1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Теорема 1. Если функция ((х;д) дифференцируела в точке (хо; уо) и 4(хо' уо) = 4йх+ Вйу ее дифференциа.л в этой точке, то в точке (хо, уо) существуют частные производные функции г", причем дУ(хо; уо) 1 дУ(хо; уо) дх ' дд Таким образом, в каждой точке, где справедливо равенство (2), дифференциал функции д может быть вычислен по формуле г(( = — оох + — йд. дт" д~ (4) дх ду Формула (4) обобщается на случай дифференцируемой функции и переменных ((хз., хз, ..., .х„) следующим образом: г(( — г4х1 + Ихз + — ° + йхо дт" д г" дд' (б) дх~ дхз дхо Теорема 2.
Для дифферекцируемости функции ~(х), х е Я", в некоторой точке достаточно., чтобы частные производные функции д были непрерывны в этой точке. Функцию, частные производные которой непрерывны на некотором множестве, называют непрерывно дифференцируелой на этом множестве. 2. Частные производные сложной функции. Теорема 3. Пусть функции и(х;у) и и(х;у) определены в некоторой окрестности точки (хо, уо), а функция д(и;и) определена в некоторой окрестности точки (ио,ио) = (и(хо,уо);и(хо,'уо)) Если функция д(и;и) дифференцируела в точке (оо,ио) и если в точке (хо, уо) существуют производные ди де ди де дх ' дх ' ду ' ду ' Зе Гл. Д Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных то в точке (хс, ус) существуют частные производные сложной функ- ции ((и(х; у); ъ(х; у)), причем дГ дф ди дГ до дГ дР ди д) до — = — — + — —, — = — — + — —.
(6) дх ди дх до дх ' ду ди ду до ду' Аналогичные формулы при соответствующих предположени- дР ях справедливы дли частных производных — сложной функдх, ции Г(и1,иа, ...,и„), где иь -- функции переменных х,: дГ ч дф диь дхч ~ диу дх, ' у=1 3. Свойства дифференциала. 1'. Пли любых дифференцируемых функций и(х), с(х), х Е й", справедливы равенства й(ои+,Зс) = ода -~- дйс, (8) (7) где о и ф постоянные, (Ж (10) Этот вектор обозначают дгас1 7".
й(ис) = ойи+ ийо, д(-") = сд" ""' ф О 2'. Формулы (4) и (5) справедливы не только тогда, когда х и у независимые переменные, но и тогда, когда х и у нвлнютси дифференцируемыми функцинми каких-либо переменных (свойство инвариантности формы первого дифференциала). 4. Производная по направлению и градиент. Пусть в пространстве Я" задан единичный вектор о 1 = (соа Оы соз оа, ..., соа оч,), ~~' соз Оь — 1. к=1 Производной функции г" в точке (х|,ха,, х„) по напраолению вектора 1 называют предел 1пп Г(х~ -~- ь совок ..., хо -~- ь соево ) — ф(хи ..., хо) е — е-ьо Производную функции Г" по направлению вектора 1 обозначадф ют д1 ' Производную по единичному вектору 1 называют также производной по направлению (направление вектора 1).
Градиентом диффсрснцируемой функции Дхь, хз, .., .х„) называют вектор ГХ Частные производные 5. Частные производные функций, заданных неявно. Пусть функция Г(х; и), .х е Я", и е Я, равна нулю в точке (хо; ие) = = (хо;...;хо,;и ) и непрерывна в некоторой ее окрестности, частная производная Р, непрерывна в точке (х";ио) и ~е,(хо;ио) ~ О.
Тогда в некоторой окрестности точки хо существует единственная непрерывная функция и = Д(х) такая, что ио = 1(хо), удовлетворяющая уравнению Г(х; и) = О. Если, кроме того, частные производные Р",,, й = = 1,2, ..., н, непрерывны в точке (хо; ио), то в точке хо существузот все частные производные функции и = 1(х), причем ~хь (1Ц Формулы (11) можно записать в виде одной матричной формулы: (Д Д Д ) (~Р) — (~е ~е ~е ) (12) При дополнительном условии непрерывности частных производных ~е„Р",„, й=1,2, ..., и, в окрестности точки (хе;ио), функция и= = г'(х), определяемая неявно уравнением Я(х: и) = О, будет непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки хо. Пусть функции равны нулю в точке (хе; ио) = (хе; ...; хе,; ио; ...; и",„) и непрерывны в некоторой ее окрестности, а их частные производные (Г;)'и, з, Й = = 1, 2, ..., т, непрерывны в точке (хо; ие) и определитель (13) не равен нулю в точке (хо; ио).
Тогда в некоторой окрестности точки х" существует единственная система непрерывных функций и, =1з(х), и = Г",(х~), 1=1,2,...,т, удовлетворяющая системе уравнений Р',(х; и) = О, г = 1, 2, ..., т,. Если, кроме того, частные производные ®)'.л. 1 = 1, 2, ..., и, непрерывны в точке (хо; и ), то в точке хо существуют все частные производные функций и; = гз(х), г = 1, 2, ..., т, причем оа Гл. й Дифференциальное исчисление функций нескольких переме1ьных При дополнительном условии непрерывности частных производ- НЫХ фуНКцИй Ео 1 = 1,2, ..., т, В ОКрЕСтНОСтИ ТОЧКИ (ХО; и") фуНК- ции и; = Г",(х), определяемые неявно системой уравнений г,(х;и) = = О, будут непрерывно дифференцируемыми в некоторой окрестности точки хо.
Формула (12) является частным случаем (пь = 1) формулы (14). Определитель (13) называют лкобианом системы функций Е; по переменным и„ь = 1,.2, ...,1п, и обозначают д(с1, ..., Е~) д(и1,,ит) ' 6. Замена переменных. В различных вопросах математики и ее приложений часто оказывается целесообразным при рассмотрении выражений, содержащих какие-либо функции и их производные, перейти к другим независимым переменным, а иногда и к другим функциям, которые связаны с исходными переменными и функцияыи определенными соотношениями.
Целесообразность такого перехода объясняется обычно либо той ролью, которую играют новые переменные в изучаемом вопросе, либо тем, что в новых переменных данное дифференциальное выражение значительно упрощается. При замене переменных используются правила дифференцирования сложных и неявно заданных функций (см. пп, 2, 5).
7. Дифференцируемые отображения. Отображение (см. й 2, п. 4) Š— 1 я'"', Е С и'", с координатными функциями и; = фл(Х1,'ХЗ,' 44Хп), 1 = 1,2, ...,т, называют дифференцируемылс е точке хо = (хо1;хе; ...;хи), если сушествуют такие числа Аь, 1=1,2,...,'т, 1=1,2,...,п, что приращения иьте ~е ХО+ сььт, О + т1 ) у ~~О О) функций 11 в точке хо представимы в виде н / ) и ,л1, = ~~ А1уЬхь + о ~ Ьх~~, Ьхь — 1 О. (15) у=1 У=1 Если отображение 1 дифференцируемо в точке хо, т. е.
осли справедливы формулы (15), то произведение матрицы УХ Частные производные на столбец точке хо и обознача- называют дифференциалом отображения 1" в ют й1(х~). Таким образом, если верно равенство (15) Если равенства (15) справедливы в каждой точке множества Е с С й", то отображение 1 называют дифференцируемым отображением множества Е. Теорема 4. Если отображение 1: Š— > йт, Е С й", с координатными функциями и, = Ях~,.хз, '.4 ха), г = 1,2, ...,гп, дифференцируемо в точке хо = (х1:хо; ...:хо) и его дифференци л в этой точке определяется формулой (16), то в точке хо существуют частные производные функций )б причем дЛ д11 дх1 дха Аы " 41а Ап| .-:~1нн дат дат дх1 дх„ Таким образом, в каждой точке, где справедливы равенства (15), дифференциал отображения 1 может быть вычислен по формуле Для дифференцируемости отображения )'®; 1г; ...; ф ) в некоторой точке достаточно, чтобы частные производные функций Тб г = = 1,2, ..., т, были непрерывны в этой точке.
Отображение )'(~~, .1г, ..., 1 ) называют непрерывно дифференцируемым отображением множества Е С Еа, если его координатные функции непрерывно дифференцируемы на множестве Е. Матрицу < ), 1 = 1, 2, ..., тп, к = 1, 2, ..., и, составленную из д~а 1дхь )' частных производных координатных функций отображения )', называют производной отображения 1" и обозначают 1'. 60 Гл.
й Дифференциальное исчисление функций нескольких переменньт дтч дт"ь дхь ' д и д(Д, У,, ..., У.) д(х„.:,, ...,хн) Л— дфн Мп дхч дх, (18) называют якобианоль отображения 7'. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Найти частные производные функции Г(х;д) = х+ да +1п(х+ д ). а Функция определена в области да > — х. Фиксируя переменную д, находим ду — =1+ ч, д > — х. дх х-~-де ' Фиксируя переменную х, получаем дф 2д а — =2д+ „, д > — х. а дд ' х-~-уа' Пример 2.
Доказать, что функция 1(х; д) = т+ д + 1п(х+ д ) дифференцируема в точке (О;1), и найти ф(0;1). а В примере 1 найдены частные производные данной функции. В точке (О: 1) обе частные производные непрерывны. Следовательно, функция 7' дифференцируема в точке (О;1), и ее дифференциал в этой точке можно вычислить, применив формулу (4). Так как дф(0; Ц 2 дГ(0; 1) дл ' дд ф(0;1) = 2ч1х+4с1д. а Пример 3. Исследовать на дифференцируемость в точке (О;0) функцию Г(х;д), если: 1) 7'(хлд) = чзчхд; 2) 7'(х;д) = соа чзухд; 3) Дх д) = атсь8 (5 + хл!ьдз7т). 4) 7" (х. д) = атсаьн(хд + чз/хз -Ь дз): 5) Г"(х;д) = ', '", "", та+да > О, 7"(О;0) = О. (хе + чйе)'7е А 1) Найдем приращение Ь~ функции 7 в точке (О;0) и вычислим ее частные производные в этой точке, пользуясь тем, что у'(х, 0) = 0 и У(О,д) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
