1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 74
Текст из файла (страница 74)
1), 4), 5) Да; 2), 3) нет. 78. 1), 4); 5) Да; 2, 3) нет. 85. 1), 3), 5) Нет; 2), 4), 6) да. 86. р < д. 101. Нет. 131. Нет. 140. 1) — 3) Да; 4), 5) нет. 141. 1) 1 — сов 1; 2) 1; 3) 1. 142 1) — 3) ЦАЦ = 1; 4) ЦАЦ = ЦьоЦсдо,О; 5) ЦАЦ = 2/х: 6) ЦАЦ = е — 1. 143. 1), 2) [[АЦ = 1. 145. Для всех о > 0; ЦАЦ = Е 146. Последовательность (од, ..., оо; ...) ограничена, ЦАЦ = впр [о о[. 174.
(У'(х))(Ь(г) = р(1)Ь(г). 175. 1) ~'(совВ) = соввйьг; 2) ('(0) = Ь; 3) ~'(1пВ) = Нвч. 176. (г (хо))(Ь(г)) = ь в др(цх (4);х'„(в)),, др(к,:х (в);х,',(4)) ( (г) , ' 1 (в)~ йг, 1 С [ Ь дх дх' а 194. (Р'(В))Ь = Ьо+ ЬсовВ, ((~в~(В))Ьь = 31п [В+ — )Ьь, Ь > 2, 2 / о вго (е -~- Ья/2) р(с+Ь) = 31пг+Ьн+Ьсов4+~ и', Ь" +о(Ь"), Ь -4 О. ь=-2 23 Нод ред.
Л.Д.Кудрявцева, т.З Гл. 4. Вввдекие в функциональный анализ 3 20. Гильбертовы пространства 434 СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 2. Ортонормированные базисы. Ряды Фурье. Элементы х и у линейного пространства с почти скалярным произведением называют ортогакальными, если (х, у) = О. Систему элементов (х ), о Е 11 (11 некоторое множество индексов), этого пространства называют артагокалькой, если каждые 1.
Пространства со скалярным произведением. Пусть Х вЂ”.— действительное линейное пространство, Функцию (х; р), определенную на Х х Х, называют ск лярным произведением, если для любых точек х, у, г Е Х и любых действительных чисел Л, р выполняются следующие свойства: 1) коммутативность: (х,у) = (у, х); 2) линейность: (Лх + ру, х) = Л(х., г) + р(у, з); 3) кеотрииателькость: (х,х) > 0; 4) кевьсрождвнкость: если (х,, х) = О, то х = О.
В случае комплексного линейного пространства функцию называют ск зарный произведением, если выполняются условия 2), 3) и 4), а вместо 1) условие: 1') (х.,у) = (у,х). Если для функции (х, у) выполняются только условия 1) — 3) (соответственно условия 1'), 2), 3)), то ее называют почти скалярным произведением.
Иначе говоря, почти скалярное произведение в случае действительного пространства — это симметричная неотрицательная билинейная форма. Если (т, у) скалярное (почти скалярное) произведение, то функ~и~= (',*) (1) является нормой (полунормой) на пространстве Х (см. задачу 5 из 3 20). Углом между элементами х ф 0 и у ф 0 линейного пространства со скалярным произведением называют такой угол сСз Е (О, т~) что соя со = ~~хну~~ Линейное пространство со скалярным произведением называют гильбвртавьсм, если оно полно в сьлысле метрики, порожденной нормой (Ц.
Два линейных пространства со скалярным (почти скалярным) произведением называют изоморфкьслси, если они изоморфны как линейные пространства и существует отображение, осуществляющее этот изоморфизм и сохраняющее скалярное (почти скалярное) произведение. 8 зб. Гильбортооы пространства 435 ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Пусть ряд ~ Л„сходится, п=1 Доказать, что в линейном пространстве Л О<Л„<1, п=1,2,...
всех последовательносряд ~ х„, функционал о==1 тей хп Е й, п = 1, 2, ..., для которых сходится (х,у) = Е Лпхпу. (2) п=1 28е два ее различных элемента ортогональны. Если, кроме того, норма любого ее элемента равна единице: йх 'ц = 1 Чо Е 11, то ее называют ортокормированной. Если (е ), о Е 11, — ортогональная система в линейном пространстве Х со скалярным произведением, ео у': О для всех со Е Т3 и х 6 Х, то числа аа— (со, Со) называют коэффициентом Фурье элемента х по данной ортогональной системе. Если эта система не более чем счетна: (еп), п Е В, то ряд ~ апе„ называют рлдом Фурье элемента х по данной системе. Ортогональную систему (е ), а Е 11, называют замкнутой в линейном пространстве со скалярным произведениеле, если в этом пространстве не существует элемента, отличного от нуля и ортогонального к каждому из элементов этой системы. Если Хо подмножество линейного пространства Х со скалярным произведением, х Е Х и хо Е Ло такой элемент, что 1~х — хо~! = !п1 1~х — 1А: ув Хо то его называют элементом наилучшего приближения элемента х в подмно кестве Хо пространства Х, а число Е„(х) = 1пГ 'йх — У(! уехо наилучшим приближением элемента х к указанному подмножеству.
Подмножество линейного пространства Х со скалярным произведением называют его замкнутьом подпространством, если оно является подпространством Х как линейного пространства и, кроме того, является замкнутым подмножеством. Пространство Х называют прямой суммой его замкнутых подпространств У и Е и пишут Х = У Ж г, если Х = У + г, (см. 8 19, и. 1) и каждый элемент х Е Х единственным образом представим в виде х = у + г. Для всякого мнол оог жества ЕСХ множество Ез- =(хЕХ:(х,у) =О чу ЕЕ) называют ортогональным дополнением множества Е.
Гл. ф Введение в функциональный анализ ~ Лп<ез. п=п, Поэтому при п > пе и й > О имеем 1п-~-Ьз (п]~~ пьь СЮ ~~'л< ~л <, т=п — 1 пз=п-, 1 т. е. последовательность (х111; ...; х1пз; ...) фундаментальная. Пусть суЩЕСтВУЕт 11НП Х и = а = (аз,,а:...). ТОГДа ИЗ СХОДИМОСтн РЯ1'1 и- с~ да ат следует, что существует такое па, что при п > по вы- 2 аз=1 полняется неравенство а„ < 1/2, а поэтому и неравенство пь !/х1"з — ац2= ~ Л (х1"з — а )2 > ~ Л,„(1 — о ) + (з) т=1 аз=1 и пе + ~ Л (1 — а ) > ~Л (1 — а )2+ л т=пеж1 т,=1 т=пьж1 Здесь первое слагаемое в правой части неотрицательно, а второе при и -+ оо в силу условия Лп > О стремится к положительноэ|у пределу. Следовательно, предел всей правой части при п -э оо положителен, в то время как предел левой части равен нулю. Отсюда явствует, что последовательность (х111;...;х1"1;...) не имеет предела.
А Пример 2. Доказать, что множество Х = (х~п1 = (х1 '~: ...; х~'О; ...) Е 11, х~„"~ = О при и фт, х~,"~ = 1+1/и) (3) является ограниченным замкнутым множеством в пространстве 12, в котором нулевой элемент пространства нс имеет элемента наилучшего приближения. является скалярным произведением и что пространство Х с этим скалярным произведением не является гильбертовым. А БЫПОзтНИМОСтЬ аКСИОМ СКаЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДЛЯ фУНКЦИО- нала (2) проверяется непосредственно. Покажем, что последовательность х = (т,, ;...;х ';...), где х = 1, если 1 < т < п, и х " = О, если ьп > и, фундаментальная, но не сходящаяся.
Пусть задано е > О. Из сходимости ряда ~~ Лп следует, что существует такой номер и„ что и.= 1 у ЗО. Гальбвртовы пространства 437 л Скалярное произведение в пространстве 1з задается формулой (Х)у) = ~~Хоуп, Х = (Х1;";'тп;" ), У = (91; "4Уп!".) Е11 (4) п=1 (см. ниже задачу 15). Поэтому из (3) и (4) следует, что 1В'1= 7(,~п в )) =1:11, 2. (ос) Следовательно, множество Х ограничено, !пГ(~хбн — О~~ = 1 и в мпои жестве Х в силу (5) нет элемента с нормой, равной 1.
Покажем, что Х замкнутое множество. Пусть х1п" 1 Е Х, гс = 1,2, ..., и 1цп х!пж = х. Если х = (х1, ...,.хп; ...), то ~~ !" 1- ~~а=1+ — — и„+ ~:"„. (6) пфпл Поскольку 111п дх~"н~ — х)( = О,. Ь-пса 11П1 Хо=О И ~ ~Х~ >О, пфпв то равенство (6) возможно только в случае, когда последовательность номеров (п1, .бпл;.,.) ограничена сверху, и, следовательно, последовательность (х1т1; ...;х1п" 1; ...) содержит стационарную подпоследовательность, все члены которой равны некоторому элементу х~ "с! Е е Х, а тогда 1пп х!""! = хбм!. Это означает, что множество Х со- Л-пы' держит все свои точки прикосновения, т. е. является замкнутым.
А П р и м е р 4. Доказать, что если тт = лу=(У1!";Уп,'...) Е11 ' ~уь =О), 1=1 ~~п (З (З1 " Зп ") Е 1З Зп — О УП > 1), Пример 3. Доказать, что если 1' - замкнутое подпространство линейного пространства Х со скалярным произведением., то его ортогональное дополнение т'~ также является замкнутым подпространствол4 пространства Х. А Если з1 Е т ~, ьв Е 5 ~, то для любых чисел Л1, Лз и любого у Е 1' имеем (Л1з1+ Лззз,у) = Л1(вы у) + Л (зз у) — О поэтому Л1з1-!- Лззз Е 1' г. Замкнутость множества 1'л следует из непрерывности скалярного произведения (см. задачу 25): если зп Е Е !'" и 1пп зп = з, то для каждого у Е 1' будем иметь (з, у) = ( 1пп лт у) = 1нп (зп, у) = !пп О = О, П вЂ” 1ОО П вЂ” 1СС П вЂ” 1~ т.е.зЕУ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
