1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 7
Текст из файла (страница 7)
о «е — х х 33. Найти и=/(; ), если и= ~1 — — ) при д=1пх, хе ' еи — е ' х х > О. 34. Найти степень однородности или полохкительной однородности функции, заданной формулой; 1) и = т/хе + уз/х, х > О; 2) и =;/T + у'; 3) и =хчтзш д +у исоа —: 4) и = хосе+ 2хзуле+ху'е'. х У п — 1 е =~~у ь ' — е; 6) = "; 7) =ч *Ф; хуе -Ь уе1 ъ=1 и и и — 1 8) и = ~ х,х /~х,'; 9) и = ~ х,"(!пхпеь — 1пт,); п«=1 ъ=ъ ъ=1 10) ъъ Пг=ъ хч~ ' у 35.
Доказать, что всякая однородная степени а функция /(хч, хт,...ц хп), х„ф- О, представима в виде /(*;*з; — '.хп) =*:~( — ';=;-; " ') .тп'Хп' ' Хп 36. 1) Нусть С область, состоящая из всех точек плоскости, за ух. Функции нескольких переженнъж. Предел. Отображения ЗЛ исключением луча х = 2, у > О. Доказать, что функция з у44ах, если х>2, у>0, уз в остальных точках области С является локально однородной, но не однородной в области С.
2) Доказать, что в выпуклой области всякая локально однородная функция является однородной. В задачах 37 — 48 1нп 7"(х) понимается как предел по множеству, а на которол1 определена функция и = 1(х). 37. Найти: а) 1пп 1пп и; б) 14ш 1ип и; в) 1пп и; если: х — ао у — ао р — ао х' — 40 х-ао р- о 1)ихх „"; 2)и=,хр,: 3)и=р, ',; 4)ихх и хх 6) ихх хуух -Ь (х — у)х ха -~- у' 1 . 1 .
1 7) и=х+уяп —; 8) и=хяп — +уяп —; х' у х 9) и = У 18; 10) и = 108,4,(1+х+у). х х+у 38. Построить функцию и = 7'(х; у), определенную на всей плоскости, для которой: 1) 1пп 1ш47"(х;у) = 1пп 1ш47'(х:,д) = О, а 11пу ~(х;у) не сух-хор-ао у-ьохыО х-ао ществует; у а 0 2) 1пп 7'(х; у) = О, а повторные пределы 11ш 11ш 7" (х; у) и о ар- о 1пп 1пп 7"(х;у) не существуют. р- О .40 39.
Пусть функция 1' определена на множестве Е, содержащем окрестность точки (хо; уо): <х — хо~ ( 44, <у — уо~ ( ба, кроме, быть может, точек прямых х = хо и у = уо. Доказать, что если 1пп 7" = хала У ьра = А и при любом у е (уо — бз' уо + бз), у ~ уо, существует 1пп 1', то х-аха 1пц 1пп 1 = Л. Раус х — ьха 40. Найти: а) 14ш 11пу и; б) 1пп 1пп и; н) 1пп и; если; х-асс у — ьха у-ааха х — а ах у — ь ас х 1) и= а У,; 2) и=, У; 3) и=з!п 4)и=(х +у) е ' ", о6Й.
ху 41. Дана функция и = 1-~- ху 1) Найти: а) 1шу 11ш и; — хо 36 Гл. П дифференциилъное исчисление функций нескольких неременнъгх г) 1пп 1пп и. и — ) — 0,)) — )-)-ьс 2) Доказать, что 1пп и не существует. к — ) -)-сс у — )о 42. Пусть и „(х) = сое"(кп!х) = соз'"(чгп!х), т, и Е й, х Е Я. Определить, при каких значениях х верно равенство 1шъ 1пп и, „(х) = 1пп 11ш ио,о(х).
и — ъос т — )са т — )со н — )ьс 43. Найти предел функции и = Г"(х;у) в точке (О; 0) по прямой х = М, у = (Ю, а~ + Д2 ф 0; доказать, что 11ш ~(х;у) не существует, е — )О если: и — )о у — 2х х айву-Ь у е1пх 2 и= ',; 2 и= у — хе хч -Ь уе Хре 44. Найти продел функции и =,, в точко (О:0;0) по хч + уч + е2 прямой х = о1, у = Дй х = ")й оз + )22 + "~2 ф 0; доказать, что предел функции и в точка (О;0; О) не существует. 2 45.
Найти предел функции и = хзе" * по лучу х = усоз)р, у =1з1п)р, )р Е (О;2к)) 1 — 2+ж; доказать, что 1пп г" (х; у) не существует. 46. Найти предел функции и = г"(х; р) по лучу х = 1соа р, у = узш)р, )р Е (О; 2к), 1 — 2 +ос) 1) и = Ели Г)к ) и 1; 2) и = 1П ~Х+ усел )2; 3) и = е' " зш2ху; 4) и = 1п ( — + е')и). + у х )) 2 47. НайтИ ПрЕдЕЛ фуНКцИИ и = рч + — !хъ ' ф ' В тОЧ- 0 если х = 0 ко (О; 0) по кривой 2 х=о1, у=01", аз+ДзфО, тпЕ1)1, 1>0; доказать, что предел функции и в точке (О; 0) не существует.
48. Найти в точке (О; О) предел функции и = г" (х; у): .„). „) 2- 'г ° )*)+е) — )*ъ Е)1 ))) ъ+ 2) 8) и (хз + уз)2'и' 9) и = (1+ хуз))д* ч и 11 ух. Функции нескольких неуельенных. Предел. Отобрахсения Зт 10) и = (1+ ху)1П' хи 1; 11) и = (1+ху)110хсЬ~УО; 12) и = (соз |Й~ + уз) 49.
Найти; 1) 1цп, "; 2) 1ш1 "; 3) 1пп (1+ х)1дехх У1; е-,з х1-Ь 2х — 2хд — 4у х-ье х ' *-ьо у — ы уьз у — ы ,те~у ~6,е+, 4) 1пп ху зш —; 5) 11ш ху *~ ~хь+ ~~ -Ь 2(1+ ~Ъ1) — т/х1+ уу 6) 1цп ( 4(хл + ул) + 13(хз + дз) + 8хзуз 7 2(тз + уз)) у-~ОО 50. Найти функции Д(х) х Е й", и > 1, 1, '= 1,2, ...,и, для каждой из которых при х — ~ оо не существует ни конечного, ни бесконечного предела, а 1пп ~~ 1,'(х) = +со. ь=1 51. Выяснить, является ли функция ху1(хз + уз), если хз -Ь у- ф О, О. если х +у =О, и ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~2 | ~ ? ~ ? ~~ в точке (О; 0): 1) непрерывной по х; 2) непрерывной по у; 3) непрерывной. 52.
Найти значение а, при котором функция (хл — уз)/(хз + уз), если хз + уз ф О, а, если хи+уз = О, в точке (О; 0) янляется: 1) непрерывной по х; 2) непрерывной по д; 3) непрерывной по кривой у = а „сх, а ф 0; 4) непрерывной. 53. Найти значение а, при котором функция (хз — хуз)/(хз + у') если хи + у ~ 0 и= о ~ ~ ~ ~ з ~ ~ ~ ~ ~2 ~ ! ~ ~ ~ 2 ~ 2 ! ~ ~ ~ ~ ~~ 2 ? ~ ~2 2 ~ ~ <~ а, если хз -~-уз = О, в точке (О; 0) является: 1) непрерывной по прямой х = а1, у = А, аз+ ос ~ 0; 2) непрерывной. 54.
Найти значение и, при котором функция хзу?'(х~ + д~), если хе+ дз ф О, и, если ха+у' = О, в точке (О; 0) является: 1) непрерывной по прямой х = ай у =,31, аз + (дз ф 0; 2) непрерывной по кривой у = ахз; 3) непрерывной. 55. Является ли функция и = (х+ уз)/(х — дз) непрерывной на своей области определения? За Гл. д дифференциальное исчисление функций нескольких перененнъгх 56. Найти значение а, при котором функция х — е 'Де+к~, если х+ д р'. -О, 1 и= х-ьу а, если х+у=О, является непрерывной в Я . 57.
Найти значения а и Ь, при которых функция а, если хе+у" < 4, и = 9 — хх — уз — ха+уз — 4, если 4 < хз+ух < 9, Ь, если хе+уз > 9, непрерывна в Я . 58. Найти значения а и Ь, при которых функция если х +у =О, если 1<х +ух<4, если ха+уз > 4, своей области определения. и Ь, при которых функция Ь, является непрерывной на 59. Найти значения а и х,.
=О, ъ=1 и 0<~~ х,'<1, ъ=1 и ,'ъ х;>1, если и 'и х, /1п (1 — 1 х,.), если 1=1 1=1 если непрерывна в Я". 60. Доказать, что: 1) функции Гъ(хъ,.хт, ..., х„) = х„ъ = 1,2, ..., я, непрерывны в пространстве Я"; 2) если д(х), х 6 Я, непрерывна, то функции ,(1(хъ,.хз, ...,.хи) = д(х,), 1 = 1,2, ...,и, непрерывны в пространстве Я"; и 3) функция 1(хъ,.хз,...,.хи) = ~~~ (хь( непрерывна в пространстве Я"; А — — 1 4) ФУНКЦИЯ )'(Х1,ХЗ,,Хи) = ПъаХ ~Хе~ ПЕПРЕРЫВНа В ПРОСтРапетве Я".
61. Доказать, что функция Г(х) = р(х; Е), х Е Я", где Е С Я" произвольное цепустое мноячество, непрерывна в пространстве Я". 62. Найти все точки разрыва, указать точки устранимого разрыва функции двух переменных: 42. Функции нескольких нереженних. Предел. Отображения зв 4 ) и= х/т/хз + уз, если хз + уз ф О, О, если ха+уз =0:, ( [хз+ у~)/[х+ у), если х+у ф О, 5) и= 3, если т+у = 0; 1, ( хв1п[1/у), если у ф. О, яп хьв1п'у ~ [ О, если у = 0; вшн х + вш- у ' х +у ~ 1 [ха+уз — 1)яп,, „если ха+уз ~1, 10) и = 1 — хе — уе' О, если х'+уз =1; 11) е ~ если уФх~ хв — 5х+6, если у =х; < !п [1 — хе — 4уе[ ' 13) и = Я8п[1 — ]х] — 2]У[); 14) и = [т/ха +Уз]; 15) и = [у/х], здесь [1] целая часть числа 1; 16) и= < х + у, если х- + у- рациональное число, О, если хз + уз иррациональное число.
63. Найти все точки разрыва функции трех переменных: хву/[уз + вз) если уз + хз Ф 0 < (хзу/[х + ез), если х- + вз р'. -О, 2) и=~ О, если х +е =0; 3) и= хв -Ь уе —,'- ео — 2х -Ь 2е — 14 ' 1 х 4) и= 5) и=ян — '; ке-~- ее -1-2[ус — уе — у+ 1) ' уе ' х ( яп[хуе)/е, если е ф О, 6) и= 7) и= 2 в1и[уе) ' ] х, если е = 0; 8 и= атосов[хе/[хз + вз)), если х~ + вз .Ф О, я/2, если ха+ е~ = 0; з 1 е е '7", если е р': О, хв + уз + е~ р''. -2е, 9) и= хе-Ьуе-Ьее — 2е О, если е = 0 или ха+ уз+ее = 2е; 10) и = 1/[1п ]хз + уз — ез]). 64.
11айти область определения функции двух переменных 1 и = атосов хе+ уе — 1 и выяснить, является ли зта функция непрерывной на своей области определения. 40 Гл. Е Дифференциальное исчисление функций нескольких перетенньт 65. Выяснить, является ли функция 2атсьб(111(хз — у2)), если х+у ф О, т 11 если х+ у = О, непрерывной на своей области определения. 66. Доказать, что если функция Г'(2) непрерывна в точке х" б Й", с Е 24 и 1(х ) > с, то существует окрестность точки х, для всех точек которой верно неравенство Г(х) > с.
67. Доказать, что с-уровень непрерывной в йн функции есть замкнутое множество. 68. Пусть функпия Г(х) непрерывна в пространстве Я" и с 6 й. Доказать, что множество точек х, длн которых Г(х) < с, открыто в й", а множество точек х, для которых Г(х) < с, замкнуто. 69. Пусть Е с й" - замкнутое множество, функция г"(х) не- прерывна на Е и с б 24. Доказать, что множество точек х Е Е, для которых 1(х) > с, замкнуто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
