1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 6
Текст из файла (страница 6)
На рис. 2.1 область определения функции показана штриховкой. Для нахождения с-уровня функции нужно для любого с Е й найти множество точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворя- л ют уравнению | »т»с»'»*' »»г — ») =: Если г. < О, то с-уровнем функции является пустое множество: 0-у ровнем функции будет, очевидно, множество всех точек оси х, С=4,»з за исключением двух точек (х1;0)» не входящих в область определения функции. В случае с > О, преобразуя А~ исходное уравнение, получаем с=о 2у з»» 2 =с» х +у — — »у=1, — 1 1 х хежуз — 1 ' се *а+(у — —,) =1+ —,. Следовательно, с-уровнем функции Ркс.
2.1 при с > 0 явлнется окружность радиуса, ~Т+ 1/сл с центром в точке (О; 1/сз), за исключением двух точек (х1; 0) этой окружности, не принадлежащих области определения функции. На рис. 2.1 построены с-уровни функции при с = О, 3/4, 1, 4»»3.
А у2. Функции нескольких нереленных. Предел. Отображения Зэ Пример 2. Найти !пп о хг-«уг у — ьо А Для любого числа а > 0 существует б > 0 (а именно б = а) такое, что для всех точек (х; у), удовлетворяющих условию + уг < б и отличных от начала координат, справедливо неравенство г, ", — 0 = , ' ,(д! < !у! < ьгхг + уг < щ хг -!- у' хг -~- уг х у Следовательно, 1пв, ' ., = О. а л~охцу у- о 1 П р и м е р 3. Найти предел функции Р!х: у) = у соа — в точу — х ке 10; 0) по множеству, на котором функция определена.
А Заметим, что функция не определена в точках прямой у = х. Поэтому обычного предела в точке (О; 0) не существует. В то же вре- мя предел по множеству Е = 1!х; у) Е й: х ~ у), на котором функ- ция определена, существует и равен нулю, что следует из неравенст- ва !усов(1«г(гу — х))~ < ~р~, справедливого для всех точек (х; у) Е Е. А Пример 4.Найтипределфункции 1«х;у)= ' У вточке (О;0) уг Ьхг по прямой х = ой у = М, сгг + !гг ф 0; доказать, что !пп,, не существует. А Функция определена во всех точках плоскости, кроме точ- ки !О;0).
Так как ~(ой,'Ц=, ',„— «О при Х вЂ” «О Дг -1- оЧг (если П = О, то 1!ой 0) = 0), то предел функции в точке 10; 0) по каждой прямой, проходящей через начало координат, равен нулю. Чтобы доказать, что 1пп ' не существует, достаточно ука*-го у'+х' у — го зать кривую, проходящую через начало координат, по которой предел функции в точке (О; 0) не равен нулю. Такой кривой является, например, парабола у = хг. В самом деле, 1(х, хг) = 1«г2, и, следовательно, предел функции в точке (О; 0) по параболе у = хз равен 1«2.
А ЗАДАЧИ 1. Найти функцию е = 1(х;у), если а -- плошадь ромба, х -- его периметр, у - . сумма длин его диагоналей. Вычислить 1(1;2). 2. Найти функцию о = !'!х; у), если е объем прямого крутового конуса, х длина его образующей, а у: 1) высота конуса; 2) длина окружности основания. ЗО Гл. д дифференциальное исчисление функций нескольких перелсе)сник 3. Найти функцию ь = Г" (х;у), если и -- объем прнмого кругового конуса, х -- величина угла между образующей и плоскостью основания конуса, у -- плошадь сечении конуса плоскостью, параллельной основанию и проходящей через центр вписанного в конус шара.
4. Найти функцию е = 7(х; д; с), если е — плошадь равнобочной трапеции, х, д -- длины оснований, с -- длина боковой стороны трапеции. Вычислить: а) 7(2;1; 2): б) 1(1;4; 1). 5. Найти функцию е = Г"(х;у;з), если е -- площадь треугольника, ху у, с длины его сторон. 6. Найти функцию Су = Г"(х;д; с), если су --. плоШадь боковой поверхности правильной шестиугольной усеченной пирамиды, х, у -- стороны оснований, а с высота пирамиды. 7. Найти фУнкЦию и = 7'(х),хз,хз.,хл), если и — объем тетРаэдра, а хи 6 = 1,2,3,4, -- плошади его граней., причем двугранные углы, прилегающие к грани с площадью х), равны между собой.
Вычислить Г" (1; 1; 1; 1). 8. Найти области определении функции двух переменных, заданной формулой: 1) «= Гууу 'à — у; 2) =1)à — — у; 3) =: 6) =ь)*'уу' — Ц: 1 6) =1 )у — 6.. у 3); 6) = Ь)*6 у 62 — 2 — 3); 7) и = ; 8) и = !и 1/2 ЫЬ226 2) = уч - )*) — )2)2 13) — . . . '. . . 3, 1 1) = ' " ; 1 2) ч)61 — х — у уз) ° =чзуз)2 — -2*6 н)н= )еУУ' — Нз — *' — 2); Н) =1)З..уу — З)6 3 — 2 +6' 16) = '. — \-2 у:Т-у 67:6-2 К2 66:уу; 17) и = чупу а!пзхш 18) и = 1пх — !летн; 19) и = 1п а)п ку(хз + дз); 20) и = 2)х !и 18 ( — '" ); 21) и = агссоз у; 22) и = агссое(х + д); 23) и = агся)п —; 24) и = х". х -)- у ' 9. Является ли множество, на котором определена функция и = = и(х;у): а) замкнутым, б) открытым, в) линейно связным, г) областью, д) замкнутой областью, е) выпуклым? яе.
Функции нескольких переменных. Предел. Отображения ЗГ Функция и(х; у) задана формулой: 1 1) и=, у: 2) и= 'хашу; хУЧ-уу — 1' 3) и = 1п(1 — 2х — хз — уз) +!п(1+ 2х — хз — уз); 4) и = аусяш(у/х); 5) и = ~~у+ агсяшх; 6) и = агссоя(х/рз); 7) и = агссоя(2у + 2ухз — 1). 10. Найти множество значений функции, заданной формулой: 1) и = хз — 2ху+ уз+ 2х — 2д — 3; 2) и= 2+х+у — хз — 2ху — уз; 3) и = 1п(4хз + 2уа — 4ху + 12х — 12у + 21); 4) и =1ойих+1о8 У; 5) и = аз*и — с~и+2. 6) и = Зсйп(у/х) + 8яш (у/2х); 7) и = 3 я|п(х — у) + 6 я!п(х + у) + 4 соя(х — у) + 8(х + у); 1+х у 8) и = агссоя 2ху 11. Найти множество значений функций и = /(х;у), (х; у) с Е: 1) и=х — 2у — 3, Е=((х;у):х+д=1, х>0, у>0); 2) и = х' — ху + )д~ Е = ((х.
у): ф + )у( = Ц: 3) и = хз + уз — 12х + 16у + 25, Е = ((х; у); хз + у' = 25); 4) и=1п(2хз+Зуз), Е=((х;д);х+у=2, х>0, у>0); 5) и = (/хя+ ул, Е = ((х:,у): х+ у = 2). 12. Найти области определения функции трех переменных, заданной формулой: С "=' а- - у-*): 3) "= Лу — )Н вЂ” )у) -)*): 1 1 1 3)и= — + —; 4)и= л) = уГ-.:,:. ' 6) = 'Т6 — —; 6) = )У вЂ” у — * ))у —:-* — 4): 7) =) )36 — 36* — Уу — 4 ); 6) 9) и = 1п(2гз — 6х~ — Зуе — 6); 10) и ха + 2уз+ 2уз+ ха 2у ! 1.
П) = 4736 — — у — *' ь) уу 4* — 4); 12) и = 2(ха+ уз+ ха) (ар+ уз+ за)а 1. 13) и = + 1п(о — х — у — з); Л:1 И) = 464 464 У-у Л вЂ” У:у-у 36.уг — УУ; 1п(еу — ху — у ) !п(х + у -р е — 4) 1 — хе — у- — ее '7 1 — л- — уе 32 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких перелуеннь)х 17) и= 1п(4 — — х Р ) 4 — е — хе — У 18) = * †*24 * 'туу 19) и = агссоа(2 — хз — да — 22); 20) и = агсуйп е — 1 21) = )* Уу'У вЂ” 3)4 42* уу — 3. 13.
Доказать, что областью определения функции, заданной формулой и = агсашхагсгйп(2х+ у) агса1п(Зх+ 2у+ 2), является замкнутый параллелепипед, и найти его вершины. 14. Является ли множество, на котором определена функция и(х; у; 2) ) а) замкнутым, б) открытым, в) линейно связным, г) областью, д) замкнутой областью, е) выпуклым? Функция и задана формулой: 1) и =...: 2) и = лу)х+ )д+ л/е; 3) и = 1п(хде); 1 х-4- д- -)- ее ' 4) =22Р— ' — у;3)у= ) ' — — у 6) и = 1п(22 — хз — уз + 1); 7) и = 1п(у 1п(2 — у)); 8) и = агссоя 2'; 9) и = (ху)-; 10) и = 2*". х -1-р 15.
Найти множество значений функций, заданной форл)улой: 1)2)22+22)2),120 2) и = ха + уз+ 322+ 4ху+ 2хе + 2ууц 3) =~/* 42 42*4'-142. 4- 4 .111. 4) и = 4хз+ уз+ 22+ 2ху — 42+ 5: 5) и = 31п()х) + )у) + )2)) — 1п(хуе!. 16. Найти множество значений функпий и =7"(х;у;2), (х;у;2) 6 6Е: 1) = хз + уз + ~2 Е = ((х.р.х): х + у + - = 6). 2) и = . . . , Е = ((х; у; 2); х + у — 2 = Ц; 1 хе + уе + ее — 2х+ 3 ' 3) и = ха+ 2уз+ Зла+ 2у-, Е = ((х,ууе)) хз+ уз+ 2" = 100); 4) и = агсся~ху — (1п(1+ хе))/22 Е = ((х;д; 2): х = д = 2). 17.
Найти область определения и множество значений функции четырех переменных, заданной формулой: ц и = 11(х2 + хе+ хе+ хз — 1) 2) 43 ЛГ1 хз+ )Г4 тг+ /9 — хз+ Л)216 — тз 3) и = 7 — х42 — хл — хз з— хл) — 2хз — 2хл,' 4) и = 1п(144(1 — хз) — Збхз — 16хзз — 9хл). гв. Функции нескольких нереленнжх. Предел. Отображения 33 18. Найти область определения функций и переменных, заданной формулой: и о о 1) и = ~~ тл)1 — (х,(; 2) и = 1 — ~ х; + ~ дллх„.
!=1 !=! л=) о п п 3) и=1п(1 — Я (хл — л) ): 4) и=1п(~х,'+ ~ х;х); !=1 ю=1 1<2=1 о о 5) и = 1об, (~~ х~); 6) и = ~~ агсяп(т; — !). !=1 !=1 19. Найти с-уровень функции двух переменных: 1) лл = д — тц 2) и = 1)лу — х; 3) и = 1)(х~ + ул); !) . =! а — * — !1); л) = )лл — ! . — 9у! 6) « = )л л*' — р~ 7) и = гл)х/у; 8) и = лллх+ у + тллх: у; 9) и = ((х — 1)л+ 192)лл((х+ Цв+ ул); 10) и = 1п ((х — 1)2+уз)л((х+ 1)2+ уз)) 11) и = х" 12) и = езгл)'! ли ); 13) и = тУу — япх; 14) и = 1пх — 1овшу: 15) и = агсяп(у/х); 16) и = агс18 (2улл(хз -)- ул — 1)); )!) =Л! — '!)т) — )!)! )л)к=и)!)!) — ) !ес 19) и = гпш(х, у); 20) и = !пах()х), )д/); 21) у = шш(хз,у); ||) = 'юТ' *' !) 20. Найти с-уровень функции трех переменных; 1) и = х + 2д + 32; 2) и = ех'ьзид 3=; 3) и = хз + дл + 422; 4) и = 1)(х2+ уз + 22+ 2х): 5) и = 1п(хл+ уз+ хл): 6) и = ха+ уз — 2-; 7) и = 1п(22 — хл — дл): 8) и = (х — у)2+ 22; 9) и = 1)лх + 1л)х; 10) и = х/(х -ь у + х — 1); 11) и = 22((х +уз+22); 12) и = 22((хе+уз); )!) =! !))+ )х)+!'!-:Р)Л)1 —,З +!1~ ')); 14) и = 2(хз+ уз+ ) — (3 Ьх" +д'+ ); и) = !Л)*-:-!)'-:-и' !- '-! !Л)*: !В-! !1 !-Ж 16) и = 1п(1 — ~х~ — ~у( — Ц); 17) и = ябп аш(хз+ уз+ 22); )!) = ' !л~*' +у')л 21.
Найти с-уровень функции и переменных; о о 1) и= — '; 2) и= из — ~х;; 3) и=х)/~х;; !=1 )=1 4) и = ((хл — 1)2 + ~ ~х',) / ((хг + 1)2 + ~~ х,'). !=2 $=2 22. Выловить, верно ли равенство: 3 Нод ред. Л.Д.Кудрявцево, !.3 34 Гл. д дифференциолъное исчисление функций нескольких пере«сеяны 1) /(х:д; е) = /(д;х;е); 2) /(х:у;е) = /(ьц х; у); если /(х; уп х) = хеи = + уе «+ ее« 23. Найти /(х;д), если: 1) /(х+ р;х — у) = р(х+у); 2) /(ху;у/х) = хе — р-'. 24. Найти /(х;у) = у+ цч(ч/х — Ц, если /(х;1) = х. 25. Найти /(х;у) = хьо(у/х), если /(1; у) = ч/1+ уз.
26. Найти /(х; У) = Р(хр) + т/хддф(У/х), если /(1; У) = 1, /(х; т) = 27. Найти /(х; у) = р(ху) + ф(у/х), если /(х;1) = аш(хх/2), /(х;х) = 1. 28. Найти /(х;д) = со(х+ 2,„/р) + ф(х — 2т/у), х > О, если /(х; О) = зъпх, /(х; хз/4) = сок х — 1. 29. Найти /(х; д) = ьо(х) + ф(р+ е*), если /(О; р) = у-', /(х; -е*) = х- + 1. 30. Найти и = /(х/лцд/ — х), если и = х при у = х. 31. Найти и = /(хзе; 2дзе — л), если и = ез/хз при у = х, х > О, е > О. 32. Найти и = /(х/е: х/у — хзу), если и = хне при у = х, у > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
