1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если фУнкцин Г'(х:, У) имеет в точке (хо, Уо) пРоизводные всех порядков, то ряд сс я ь=о =о дх"-'ду' называют рядом Тейлора функции 7'(х; у) в точке (хе,.до). Если ряд (10) сходится в некоторой окрестности точки (хе.,ув) к функции )(х; у), то говорят, что в этой окрестности функция Г(х; у) разлагается в ряд Тейлора. В частном случае, при хо = до = О, ряд (10) называют рядом Маклорена. Уастные производные.
Формула Тейлора ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и мер 1. Найти второй дифференциал функции и = хез, если: а) х и у функции каких-либо независимых переменных и их вторые дифференциалы с1ах и с1зу известны; б) х и у независимые переменные. а а) 1-й способ. По определению второго дифференциала получаем Н и = Й,Йхео)) = Й(еис1х + те" с1у) = = Йьее) с1х + е" с1 х + Й(хез) с1у + те" Й у = = 2ез азх с1у + хез с1у + е" с1~х + хе" сну. 2-й способ. Так как ди ди,, ди ди — =е", — =хез, —, =О, = е", д* ' ду ' дхз ' д*ду то согласно формуле (3) находим с1~и = 2е" с1хс1у+ хе" с1уз+ ел осах+ хе" аау. б) В этом случае с1зх = О, аГзу = О, и, следовательно, сз'и = 2е" ахну+ хез пуз.
а П р и м е р 2. Для каждой дифференцируемой функции и(х; у), за- данной неявно уравнением 2ха + 2уа + иа — 8хи — и+ 8 = О, (13) Найти ози(2;0). 1-й способ. В окрестности точки (2;0) уравнением определяют- ся две дифференцируемые функции; их значения в этой точке равны 1 и 16. Частные производные функции Р(т:у;и) = 2хз+ 2уз+и — 8ти — и+ 8 з ди и †, = хе, дуз Формула (10) может быть записана и в следуюшем виде: дь У(*нуе) ( )о,( ь=о а~ еаз=а Для функций трех и более переменных формула Тейлора и ряд Тейлора определяются аналогично.
Например, формула, аналогичная формуле (11), т. е. ряд Тейлора функции ~(х~,.хз; ...;ха) в точке (хИ х~з, ..., .хо,), имеет вид ы ь=о где суммирование ~ ~производится по всем целым неотрицательп ным о, таким, что ~еле = Й. 90 Гл. д дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Г„'=4у, (14) дци 4 дуе 15 соответственно равны Е,' = 4х — 8и, По формулам (11) 83 находим — =4 ди 2и — х ди -4у д:с 2и — 8х — 1 ' ду 2и — 8х — 1 Дифференцируя первое равенство по х, второе по х и у, получаем деи (2и — 8х — Ц (2 ди)дх — Ц вЂ” (2и — х) (2 ди/дх — 8) „— 4 дхе (2и — 8х — Це дои 2 ди7дх — 8 дои (2и — 8х — Ц вЂ” 2у ди/ду =4у ' „, —,= — 4 дх ду (2и — 8х — Це ' дуе (2и — 8х — Це В точке (2; 0: Ц значения найденных производных равны ди ди ди 4 ди ди 4 — =О, — =О., =О, дх ' ду ' дхе 15' дхду ' дуе 15' следовательно., если и(2; 0) = 1, то лх 4 Ихз+д 2) 15 В точке (2; 0; 16) производные равны ди ди дои 4 д" и =О, дх ' ду ' дха 15 ' дхду Поэтому, если и(2;0) = 16, то 42, 4 (1 з+фх) 15 (15) 2-й способ.
Если и(х;д) -- дифференцируемая функция, удов- летворяюп1ая уравнению (13), то при подстановке и(х;д) вместо и в это уравнение оно становитсн тождеством. Найдем дифференциал этого тождества: 4хс1х+4дс1у+ 2ис1и — 8хс1и — 8ис1х — с1и = О. (16) Аналогично найдем дифференциал тождества (16): 4ч1хэ+4с1уз+ 2ис1эи+ 21с1и)~ — 16с1ич1х — 8хч1~и — ч1~и = О. (17) В точке (2; 0; 1) равенство (16) примет вид с1и = О, а из (17) следует равенство (14).
Аналогично, в точке (2:0;16) из (16) находим с1и = 8с1х, а из (17) следует равенство (15). д дас дес дс Пример 3. Преобразовать уравнение х — д —, — — = О, ' диду ду- ду приняв за новые независимые переменные и, =,с; и = ху. л Применяя правило дифференцирования сложной функции, найдем де де ди дл до де — + — Х ду ди ду до ду до Дифференцируя обе части этого равенства по х и у, получим дуа ' диде ду дое ду ' дое' Уаспзные производные. Формула Тейлора 91 Подставляя найденные значения производных в данное уравнение, будем иметь 2 де д дх,д х — +х +х у — „— дх —,, — х — =О, до ди до доз доз до т. е. х = О, или, окончательно, и = О, я ., д'-. дзз ди до до до Пример 4.
Разлозкить по формуле Маклорена до о(рз), р = = х/хз + Уз, фУнкцию/ = аш х зЬ 2У. л 1-й способ. Функция / в точке (О;0) равна нулю. Из всех ее производных до пятого порядка включительно в точке (О;0) отличны от нуля только смешанная производная второго порядка и две смешанные производные четвертого порядка, причем д'/(О; О) 2 д /(О; О) 2 д /(О; О) дхдд ' дх'дд ' дхдзу Согласно формуле (6), положив в ней пз = 5, хо = уо = О, получаем = — Сз2ту+ — (Саз( — 2)тзу+ Сзз8хуз) + о(ра) = = 2ху — — х у+ — ху + о(р ). 1,з 4,,з е 3 3 2-й способ. Воспользуемся известными разложениями функций яп х и зЬ 2у по формуле Маклорена.
Тогда получим / = (х — — + о(х~)) (2у + — + о(у~)) = = 2хд — — х у+ — ху + о(р ). А 3, 4, з 5 3 3 ЗАДАЧИ 1. Найти частные производные второго порядка функции /(х; д), если: 1) /=ту(хе+уз — 3); 2) /=е"з; 3) /= агс18 У:, 4) /=х".
1 — ху ' 2. Вычислить частные производные второго порядка функ- ции /(х;у) в заданной точке: 1) / = ', (1;0): 2) У = д~(1 — ел). (О;1). 3) / = 1п(ха+У), (О;1); 4) / = уып(у/х), (2;зг): 5) з" = соз(ху — соя д), (О;зг/2), :6) / = агст8(х/у), (1;1р 7) / = вгсап(х/~/х' + д'), (1: — 1); 8) / = (ху)зме (1. 1) 3. Выяснить, существуют ли в точке (О; О) частные производные второго порядка функции ху/(хз + уа), если х' + уз ~ О, О, если ха+ у = О. з 92 Гл. П дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 4.
Вычислить в точке (О;0) частные производные ( ху(хз — чйз)/(х~+ да), если хз+ у ф О, О, если х" + уз = О. 5. ПУсть фУнкциЯ 1 и ее пРоизвоДные Г,', („', Гии опРеделены в некоторой окрестности точки (хо, уе) и ~"„непрерывна в этой точке. Доказать, что в точке (хо,уо) сушествует производная ~„"л, причем Л~, (хе'Уо) = 1,"и(хо'Уо).
6. Найти частные производные нторого порядка функции Г(х; у; х), если: 1) ~ = х(1+уз з); 2) ( = яп(х+ д+ х). 7. Вычислить частные производные второго порядка функции 1(х; у; з) в заданной точке: 1) )' 1п(хз ! Уз ! Зз) (1 1, 1) 2) У х„- (е 1 1) деф 8. Найти частную производную ,, если: дудхе ' 1) ф = "; 2) ~ =!п(х+д); 3) ('=яп(х+созд): х+ 2у 4) ( = соа(ези — 2х). д»ф 9.
Найти частную производную , если: дедуд» ' 1) У =,»схдззз. 2) 1 хае;„у ! Уз а!пх Ьхзз!пх. 3) 1 еки», х+у+» — ху» 1 — ху — у — »х д»У 10. Найти частную производную функции дх» дх. дхч дхч 1=!п 1 др чф 11. Найти смешанную производную, если: дхр дуе ' 1) !' = (х — а)Р(у — !ч)е, а,б Е !ч; 2) й' = (х+ у)/(х — у),: 3) 4'= (ха+ уз)е*чи! 4) 1 = 1п(хкуи). др-че 12.
Вычислить в точке (О; 0), если 1 = е* аш у. дхр дуо дР'ч»ф 13. Найти частную производную функции дхр дуч д»' 1 = хчдхе*~ "е . 14. Найти второй дифференциал функции 1(х,д), если: 1) 1' = х(1+ д); 2) Г" = х яп' д; 3) Г' = (1/У)с*и; 4) Г" = д!пх; 5) Г" = !п(хз + уз); Уаспзные производные. Формула Тейлора 6) 7" = агсяпхд. 15. Найти второй дифференциал функции Т"(х;д) в указанной точке; 1) 7" = ел", (1; — 1); 2) 7' = е' зо, (1;1); 3) з = (х/зд)ез, (О;1); 4) 7' = хз сЬ Ззд — дз, (О; 0); 5) 7' = х соа хд, (и/2: — 1), б) ~ = 4ра+ егпа(х — р), (О:О); 7) У = (2х+ д) 1п(хзсд), (1;1); 8) 7" = е"'а',. (2;1); 9) 7" = ее" ""з, (О; 0); 10) (=1п "' "',, (1;0); 11) (= агссб(ха — 2д), (1;0); 2 -Ь р -~- хз ' 12) 7' = р агсгд , (О; 0); 13) 7' = (х + д)еи, (1; 0); 1-Ь 2р ' 14) ~ = (япх)'""з (и/б.п/2) 16. Найти множество точек плоскости, длн которых верно нера- венство с1а7 > О, если: 1) Т" = ха+ да — хд — 7д, 2) 7" = хззхз+ д-'; 3) )' = соа(х+ р).
17. Найти второй дифференциал функции 7" (х; р, з), если: 1) 7" = хд + дз + х ; 2) 1 = 1п(т + д + з). 18. Найти в точке (О; 0; 0) второй дифференциал функпии 1, если: 1) 7' = х'+ 2дз + Зез — 2хд+ 4х + 2длб 2) 7 = (1+ х) (1+ р)з(1+ а) з., о, Д, 'у 6 Й. 19. Найти в точке (1, 1; 1) второй дифференциал функции 7', если: 1) 1 = г'(ха + да). 2) 1 = (х1д)'7 20. Найти в точке (1;1;...;1) второй дифференциал функции п 7=1гз~ х, 21.
Найти с1з7", если: 1) 7'= хзд; 2) 7" = те+ да+ Зхд(д — х); 3) 7" = яп(ха+ д ); 4) г' = хрз. 22. Найти в указанной точке с1зТ', если: 1) 7" = е» ", (О;1); 2) 7' = яп(2х+д), (О;зг);. 3) г' = х сое р + д яп х, (О: О): 4) 7' = хл + хдз + дхз + ехз, (О; 1; 2). 23. Найти с1л7", если: 1) 7' = соа(х+ д); 2) ~ = 1п(хз1гизз). 24.
Найти в точке (зг; 0) дифференциал шестого порядка функции 7" = соахсЬд. 25. Найти дифференциал порядка и функции г", если: 1) У е *чьи. 2) г =1п(х+д+з) 26. Доказать, что если Ра(х;д;е) однородный многочлен степени пи то с1" Р„(х: р; з) = и'. Р„(с1х;с1р; сЬ). 94 Гл. и Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Найти )14(, если: 1) (' = хл+ 4хзу+ 2хрлг — 3хрхл; 2) Х = х' + ох'у — х'у + х' + хх'. 27. Пусть 1 дважды дифференцируемая функция.
Найти второй дифференциал функции )р, если: 1) )р(х, у) = )" (и), и = х+ у; 2) )р(х; у) = Г(и), и = траха + уг; 3) )р(х; у; х) = ф(и), и = хух; 4) )р(х,у) = 1(и;о;и)), и = хе+ у', о = хх — ус„ю = 2ху. 28. 1) Доказать, что двумерному уравнению Лапласа )ли= —., + —,, =О д" и дои дхе дуе удовлетворяют следуюп)ие функции: а) и = е'(х сову — уяьпу); б) и = хсйхсйпу+уяпхсоау; ) = ч)ь)*); ) "=1 , '= чл* — )' ч)ь — ь)'. 2) Найти функцию )р(1), если известно, что функция и = )'х -)-у = со( ) удовлетворяет уравнению Лапласа. 3) Доказать, что если функция и(х;у) удовлетворяет уравнению Лапласа, то функции и=и, хежуе ' хежре) = (.-*е также удовлетворяет этому уравнению. 29. Доказать, что: 1) функция и = 1)х, х = (х — а)л + (у — 6)л + (х — с)х удовлетворяет трехмерному уравнению Лапласа ди ди ди Ьи= —,, + —,+ —, =0:, дх др" дх" 2) если функция и(хц у: х) удовлетворяет уравнению Лапласа, то функция о= — и) — „: —,,; —,), г= х +у-+х', с (, се ' се ' се,)' также удовлетворяет этому ураннению, 3) если функции и)(х;у;х), из(х;у;х) удовлетворяют уравнению Лапласа, то функция и = и) + (хе+ уз+ел)иг удовлетворяет бигармоническому уравнению Ь()ли) = — + 2, „+ — = О.
дх дх- дуе ду 30. Доказать, что функция ,и 1(хо — ~ п ) 2 г ~(хь аь) к=1 Уастные производные. Формула Тейлора 95 удовлетворяет и-мерному уравнению Лапласа и ь=ь 31. Доказать, что функция С~с "+Се'" и= ° ° ° = С Иг з' ~ Р, з, с,, с, « .. у~ . ° з ° ззнению Гельмгольца — „+ — + —,, =Йа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
