1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755)
Текст из файла
УДК 517 ББК 22.161 К88 К уд р на цев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В. И., Ш а 0 у нин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Том 3. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие/ Под ред. Л.Д. Кудрявцева. 2-е изд., перераб. — — Мл ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 472 с. -18ВМ 5-9221-0308-3. Рецензенты: заведующий кафедрой общей математики ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, академик В5С Ильин; профессор МФТИ, академик С.М. Никольский.
1БВХ 5-9221-0308-3 (Т. 3) 18Б1Ч 5-9221-0305-9 © ФИЗМЛТЛИТ, 2003 © Л.Д.Кудрявцев, Л.Д. Кутасов, В.И. «!ехлов, М.И Шабунин, 2003 Книга является третьей частью трехтомного сборника задач. созданного на основе многолетнего опыта преподавааия курса математического анализа в Москонскол«физико-техническом институте, В нее включен материал по следующим разделам курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; кратные, криволинейаые и поверхностные интегралы, векторный анализ; интегралы, зависящие от параметра; элементы функционального анализа.
Каькдый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи длн самостоятельной работы с ответами. Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике. Ил. ЗЗ.
Табл. Библиогр. 20 назв. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ГЛАНА 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Различные типы мнол1еств в я-мерном пространстве....... Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функ- ций нескольких переменных. Отображения Частные производные, Дифференциал функции нескольких пере- менных. Дифференцируемые отобралгенин............... Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Фор- мула Тейлора и ряд Тейлора Экстремумы функций Геометрические приложения 31 22 22 85 110 129 зб ГЛАВА 2 КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛАВА 3 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 313. Собственные интегралы, зависнщие от паралщтра.......... 324 3 14. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра . 334 3 7. Мера ЖЕОрдан.
Измеримые множества 38. Кратный интеграл Римана и его свойства 3 9. Геометрические и физические приложения кратных 9 10. Криволинейные интегралы 3 11. Поверхностные интегралы 3 12. Скалнрные и векторные поля 145 158 интегралов 233 25зг 278 295 Оглавление 3 15. Дифференцирование и интегрирование по параметру несобственных интегралов 346 3 16. Эйлеровы и некоторые другие интегралы ................ 360 3 17. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье ................ 370 Список литературы 467 ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 3 18.
Метрические пространства 3 19. Нормиронанные и полунормированные пространства . 3 20. Гильбертовы пространства 3 21. Топологические пространства. Обобгаенные функции. 379 40о 434 450 ПРЕДИСЛОВИЕ Книга нвляется третьей частью сборника задач по курсу математического анализа. В первой главе речь идет о дифференциальном исчислении функций нескольких переменных. Рассматриваются различные типы множеств в п-мерном пространстве, понятия предела, непрерывности. Особое внимание уделяется такому трудному для усвоения понятию, как дифферепцируемость функций нескольких переменных, а также проблеме отыскания точек безусловного и условного экстремума.
Вторая глава посвящена кратным, криволинейным и поверхностным интегралам. Изложение теории кратных интегралов строится на основе меры Жордана. Много внимания уделяется геометрическим и физическим приложениям кратных интегралов, скалярным и векторным полям. В третьей главе рассматриваются интегралы, зависящие от параметра. Приведено большое число примеров, связанных с исследованием равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметров.
Рассматриваются важные для приложений интегралы Дирихле, Эйлера, Пуассона н др. Отдельный параграф посвящен интегралу Фурье и преобразованию Фурье. Материал четвертой главы является введением в функциональный анализ. Исследуются метрические, нормированные и полунормированные пространства, а также гильбертовы и топологические пространства. Содержатся начальные сведения об обобщенных функциях. При работе над сборником авторы опирались на многолетний опыт преподавания курса математического анализа па кафедре высшей математики Московского физико-технического института. Как и в первых двух частях, весь материал третьей части сборника разбит на параграфы. Каждый параграф содержит: краткий обзор теоретических сведений, необходимых для решения последующих задач; решения типичных задач; упражнения и задачи, снабженные ответами и предназначенные для самостоятельного решения.
Включение в сборник сравнительно большого числа подробно решенных задач имеет целью показать студенту оптимальные приемы и методы решения и тем самым дать ему возможность часть материала изучить само- Предисловие стоятельно. Следует отметить, что упражнения и задачи, предназначенные для самостоятельного решения, разнообразны не только по тематике и содержанию, но и по степени трудности - - от простых, иллюстрирующих те или иные разделы курса, до довольно сложных, требующих от читателя определенной настойчивости, а иногда и некоторой изобретательности. Большой набор упражнений и задач и их разнообразие позволит использовать сборник во втузах и университетах с различными программами по математике.
Авторы надеются, что преподаватели найдут в сборнике материал, который смогут использовать на лекциях, семинарских занятиях, консультациях, при состанлении заданий для самостоятельной работы студентов, при составлении контрольных работ, на экзаменах. ГЛАВА 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ~ 1. Различные типы множеств в и-мерном пространстве СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1.
Пространства Я". Множество, элементами которого являются всевозможные упорндоченные наборы и действительных чисел, обозначают Я". В множестве Я" эдожпо ввести понятие расстоянии между любыми двумя его элементами. Расстояние между элементами з: = (хд;хз;" 'хв) дд У = (Уд'дуз; ";Ув), х„уд Е Я, д=1,2,...,п, обозначим р(х;у) и определим формулой п рдхд у) = ~(х — у )'.
д=д Множество Я" с введенным в нем расстоянием называют пространствам Я', число и — размерностью пространства Я". Элемент х = (хд; хз, ..., хи) мнодкества Я" называют точкой пространства Я", число х„д = 1,2,...,п, " д-й координатой этой точки. Точки х = = дО, О; ...; х,,; ...; О) п-мерного пространства Я" образуют д-ю координатную ось пространства.
Точку О = (О;О; ...;О) называют началом координат. Для точек х = (хд) и у = (у,) одномерного пространства Яд (Я) формула (1) имеет вид р(хдду) = ~х — Ы: поэтому пространство Я представляет собой множество действительных чисел, расстояние между которыми измеряется обычным образом, т, е, Я' числовая прямая. Пространства Я~ и Яд — — это соответственно плоскость и обычное трехмерное пространство, которые изучаются в элементарной и в аналитической геометрии.
Для элементов множества Я" можно ввести понятия суммы элементов и произведения элемента на действительное число: если х = (хд,'зг',..дх„), У = 'дуд;уз..'..Чув), Л Е Я, то х+ у = (хд +уд,ха + удб ...;х„+ у„), Лх = (Лхд, Лха;,..;Лх„). (2) 8 Гл. Е Дифференциальное исчисление функций несколыьих переменных Как известно из линейной алгебры. множество Й", в котором формулами (2) определены сумма и произведение на действительное число, является линейным векторным пространством. Точку х = = (гц;хг, ...,хв) пространства Й в этом случае называют вектором и обозначают иногда х, числа х„1 = 1,2, ..., и, называют его координатами в базисе е, = (1;0; ...;0),...., е„= (О;0; ...; 1).
Вектор (О;0; 600) называют нулевым. В линейпоги векторном пространстве Й" можно ввести скалярное произведение (х, у), поставив в соответствие каждым двум векторам х = (х,,", хг, ..., хе) и у = (у~, .уг,,,., ув) число (х, у) = ~ хгу,. (3) Линейное векторное пространство Й", длн векторов которого формулой (3) определено скалнрное произведение, называют п-мерным евклидввым пространством. Число,Дх, х) называют длиной вектора х и обозначают ~х~. Векторы х и у называют ортогокалькыми, если (х,у) = О. Если х и у — — ненулевые векторы, то углом между ними называют угол ьг Е )О; к) такой, что спад = (хйу( 2. Различные типы множеств в пространстве Й".
Пусть точка в, = (вы аз,...,а„) с Й", д > О. Множество всех точек х = = (хыхг, ...;хи) пространства Й", для которых ~х, — а;) < д, г = 1,2, ...,п, (б) называют и-мвркым кубом с ребром 26 и с центром в точке а или кубической 6-окрестквстью точки а в пространстве Й". Одномерный куй это интервал длины 26 с центром в точке а, двумерный куй это квадрат со стороной 26 и с центром в точке а. Пусть точка а Е Й", д > О. Множество всех точек х пространства Л", для которых р(х; а) < д, называют н-мерным шаром радиуса д с центром в точке а или д-окресткостью точки а в пространстве Й" и обозначают 11"(а;6). Таким образом, Ю "(а;6) = 1х е Йо: р(х;а) < 6).
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
