 1 — 18 доказать сформулированные утверждения.
1. Для каждого элемента х пространства с почти скалярным произведениек| имеет место равенство (х,О) = О. 2. Почти скалярное произведение в действительном линейном пространстве является билинейным отображением., а в комплексном не является. 3. Для почти скалярного произведения в действительном (комплексном) линейном пространстве справедливо неравенство ~(х: УН < т?%4ъ'Ь, у) ? неравенство Коши Буняковского).
4. Для почти скалярного произведения справедливо неравенство З) -'-з, +Ори)*, )ь Ъ,з) 5. Если (х,у) -- почти скалярное (скалярное) произведение в линейном пространстве, то функционал ух(~ = фх,х) является полу- нормой (нормой) в этом пространстве. 6. В множестве действительных чисел 7? обычная операция умножения является скалярным произведением, а в множестве комплексных чисел С скалярным произведением чисел г1 и гг является произведение г)гг. 9 зО. Гальбвртовы пространства 439 7. В действительном и-мерном векторном пространстве Й" функционал (х,у) = х|у| + ... + х„уп, х = (х|; ...;ха) Е Й", у = (у|; ...;уп) Е Й", является скалярным произведением, а соответствующая ему норма совпадает с длиной вектора.
8. В комплексном и;мерном векторном пространстве С" (см. задачу 3) функция (х;д) = | +" +х-у-, х=(х|;...,х„) е С, д=(у|;..цд„) е Сп, является скалярным произведением. 9. В действительном в-мерном векторном пространстве Й" функция (х, у) = х|д| + ... + х,„у,„, 1 < т < и, х = (х|,,х„) Е Й", д = (у|,..цу„) Е Й". является почти скалярным произведением и не является скалярным. 10. В линейном пространстве ЙЛз(а;6), — оо < а < 6<+со, состоящем из действительных функций с интегрируемым (вообще говоря, в несобственноы смысле) ца интервале (о; Ь) квадратом, функционал (х, у) = ~х(1)у(6) й, х Е Й1 «(а; 6), у Е Ййа(а; 6), (х,д) = / х(1)у(1) с11, а является скалярным произведением. Полученное пространство со скалярным произведением обозначают Свез[а; 6].
12. В линейном пространстве., состоящем из комплекснозначных функций, квадрат модуля которых интегрируем на конечном или бесконечном интервале, функционал (х,у) = / х(г)у(6) п|1 (9) а является почти скалнрным и не является скалярным произведением. 13. В линейном пространстве комплекснозначных непрерывных на отрезке [а;6] функций функционал (9) является скалярным произведением. является почти скалярным| произведением и не является скалярным. 11. В линейном пространстве непрерывных на отрезке [а; 6] функций х: [о;6] -+ Й функционал Гл. 4.
Введение в функциональный анализ 440 14. В пространстве СЬз(а;6) действительных непрерывных на конечном или бесконечном интервале (и; 6), — со < а < 6 < +сю, функций, кнадрат которых интегрируем на этом интервале, функционал ь (х,д) = ~. (4)д(И) д4 а является скалярным произведением. 15. В линейном пространстне 1з действительных числовых последовательностей (см.
пример 2 в х 18) функционал (х зд) = ~~хада, х=(х4; лхп! ..) Еьз, У=(дг;";Уа; ..) Еьз, и=! является скалярным произведением. Привести пример почти скалярного произведения в этом линейном пространстве. 10. В линейном пространстве последовательностей (х4:..бх„;..,) комплексных чисел (см. задачу 13 из з 19), для которых ~ [х„[з < < +ос, функционал (х,у) = ~ хау„ а=! является скалярным произведением. 17. В линейном пространстве 1з (см, задачу 15) функционал (х1У) ~ хнуа а=а при гп > 1 является почти скалнрпым и пе является скалярным произведением.
18. Пусть Х линейное пространство с почти скалярным произведением. Элементы х Е Х, д Е Х называют эквивалентными, если [[х — у[[а = (т, — у,х — у) = О. Обозначим Х множество, элементами которого являютсл классы эквивалентных элементов пространства Х. Пусть х е х е Х, у е д е Л, Л и 44 числа. Определим Лх+ ру как элемент множества Х, содержаший Лх + ру, и положим (х, у) = (х, д).
Тогда эти определении корректны, т. е. пе зависят от выбора элементов х Е х, у Е у и Х является линейным пространством, а функция (х,д) скалярным произведением в нем. 19. Найти углы треугольника с вершинами в точках хз(4) = О, хг(6) = 1, хз(И) = 4 в пространстве СЬз[ — 1; Ц (см. задачу 11 из З20). В задачах 20-35 доказать сформулированные утверждения. 20.
В линейном пространстве с почти скалярным произведением для любых двух элементов х и у пространства имеет место равенство [[х+ у[[а+ [[х — у[[а = 2([[х[[а+ [[у[[ ) 420. Гплъвертовы пространства 441 (равенство параллелограмма). 21. В линейном пространстве с почти скалярным произведением для любых трех элементов х, у и г пространства имеет место равенство ]]г — х]]" + ]]г — у]]1 = — ]]х — у]]г + 2 г — — У 2 2 ьраеенсгпво Аполлония). 22. В действительном банаховом пространстве можно ввести скалярное произведение (х; у), для которого ]]х]]г = (х, х), тогда и только тогда, когда для любых точек х, у этого пространства выполняется равенство ]]х+ У]] + ]]х — У]]~ = 2Ях]]г + ]]у]]е) 23. В нормированном пространстве С[а; Ь] нельзя ввести скалярное произведение, согласованное с нормой этого пространства в смысле задачи 22.
24. Операции сложения элементов и умножения их на число являются непрерывными в пространстве с почти скалярным произведением. 25. Почти скалярное произведение в линейном пространстве Х является непрерывной на Х функцией. 26. Если в линейном пространстве Х с почти скалярным произ- ведением задан сходящийся ряд ~ хп = х, хп Е Х, то для всякого п=1 элемента а б Х числовой ряд, получающийся из данного почленным умножением его на а, также сходится и ~(хп,а) = (х,а). п=1 27. Если в пространстве ЛВг(а; Ь) (сьь. задачу 10) сходится ряд ~ х„Ьь) и его сумма равна хьс), т. е.
~ х„ьь) = х]А), то для любой п=1 п=1 функции у(1) Е ЛЛз~а; Ь] ильеет место равенство ь ъп Ь 1хЯРЯВЬ = Е 1х.(4) р(1) Ф, а п=1 а н частности, для конечного интервала (а,Ь) имеет вьесто равенство ь ь 1хЯ =Х1'-Я41, а и=-1 а т. е. заданный ряд можно почленно интегрировать. 28. Все п-мерные линейные пространства со скалярным произве- дением изоморфны между собой. Гл. 4. Введение в функциональный анализ 442 29. Всякое и-мерное линейное пространство со скалярным произведением полно в смысле метрики, .порожденной скалярным произведением. 30. Всякое линейное пространство со скалярным произведением, изоморфное гильбертову пространству, является гильбертовым пространством.
31. Всякое линейное пространство [действительное или комплексное) со скалярным произведением содержится и плотно в некотором гильбертовом пространстве, называемом его наполнением. 32. Все пополнения линейного пространства со скалярным произведением изоморфны между собой. 33. Множество (х = [х|,, х„; ...) Е 1| ~ ~ х„= 0~ является лип=| нейным пространством, плотным в пространстве 12 [см.
задачу 15). 34. Пространство СБ2[а; 6] [см. задачу 11) не является гильбертовым пространством. 35. Пространство СБ [а;6] [сн|, задачу 11) плотно в некотором гильбортовом пространстве [зто пространство обозначают Аз[а;Ь]). 36. Будет ли в линейном пространстве СГ 1,[а; 6] непрерывно дифференцируемых на отрезке [а; 6] функций функционал ь [х.) = У[*[1).[1)+*'[1)у'[4)) ~ скалярным произведением? Если да, то будет ли получившееся пространство гильбертовым? 37. Найти угол между функциями х[г) = сйпй и у[г) = | в пространстве: Ц СЛ2[0:зг] [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
