1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 19
Текст из файла (страница 19)
73. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (О, 0:, 1) - (ев, е=ат'+е'ец-а', еу-г Х(х: у) = 1п(ху+ г ). 402 Гл. 6 Дифференциальное исчисление фуннчиа неснолъних переменных 74. Разложить по формуле Маклорена до о(рл), р = Ь))ха+уз, функцию Г', если: 1) У= 1 2)У= 'Т вЂ” — ъъ ))4= * у; (1 — х)(1 — д) 4) у" = з1п х))соз д; 5) у = е* з)п д; 6) г" = е-" 1п(1 + д). 75.
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (О; 2) )р'), р = чсл + )у - ))т ) у С 1) ( = х,)д:, 2) ( = аш х 1п д. 76. Разложить по формуле Маклорена до о(р""), р = т/хе+у~, гп Е И, функцию У= х — д (1 — хН1 — д) ' 77. Разложить по формуле Маклорена до о(рхе'), р = ~/ха+у~, н,ъс 4=1)ьт:*г-ю'.
78. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; — 1) )б )) с=чу — Т)' -';)у '-))', н, фу 4 79. Разло)кить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) ° ° )съ), ~=,Т:6'~(~-~Т', Фс- ° );ъ), ))))=), '- данную неявно уравнением: 1) из — 2хи+ д = О: 2) из + 3ди — 4:г, = О; 3) ил+ ди — хд — хз = О. 80. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (2е; 1) до о(р), р= , функцию и(х; д), заданную неявно: и(1+ 1п(и))д)) = х, и(2е; 1) = е. 81. Пусть функция Г'(х:д) в области С имеет непрерывные производные до 2-го порядка включительно. Разложить по формуле Маклорена до о(62) функцию 6 илт Г 6 иЗт ф(х -)- 6; д) + ф (х — —; у + — 6) 4- ф ( х — —; д — — 6) Р(6) ' ', 2 2 ) (, 2' 2 ) 3 (х;д) Е С. 82. Пусть функция т"(х;д) в области С имеет непрерывные частные производные до пятого порядка включительно.
Разложить по формуле Маклорена до о(6а) функцию Е(6)— ф(х + 6; у) -)- ф(х; у + 6) + ф(х — 6; у) + ф(х; у — 6) 4 (х;д) ЕС. 83. Пусть функция Г"(х:д) непрерывна вместе со своими частпыл)и производными до порядка гп включительно в окрестности точки (хе,до), и пусть л'„„(х:,д) .-- ее многочлен Тейлора в этой точке. Доказать, что если 1,)(х;д) какой-либо многочлен степени не 44. Уаезпные производные. Формула Тейлора 100 выше зп такой, что Пх; д) = Фх; д) + о(р'), й > т, р = (х — хе)з + (д — до)з -1 О, то Я(х; р) = Р (х; у).
84. Разложить в ряд Маклорена функцию 1 и указать множество точек сходимости ряда, если: 1) (' =; 2) ( = сова((х — у) /2); 3) ( = яп х яп у; 1жх — д' 4) 1' = с*сову; 5) 1' = соахсЬр; 6) 1 = 1п(1+х Ч-у); з)у=оее*ту+*з: з)х= "з((в — зна+ зо. 85. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки (хо, уо) функцию 1 и указать множество точек сходимости ряда, если: 1) (=х(у, ха =уо = 1' 2) (=1/(2 — х — 2у+ту), хо =1 до =О' 3) ~ = с* ьо, то = до = 2:, 4) ( = Яп(х + д), хо = О, Уо = т(2; 5) ( = Яп(т+ Уз), хо = л/2, Уо = О; 6) ~ = 1п(2 — х + 2у — ху), хо = до = 1; 7) ( = 1п 'У ", хо = О; уо = 1; 8) ( = 1п т 1п р, хо = уо = 1. х — у 86.
Пусть функция ('(х;у) в области С имеет производные всех порядков. Разложить в ряд Маклорена функцию Г(и;и) = 1(х+ и;у+и) — 1(х+ и;у) — Д(х; у+ о) + ((х;у), (х;у) 6С. ОТВЕТЫ 1. 1) — ",, = 12хад, " = 4(хз + уз) — 3, —" = 12хуз; 2) — '„= узел", " = (1+ хд)е™, — ", = хзехо; д- К дха ' дх ду дуа д' 1 2х. дз ( д-')' 2у дха (1 зе хз)а ' даду ' дуа (1+ иа)е ' 4) —,„= у(у — 1)хо, = (1 Ч- д1пх)х", —,, = х" 1п х. даз, — 3 даз — даз, а дуа 2.1) — а =О, ~ =1, — ~ =2; 3) — „=2, =О, —,= — 1; дзУ да ( дз з дхе ' дх ду ' дуз дзт п.з д-'1 пе дзт и дха 16' дхду 8 ' дуа 4' дзт па дат и дзт 104 Гл.
г. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1) =0 =2ухз =Згсз г =2ххз дхе ' дхду ' дхдх ' ' дуг ' дуд Охух, —,, = 6ху х; д-'У : де 2) — в1п(х + у + г). дф дгф дф 2 дф дф дгф 4 дха дуа дхг 9' дхду дхдх дуде 9' д'7. дг): д-'У д-'У д'У д-'ф дхе дхе дх дх ' дуе ду дх ' дх ду 8. 1) — 4; 2) 2(х+ у) з, х+у > 0; 3) с5пусов(х+ сову); 4) 8ег" вгп(ез" — 2Х). 9. 1) — с У: 2) 0; 3) (1+Зхух+хгугхг)с'"', 4) О. 48(хг — хг) (хг — хг) 6 г 2 10.
' — —, гле х' = (хг — хз)- + (хг — хл) сг сг ' 2( — 1)Р(р + д — Ц! (дх + ру) 3) (хз + у + 2рх + 2с7у + рз — р+ Уг — д)ее4и; 4) О. 12. в!п(длсс2). 13. (х + р)(у+ д)(х+ с!ехн ун'. 14. 1) 2йхйу; 2) 2вьп2уйхйу+2хсоь2уйуг; 3) ехи(уйхз+2хс!Хйу+ У, У йу')); уг у й г 2 „(у — хе)(йхг — йу ) — 4ху йх йу 4 — —, йх + — йхйу; 5) 2 г 4 г)г ху йх ж 2йхйу ж х Уйу (1 г )гггг 15. 1) е г(йхз -!-с(уг) 2) е(6йхг — 8йхс(у+Зйуз); 3) — 2с!Хйу; 2(йхг йуз) 5) 2(й;сг — ггйхйу); 6) 2(йх — 2йхйу+ 5йу ):, 7) (йх — йу)г 8) 2(1+ !и 2) с(х с!у + 2!пз 2 с(уг 9) 2 йх йу + ггзйу-', 10) — — (7йхг+4с!хс(у+йуг); 11) — с(хз -!-4йхйу — 2йу', 9 12) 2йхйу; 13) 2(йхйу+й1уг); 14) — 2чсЗйхйу+!гг~2йгуз. 16. 1) Вся плоскость,.
2) вся плоскость, за исключением точки (О;0); 3) счетное множество полос х+ хсс2+ 2ХИ ( у < — х+ ЗХ,С2 4- 4-2лй, 1 6 Е. з 17. 1) 2(йхйу+йуйх+йхйг); 2) — ( У ) 4З. ссаепзные производные. Формула Тейлора 100 18. 1) 6йгг — 4дхду+ 8йхдг+ 4дуйг; 2) о(о Цдхг, д(Д 1) ддг з .,(7 1) дгг+ +2одйхйу+ 2с27дддг+ 2сс7йхдг. 19. 1) (1/2) йхг+ (1/2) йуг + 2йхду — йхсЬ вЂ” дусЬ: 2) 2(йуг — с1хйу+ дуде — йхдг). п 20. —, (и — 2) ~дхг — 4 ~ йх, йх ~=1 из=си<а 21. 1) 6йхзйд; 2) 6(дхз+ддз+Зйхйзу(ду — дх)) 3) — 8аоз(хг + уг)(хдх+ уду)з— 12 з1сз(хг 1 уг)(х да. + у с/у)(дзг + ду ).
4) 6дхдусЬ. 22 1) 6дхгйзу. 2) (2дт+йу)з 3) — Здхдзуг. 4) 6(с1х дуг + дудел + сЬда:2). 23. 1) соа(х+ д)(дх+ йу)4; 2) 2(йх'з'хз + дуз/уз -~- сЬз/гз). 24. с/х' — 1оедх'дд'+1адзадуз — дд'. 25 1) еизЗ еа(а йх + 5ду) и 2) (дх + йу + йг)и (х Р у 1. г)и 26. 1) 24(дхз+ 4дхз дд+ 2сЬ дуг сЬ вЂ” 3йх дусЬг); 2) 24(дхз+ 5йхзйд+ да:сЬз).
27. Ц /о( )(дх+ д )а; 2) /о(и) и ', + /'(и) хз З- уз (хг+ уз) /хз+ уз 3) /о(и)(ухс1х+ гхс1д+ худг)г+ +2/'(и) (г дх ду + х ду сЬ + у дг дх); 4) 4/ "и (х дх + у ду) г + 4/„'',(х дх — д йу) г + 4/,",,а (у дх + х йу) г+ + 8/о (хгйхг — угдуг) + 8/о (х йт + у ду) (у йх + х ду) + 8/о (х йх— — уду)(д дх+ хйу) + 2Я(йз г + йу~) + 2/,'(дхг — дуг) + 4Д, дх ду. 28. 2) А/1+ В.
35. 2) а) у+ (хз — уз)/3, б) япх+ у+ху(х+ у)/2. 37 х/2 — (х — 1)з/4-~-(х+1)з/108 40 2) 0 дхз дуз 15 ' дх ду дхз дхдд дуа (1 — и)з ' 2) —,= ' =О, дзи дзи дги 2(х — а)(у+ 1)(хе+ уг+ иа — 2хи) дхз дх ду ' дуз (хе -~- уз -~- уз — 2хи — у)з 43. 1) — — д~з + 206 йхду — 306 дуг; 2) — — (д~г — 7йх йу+ дуг); 3) — 4дхг — 20 йхйу+ 26дс6 4) — 2йх йу+ 3 дуг; 106 Гл. д дифдзеренииальное исчисление фунниий неснольних переменных 5) 66хд+64хй,+24зух 6) --йхбу- -дух.
2 3 44. 1) ., „Дуз — Ьз)с)хз — 2хуйхс)зу+ (х' — ах) с1уз). 3), цу и — х) с1хз — 21уиз — 1и — 1) 1х + у) ) <Ь с)у+ 1х ь у узз)з + 1уи — 1х + 2у)их + 21х + у)и) Йу~) 4) — (у дх — х с1у)х 1хз — уз)з ' у и Я.') Лзз — 2ЛзЛЛз' -ь з'Лз') Л'~) — 2и(хЛз' -ь уЯИЛз)' Жз + УЛ~)з УЛз) (Лзз ь 2Лзз -ь Л ) — 2Уз + Л')ФЛзз -ь Лзз) ж Уз -ь Л') Лзз ц сзЛз) Лз — 2ЛЛзЛз+ счЛ~) Л с ~, л )х. 2) Л) Лз ЛЛЛз + У1) Л'-' ( с)х хс), )х ( Лз'+УЛ~)з 49.
13/121. 50. сззи = — аае = — 18/зсх)с)хну. дз, ди дзи 51.1) — ь+ — — + — „—,, =0; 2) зх —,, =0; 3) —, =О. ди де диде де ' диз ди 4) — + —,+ае- х=О; 5) — „+2 — =0; 6) 2и диз доз ' доз ди ' ди де де ' 10) 1иь + е ) — „= 2и —. х х дзх дх 53. Ц х = е хзе ьзх~Л(х + у) + дну+ Зх); 2) х = Ду — хх) + д(зу+ +хх), где Л и д произвольные, дважды дифференцируемыефункции. з з 56.
1) + 1с — аб)ш = 0; 2) зо(,, +,) =( — )+( — ). д' 58. х = хЛ(х+ у) -Ь уд1х+ у), где Л и д произвольные, дважды дифференцируемые функции. 44. е7аепгные производные. Формула Тейлора 1О7 дзи~ дзиз д"зо дгю дзи дзго дга диг дог дзз дие дог дгз до з ди 2ди 1 д / ди1 1 ди 62. — „+ — — +,, —,(соотг — )+ а „,, =О. дге г дг гг сов зу дФ (, ' дФ ) гз созе Ф дззз и дз дг 63.
~~~ ., =О. 64. (1+из), +2ио +(1+из),, =О. ду,'-', диз ди до доа 65. Ц Д(х;д) = 1 — (х+ 2)г + 2(х+ 2)(у — Ц+ 3(р — Цг; 2) 1(х; у) = 2(х — Цз — (х — Ц(у + 2) — (у + 2)г; 3) г"(х' у) = — 9 + 9(х — Ц вЂ” 21(у — 2) + 3(х — Цг + 3(х — Ц (у 2) 12(д 2)з + (х Цз 2(у 2)з. 4) 1(х; д) = 6 + 3(х — 2) + (у + Ц + (х — 2)г — (х — 2)(д + Ц + (р + 4 Цз+ (х 2)з 66. 1(х;у) = ахо+ 2Ьхоуо+ еда+ 2(ало+ Ьуо)(х — хо) + 2(Ьхо+ + сро)(у — '.Уо) + а(х — хо)з + 2Ь(з' — хо)(у — Уо) + с(д — Уо) 67. Ц ~(х; у: з) = (х — Цз + (д — Ца + (х + 2)г + 2(х — Ц(у — Ц + +2(х — Ц(з + 2) + 2(у — Ц(з + 2); 2) Дх; у; з) = 2 — 4(у — Ц + 7(з — 2) + хз + 3(з — 2)' — 2(у — Ц х х(" — 2); 3) г'(х; у:, з) = 6 + 6(х — Ц + 3(у — 2) + 2(з — 3) + 3(х — Ц(у — 2) + + 2(х — Ц(з — 3) + (у — 2)(з — 3) + (х — Ц(у — 2)(з — 3); 4) Д(х; у; з) = 2 + 3(х — Ц вЂ” Зу + 3(з — Ц + 3(х — Цз + 3(з — Цг— — 3(х — Цу — Зд(з — Ц + (х — Цз + уз + (х — Цз — 3(х — Цу(з — Ц.
68 Ц 1 — (х — 2) + (у — Ц + (х — 2)г — 2(х — 2)(у — Ц + (д — Цз 2) 2 + — (х — 2) + — (у — 2) — — (х — 2)з — — (х — 2)(д — 2) — — х 1 1 2 1 4 4 б4 32 б4 х (у — 2)'-; и 1 1 1 з 3) — 4- — (х — Ц вЂ” — (у — Ц вЂ” — (х — Ц -~- — (р — 1)-: 4 2 2 4 4 1 4) зшхосозуо -1- созхосозуо(х — хо) — з1пхозбпдо(у — до) — — ге 2 1 х зш хо соз уо(х — хо) '- — соз хо сбп уо (х — хоДу — уо) — — здп хо соз уо х 2 ге(у — до)'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
