1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 70
Текст из файла (страница 70)
[2, Ь'12]) следует, что пФо [[Льль + Лзхз][р ([ ~Л,х, [1) + Лзхз[1)[~ ЙС) < рй ь »!р < [Л4У[.. [х)[" 11)'"+ [Ла](у[ .[1)[" «г)". [6) о а Отсюда следует, что если [[ль[[р < +ос и []ха[[о < +ос, то для любых чисел Лы Ла имеет место неравенство []Льль+Лала[[и < +со, т. е. множество ль1,р[а; 6] образует линейное пространство и что для функционала [4) выполняется неравенство треугольника [для этого в неравенстве [6) достаточно взять Ль = Ла = 1). Неотрицательность функционала [4) очевидна, а его однородность следует из линейности интеграла.
Итак, 776р[а;6] -- полунормированное пространство. Докажем вложение [5). Если л е ль1»[а;Ь], то, применив неравенство Гельдера для интегралов [см. [2, ~ 12]) с показателем »1/р [в силу условия 1 < р < д он не меньше единицы), получим ь [[.[[„= (~[-[1)[ ж)'" < ь Ь < (~[хЯ[» еьс] ( / еЬь] = [Ь вЂ” а)~~Р ~»[[л[[»; отсюда, очевидно, следует вложение [5). л 3 а м с ч а н и е. Всюду в дальнейшем под интегралом по некоторому числоному промежутку понимается, вообще говоря, несобственный интеграл, .определенный как предел соответствующих рима- новых интегралов. Для всех рассматриваемых функций, когда речь будет идти об интегралах по какому-то промежутку от них или от их глодуля, или от их степени и т.
п., всегда будет предполагаться, что существует такое конечное разбиение [1ь)~~=в" указанного промежутка; а < ьо « ... 1» « ... 1„ < 6, что на всяком отрезке [6;и] Е [а;6), не содержащем ни одной точки этого разбиения, функция интегрируема по Риману.
ЗАДАЧИ В задачах 1-37 доказать сформулированные утверждения. 1. В силу обычных операций над числами множество всех действительных [комплексных) чисел образует действительное [комплексное) линейное пространстно. 2. Конечномерное векторное пространство Й" в силу обычных операций над векторами х = [тм ...,т„), хь Е й, 6 = 1,2,...,п, образует действительное векторное пространство.
4ы Гл. 2. Введение в функциональный анализ 3. Пусть С" - множество всевозможных упорядоченных множеств з = (зз, ..., зп) из п комплексных чисел зь е С, .й = 1, 2, ..., п, с линейной операцией, определенной следующим образом: если з = (ег, '"; за) е С", ш = М '..цап) е С", Л е С, В е С, то Лг+ рш = (Лез + рлоы ..., Лап+ дшп). Тогда С" является комплексным линейным пространством. 4. Пусть Е произвольное множество. Тогда совокупность Е(Е) всех функций 1: Š— ~ Я (соответственно 1: Š— ~ С) при обычном определении сложения функций и умножения их на действительное (комплексное) число является действительным (комплексным) линейным пространством.
5. Множество Рбй (соответственно Р~гп~) всех многочлепов степеней, не превышающих заданного натурального числа и, от одного переменного с действительными (комплексными) коэффициентами является линейным пространством. 6. Множество Р= (] 'Рбй [соответственно Р< = (] Р ~) всех п=а п=о многочленов одного переменного с действительными (комплеьсными) коэффициентами (см. задачу 5) являетсл линейным действительным (комплексным) пространством. Т. Множество всевозможных числовых последовательностей (иш,шп; ...), лп Е Я (соответственно х Е С), и = 1,2, ..., при обычном определении их сложения и умножения на число является линейным пространством.
8. Множество С(Х) всех непрерывных на метрическом пространстве Х числовых функций 1: Х ь Я (соответственно 1: Х ь — > С) явлнется подпространством пространства Е(Е) всех числовых функций, определенных на пространстве Х (см. задачу 4). 9. Множество СВ(Х) всех ограниченных непрерывных на метрическом пространстве Х функций 1; Х вЂ” г Я (соответственно 1; Х вЂ” ~ -э С) является подпрострапством пространств В(Х) (см.
задачу 8) и С(Х). 10. Множество ЯА„[а; 6] всех числовых функций х(1), определень ных на отрезке [а;5], у которых конечен интеграл ( ]л(1)]аФ, р > О, и является линейным пространством. Примечание. Согласно сделанному выше замечанию под интегралом понимается несобственный интеграл, в частности, интеграл Римана. Поэтому здесь Я 2'а[а, 6] обозначает более широкое множество функций, чем в примере 2. 41в. Нормированные и нолрнормированнеж нространства 415 11. Множество С1~а;Ь] всех непрерывно дифференпируемых на отрезке ~а; Ь] функций составляет линейное пространство, янляющееся подпространством пространства С]а; Ь] (см, задачу 8). 12.
Множество 1» всех последовательностей действительных чисел (х1, ..Оя„; ...), для которых ряд ~~1 ]х„]» сходится, образует линейное пространство. 13. Множество всех последовательностей комплексных чисел (з1, ...х„;...), для которых ряд ~]я„]» сходится, образует лиа=1 пейное пространство.
14. Если 1' и Я надпространства линейного пространства Л', то У -~- У также надпространство этого пространства. 15. Векторы я1,...,з„ линейно зависимы тогда и только тогда, когда по крайней мере один из них нвляется линейной комбинацией остальных. 16. Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. 1Т. Всякая подсистема линейно независимой системы линейно независима. 18.
Если систел1а векторов линейно зависима, то линейно зависима и всякая система, ее содержащая. 19. В линейном н-мерном пространстве не существует более чем и линейно независимых векторов. 20. В линейном я-мерном пространстве все базисы состоят из я векторов. 21. В линейном в-мерном пространстве каждая система 11 линейно независимых векторов являетсн базисом этого пространства. 22.
Пространство РОО многочленов одного переменного степени не выше п (см. задачу 5) является (я+ Ц-мерным, и одночлены 1,4, га, ..., Ьо образуют в нем базис. 23. Пространство всех леногочленов одного переменного (см. задачу 6) является бесконечномерным пространством. 24. Если векторы х1,зз,...,л„ образуют базис в линейном прост- раНСтВЕ Л, у, = ~ ~а,осло, 1 = 1, 2,...,я, И С)Е4,(ае ) ф О, тО ВЕКтО- 1'=-1 ры у1, да, ..., до также образуют базис в пространстве Х.
25. Если векторы я1, яе, ..., ли образуют базис в линейном Гл. 4. Введение в функциональный анализ 416 пространстве Х, у, = ~ ~а,.х, где (а, ) треутольная матрица з=-з и а; ф О, 1 = 1,2, ...„л, то векторы ум уз, ...,д„также образуют базис в пространстве Х. 26. Всякая система многочленов Р (1) = ~ а,„ьг~ степеней т = у=о = 0,1,...,п (т.
е. а „, ф О) образует базис в пространстне Рь"~ (см. задачу 5). 27. Если система многочленов линейно зависима в линейном пространстве мпогочлспов Р (см. задачу 6), то она линейно зависима и на любом промежутке. Если система многочленов линейно зависима на некотором промежутке положительной длины, то она линейно зависизиа и в пространстве Р. 28. Многочлены Лежандра Рв(1) = 1, Р„,(1) =,, т =1 2,...,п, (7) образуют базис в пространстве Р~ "1 (см.
задачу 5). 29. Функция уз„(1) = соз(п агссоа1), и = 1,2, ..., ф < 1, является зиногочленом степени и.. Многвчленьь Чебышева 1 То(х) = 1, Т„„(х) =, соз(тагссоах), т =1,2,...,п, (8) образуют базис в пространстве Рь"~ (см. задачу 5). 30. Любой многочлсн степени не выше и является линейной комбинацией многочлснов Лежандра Рв(1), Р,(1), ..., Р„(1) и линейной комбинацией многочленов Чебышева То(1), Тз(1), ..., То(1). 31.
Ядро линейного отображения 1: Х вЂ” г У является подпространством линейного пространства Л'. 32. Образ линейного пространства при линейном отображении в другое линейное пространство явлнстся подпространством последнего. 33. Для того чтобы линейное отображение Г": Х 4 У линейного пространства Х в линейное пространство У было инъекцией, необходимо и достаточно, чтобы ядро этого отображения состояло только из нуля. 34. Все линейные п-мерные пространства изоморфны между собой. 35.
Преобразование Фурье непрерывных абсолютно интегрируемых на всей числовой осн Я функций является инъекцией н линейное пространство функций 1: 17 -ь С. 36. Множество А(Х; 1') всех линейных операторов, отображаю- д 7д. Нормировиннив и полднормировиннив простринстои 447 щих линейное пространство Х в линейное пространство г., при обычном определении линейных операций над ними образует линейное пространство. 37. Яи+ = Яв х Я"',, = 0,1, 38. Доказать, что линейные функционалы 74 и гд линейного пространства Х линейно зависимы тогда и только тогда, когда кег7', = йег1з. 39.
Доказать, что для того чтобы линейный функционал 7' линейного пространства Х был линейной комбинацией линейных функционалов 11 и 5 того же пространства, необходимо и достаточно, чтобы йег )1 й йег 1 С йег 7'. 40. Подпространство Н действительного (соответственно, комплексного) линейного пространства Х называют гииерплосностыо пространства Х, если существует такая точка а б Х у Н., что Х = = Н О Яа (соответственно Х = Н рй Си).
Здесь Яа = ух е Х! х = Ла, Л 6 Я) (Са = 1х е Л / х = Ла, Л е С)). Доказать, что если Н является гиперплоскостью действительного линейного пространства Х и Ь б Х ~ Н, то Х = Н сз Яб. 41. Доказать, что осли Нз и Ни гиперплоскости линейного пространства Х и Нз С Нв, то Н, = Ни. 42. Доказать, что если Н, и Н гиперплоскости линейного пространства Х и Н1 ф Ни, то существуют такие точки Ь1 Е Х и Ьа б Х, что Ь1 б Н1 ~Нич Ьи б Ни ~ Ни 43.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
