1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 14
Текст из файла (страница 14)
42. 3 ру О 1)4. 41) 3) Р)2 41)~ ° 4- 34«4. 43. Найти производную функции / в точке ЛХо по направлению вектора МоМ, если: 1) /= 5х+ 10хзд+дз, Мо(1;2)4 ЛХ(5;-1); 2) / = хдззз ЛХо(312;1), ЛХ(7;5:,1); 3) / = агсзш(з/ь/ха + дз)1 ЛХо11;1,:1), М(1;5,4); 4) / — хз/(х1+ ха + ха + х„), ЛХо10; 1;1;0), ЛХ)3; 2;1;0). 44.
Найти производную функции / в точке ЛХ по данному направлению, если: 1) / = Зх" + дз + хд, ЛХ(1: 2) 3 по направлению луча, образующего с осью х угол 135'1. 72 Гл. Х. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 2) / = агстй(д/х), ЛХ(1/2; л/3/2), по направлению ннешней нормали к окружности х" + уз = 2х в точке ЛХ; 3) / = хз — Здх+ 4, ЛХ(1; 2; — 1), по направлению луча, образующего одинаковые углы со всеми координатными осями; 4) / =!п(е*+ е" + е'), ЛХ(0!О;О), по направлению луча, образующего с осями координат х, д и х углы, соответственно равные к/3, я/4 и к/3; 5) / = Фяхх, ЛХ(к/4ек/4:Ц, по направлению градиента функции /г = япд» в точке М; 6) / = хз/а -!- Уз/Ь + лв/сз, М(хо.:до',хо), по напРавленнго гРадиента функции / в точке М.
45. Найти производную функции / по направлению внешней норгиали к линии с-уровня функции / в каждой ее точке, если: 1) / = хв + у', с > 0; 2) / = !п(ха + уз). 46. Найти в точке (ал/с/2; л/с/2), с > О, производную функции /= х /а~+у /Ь по направлению внутренней нормали к линии с-уровня функции /.
47. Найти Хьг. (х; хз) для дифференцируемой функции /(х, у), удовлетворяющей условиям /(х;хв) = сопя!, /,'(х;хв) = х. 48. Найти наибольшее значение — в точке ЛХ, если: д/ д1 Ц / = хуа — 3"лув, М(1; Ц; 2) / = (х + д)/д, ЛХ(2;1); 3) / = !и хдх, ЛХ(1, — 2, — 3); 4) / = тих — т+ Зяпу — япз у+ 2х+ слйх, ЛХ(гг/4;гг/3;чг/2).
49. Найти единичный вектор 1, по направлению которого д/ д! в точке М достигает наибольшего значения, если: 1) / = х" — хд + уз, ЛХ( — 1;2); 2) / = х — Зу + лгг3ху, ЛХ(З;1); 3) / = агсьбпху+ агссовух, М(1:,0,5;0); 4) / = хх", ЛХ( — 3;2;1). 50. Найти величину градиента функции г=10-'л О10',/Рте'ь,п в точке (2,1; 2) 51.
Найти угол между градиентами функции / в точках А и В, если: 1) / = !и ~у/х~, А(1/2:,1/4), .В(1; — 1); 2) / = агав!п(хг/(х+ у)), А(1; 1), В(3;4): 3) / = х/(ха+ уз -!- лз), А(1;2; 2), В( — 3; 1:0); 4) / = вгп(ха + уз — хз), А(а; — 2а; а), В(Ь;Ь;Ь), аз+ Ьз ф О. 52. Найти угол между градиентами функций /г и /х в точке ЛХ, если; ГХ Частные производные 7з Ц (з = ' — У', 1.
= +Уз — 3 У, М(4;3); 2) 17 = Уг(х, рг = 2хг + У', ЛХ(хо1до), ха ф 0:, 3) Г", = хг — 2дг + хг, 1г = (хдх)г, ЛХ(хо; Уо; хо); 4) (з — — зги(хг + у1), Ь = соз(х1 — дг); М(хо1 уо1го11о). 53. Доказать, что угол между градиентами функций ~~ = х' + 2уг + Зг'.
6 = хг + 2уг + Згг + 4х + 5у + бг в точке М(хо,.уо., хо) стремится к нулю, если точка М удаляется в бесконечность. 54. Пусть 7'(х), х Е С с Я", --- дифференцируемая однородная функция степени о (З 2, (1)). Доказать, что частные производные функции 1 †. однородные функции степени о — 1. 55. 1) Доказать, что дифференцируемая в области С с 17о функ- ция 1 удовлетворяет в С тождеству Эйлера ~хе — = сз( тогда и л=-з дхь только тогда, когда опа локально однородная степени сз в области С (см. 3 2); 2) построить функцию, удовлетворяющую тождеству Эйлера в не- которой области, но не являющуюся однородной функцией в этой об- ласти.
56. Используя тождество Эйлера (см. 55), вычислить др др др х — +у — +х —, дх ду дх ' если: 1) ~ = , ,; 2) (' = , " ; 3) Р = (х + 2д + Зх)а; хг + уг т7хг + хг ' 4) ~ = (1пх — 1пу)из', ху /у 5) 7" = — 1пх+ хчз( —; — ), где со(и:е) диффсреццируемая функция. 57. Доказать, что функция 1(х;у), имеющая ограниченные частд7" д7" ные производные — и — в некоторой выпуклой области С, равдх дд номерке непрерывна в этой области.
58. Доказать, что осли фу нкция 7"(х:д) в некоторой области С не- прерывна по х при каждом фиксированном у и имеет ограниченную частную производную —, то эта функция непрерывна в области С. д1 дд ' 59. Пусть 1(х;д) непрерывно дифференцируемая функция в некоторой области С и — = 0 в области С. Верно ли утверждение, д7" дд что функция 1(х;у) не зависит от д н области СЧ 60.
Найти в указанной точке частныс производные функции и(х, у), заданной неявно уравнением: 74 Гл. й Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1) из+ Зхуи+ 1 = О, (О; 1); 2) е" — хуи — 2 = О, (1;0); 3) и+ !п(х+ у+ и) = О, (1; -Ц; 4) чс( уЗР— уз — агсгй(и//Р— уз) — 1 = О, (5;4). 61. Найти в указанной точке частные производные функции и(х; у), заданной неявно уравнением: 1) хз — 2уз -!- Зиз — уи+ у = О, а) (1; 1; 1/3), б) (1; 1;0); 2) хсозу+ усози+ исозх = 1, (О;1;0); 3) и — х = у сьд (и — х), .(к/4; к~4; к/2); 4) и !п(и+х) = хр, (1,1;ио), ио коРень УРаннснин из!п(1+ -!-и) = 1. ди ди 62.
Найти — и — в точке (1; — 2) для каждой дифференцидх ду руемой функции и(х;у), заданной неявно уравнением из — 4хи + -!- уз — 4 = О. 63. Найти в указанной точке дифференциал функции и(х;у), заданной неявно уравнением: 1) х + у — и = е" с, (хо; уо); 2) х — и = и !п(и/у), (1; 1). 64. Найти в указанной точке дифференциал функции и(х;у), заданной неявно уравнением: 1) из — та+у = О, а) (3; — 2;2), б) (3; — 2; — 1); 2) хз + 2уз + из Зхуи+ 2у — 3 = О, а) (1; 1; 1), б) (1; 1; — 2).
65. Найти Ни в точке (1; Ц для каждой дифференцируемой функции и(х;у), заданной неявно уравнением куи = 4агчйдхчи 66. Найти в точке (хо, уо, зо) дифференциал функций и(тцу; з), заданных уравнением из — 3(х + у)из + зз = О. 67. Для функции и(х;у;с) = хуз з найти в точке (1; 1,1) произди водную —, если: 1) з(х;у); 2) у(х; з); -- функции, заданные неявно уравнением хз + уз + зз = Зхуе. х+ с(х; у) 68. Найти с!и в точке (х;у), если и = '~, а е(х;р) у+ з(х:у) ' функция, заданная неявно уравнением «е' = хел + уе".
69. Пусть уравнением Г(х — у; у — с; с — х) = О, где Г(и!е; ш) дифференцируемая функция, определяется дифференцируемая функция з(х;чр). Найти с)с(х, 6). 70. Доказать, что если уравнением !(хз + уз + зз) = ох+ уЪ+ сс, где Г(и) дифференцируемая функция, о, Ъ, с постоянные, определяется дифференцируемая функция з(х; у), то она удовлетворяет уравнению дз де (су — Ъз) — -з- (аз — сх) — ' = Ъх — оу. да. ду рХ Частные производные 71. Доказать, что если уравнением рг'(з/у) = хз+ уз + за, где Г(и) --.
дифференцируемая функция, определяется дифференпируеман функция з(х; у), то она удовлетворяет уравнению 2 2 2 — д — ) — + 2хд — = 2хз. дх ' ду 72. Доказать, что если уравнением г"(х — аз;у — Ьз) = О, где )(и;о) --. дифференцируемап функция., а, Ь --- постоянные, определяется дифференцируемая функция з(х;у), то она удовлетворяет уравнению д дз а: ч-Ь вЂ” =1.
дх дд /х — а у — Ы 73. Доказать, что если уравнением 1(; ) = О, где з — с з — с 1(и,о) дифференцирусмая функция, а, Ь, с постоянные, определяется дифференцируеман функция з(х;у), то она удовлетворяет уравнению дз дс (х — а) — + (у — Ь) — = з — с.
дх ду зх~ х хе 74. Доказать, что если уравнением 1( †; = :...; ; — ) = О, Хп Хп Хп Хп где 1(и~,.из,...;ип) дифференцируемая функция, а постоянная, определяется диффоренцируемая фу нкция з(х~, .хз, .., .х„), то она удовлетворяет уравнению \ дз уь = аз. дхь ь=з 75. Найти в точке (1;2) частныс производные дифференцируемых функций и(х;у) и о(х; у), заданных неявно уравнениями хе"+с + 2ио = 1, усе "— — = 2х, и(1:2) = о(1;2) = О.
1+о 76. Найти в точке (1;1) дифференциалы для дифференцируемых функций и(х;у) и о(х;у)., заданных неявно условиями х = ъ'2е ~*сов —, у = ьз2е'охзш —, и(1;1) = О, о(1;1) = —. 77. Найти с1з(1; 1) функции з = 2и+ о, если и = и(х;у) и о = = о(х;у) дифференцируемые функции, заданные неявно уравне- киями и+1по=х, о — 1пи=у. 78. Найти дз(х; д) функции з = из + оз, и ~ о, если и = и(х; д) и о = о(х; д) -- дифференцируемые функции, заданные неявно у равнениями 2 з и+о = х, и -го = у. 79.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
