1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 20
Текст из файла (страница 20)
г 69. 1(х;д) = х+ ™ + о(рз)., р — з О; гг(х;р) = — — у(2+ ду)(1+ 2 1б + ду) згз, О < В < 1. з 7О.Ц 1(бу) = '+ '(х ")+ '(у )+ '(, ) + ', 2 2 4 2 * 4 4 4 2 Х (х )(у ) 1У ) +О(р ) р + О зз(х д): — — Х !08 Гл. !. Дифференциальное исчисление фуннций неснолъних переменных 72. 1 = ху ф уз -!- зх + о(рг). 73. Г = 2(з — Ц вЂ” (з — Цг+ ху -!-о(рг).
Ц у 1+,+,, +, г+, +уз+, з+ г +, г+уз+ з+ +хзу-!- хгу- -~- ху + уз+ о(р~); 2) ( = 1 (хг + Уг) (хл + 2хгуг + Уз) + о(рз); г г ! л 3) 1 = 1 — — (хг + уг) + — (х" + бхг уг + у ) + о(р ): 4) г = х — — + — + о(рл); 6,2 3 3 з 5) г =у+ту+ — — — ' — — + — '' +о(р ); ху у ху дх 2 6 6 6 6) ~=д+2ху — — — хд +2ху+ — + — ху — ху + — хд— Уг,гу 4згг2з 2 ' 3 3 3 — — + о(р ).
— 2 4 +о(р ):, 16 х х(у — 2) х(у — 2) 2 4 8 х ( (х — — ) с.он Г, з!и т! + 3 (х — — ) (у — — ) з!и с сое т! + 3 (х — — ) х х (у — — ) соз~созт!+ (д — — ) з!п~созт!), где С = — +В(х — — ), 4) У= — +в(у- -), о<в<1; 4 2) г'(т;у) = 1+ (х — Ц+ (х — Ц(у — Ц + о(рг), р -~ О:, тг(х; у) = 1 о( з у(0 — Ц(0 — 2) г( ) 20 — 1-!-(Уг — 0)!тт8 6г +3(х Ц(тт Цг и + " ! (У Цз!из~) „де р 1+В(х Ц У=1+в(д — Ц, о<в<1.
71. Ц й(х; д) = 1 — (хг — уг)т2+ о(рг): 2) т(х; у) = ггтт4+ (х — у)тт2 — (хг — уг)/4+ о(рг); ох+ оу ст(Зо — 4)х' — 2о!Зху+ В(З — 4)у' 4 32 + +о(р ); 4) г(т; у) = — + 2(х — Ц + — (у — 3) — 3(х — Ц вЂ” — (у — 3) — (т— 7Г 1 г 1 г 4 3 4 — Ц(у — 3) + о(р ); 5) ((х;у) = — — + + ъ'3(у — Ц вЂ” — — (у — Ц и х -~-1 (*+ Цг чтЗ 6 тЗ 6чтЗ 2 — — (х + 1ИУ вЂ” Ц + о(рг); чтЗ 6) )'(х;у) = (2 — 2чт3)(х — — ) — (у — Ц вЂ” — (х — Ц вЂ” (у — Ц + !1 2 г г 2) ' АЗ +2(т )(д Ц+о(рг).
1 7) й'(х;у) = -(у — Ц+ 2(х — Ц + — (у — Цг — 2(х — Ц(у — Ц+ + о(р ). Уаспгныв производные. Формула Тейлора 109 — Ъ 2 2 х(у — 2)г хг(у — 2) 2 6 8 12 + + о(р ) т 24 78. ( = ~ ~(х — уй) + о(р ). 1=1 77. ( = 1+ ~ ('" ')" ~Сгхай-2гу21+ о(раггг). й=1 =О т й 78. У= ~ — ', ~сй(, — Цй-'(у+юг+ (р ). й=о з=о 70. 1) и, = 1+ 2(х — Ц вЂ” (д — 1) — 8(х — 1)1+ 10(х — 1)(у — 1)— — 3 (у — 1)2 + о(рз); 2) и = 1 + — (х — 1) — — (д — 1) — — (х — 1) + — (у — 1)" + о(р ): 2 1 2 2 1 3 2 ' 9 8 3) и = 1 + (х — 1) + — (у — 1) — †(х — 1)(у — 1) + — (у — 1) + 1 1 2 4 8 64 + о(ра).
80. и = е+ — (х — 2е) + — (у — 1) — — (х — 2е) + — (х — 2е)(д— 1 е 1 2 2 3 3 54е 27 — 1) — 2е (у — 1)2 + о(рз). 27 81. Е(Ь) = Д(х;у) + — ( (,'У) + (,' ) )112+ о(62). + 1 ( У(* д) + П* у) ') на + 1 ( 1(а у) 41, дхг дуг ) ' 481 дх' з(х д) ~ил+ (из) 84. 1) 1 = 1+ 2~ ~( — 1)1Сйхй 'д', ~х — д~ < 1; 1=1 =О гл 2й 2) (=1+ -'~~ ( ') Сз х'й-1 ' Я2. (21) ~ 2й У й=1 =а 3) у ~~~ ( ) ~~г С2г-~-1 21.— 21 — ! 21-~-1 о2.
( йу з' 21. й=1 1=0 аа аг 4) ( ~; ~;" (-1) ' ха, 2а. 172. о1! (2а )! й=а а -~-2аг=й 1 аг ( ) 2аг 2аг 772. (2ог)! (2а )! 1=02аг-~-2аг=й ( 1)й-г 6) (=~ ( ') ~С,'хй-'д', -1< -+у<1; г=о 110 Гл. 1. Дифференциальное исчисление фунниий неснолъних переменных 7) Г' = ~~Сс~гС1~„'х'уь ', (х~ < 1, ~у( < 1: 1=О =-О 8) ~ = ~~ (хг"е' — угь' ')., /х! < 1, !у! < 1.
1=о 85. 1) 1 = 1-Ь ~( — 1)ь((у — 1)ь -Ь (х — 1)(у — 1)ь 1, 0 < у < 2; 1=1 2) (=~~~ ~ ~(х — 1)" су', 0<х<2, ~у~<1; 1=О =О 8) с 4 ~,~ ~, Со ( 2)ь — ~( 2)1 17г Ь=Е 1=0 сс Ь 21 С;" (- ) С;-С*,,г.-*(1 1с=е 1=0 сс ь гг 21 — 1 ~( 1) ~ ~ (, ~) уси 1=О ' =-О сс ( 1)1 6) ф = 1п 2 -~ — ((х — 1)" + „ (у — 1)"), 0 < х < 2, -1<у<8; ео 1с — 1 7) ( = ~ — ~( — 1)1С~сх" '(у — 1)', — 1 < х < 1, О < у < 2, х<у<х+2; 8) 1 = ~~ ~~~ (х — 1)о'(у — 1)е', суммирование ~~ произсп ог 1=1 водится по всем натуральным сс1 и схг, таким, что сс1+ ог = Й; 0<х<2, 0<у<2.
ж Ь вЂ” 1 Оьф( ь=г 1=1 8 5. Экстремумы функций СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Локальный экстремум. Точку хо называют точкой локального максимума функпии и = 7(х), х Е Й", если суп1ествует окрестность точки хо, для всех точек х которой перно неравенство У(х) < У(х") й5. Экстремумы функций Если для всех х у'=хо из некоторой окрестности точки хо верно строгое неравенство 1(„) < 1(, о) то точку хо называют точкой строгого локального макс мума функции 1(х). Аналогично, если в некоторой окрестности точки хо выполняется неравенство 1(х) > 1(х ), то точку хо называют точкой локального минимума; если для всех х ф хо из некоторой окрестности точки хо верно неравенство Пх) > Пх') то точку хо называют точкой строгого локального минимулса.
Для краткости слово "локальный" часто опускают и пишут просто "точка минимума" или "точка строгого максимума". Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума, а значения функции в этих точках ее экстремумами. Например, длл функций и = хг + уг и и = ~х — у~ точка (О; О) является точкой минимума, причем для первой функции точкой строгого минимума., а для второй — нестрогого. Необходимые условия существования экстремума.
Если точка х" = (хо; хо; ...; хо) является точкой экстремума функции и = 1(хс,хг, ...,х„), то либо С (ха) = О, либо 1,' (хо) не существует, 1'. = 1,2, ...,п. Точки, в которых функцил определена, а ее частные производные равны нулю или не существуют, называ1от критическими точками функции. Например, длн функции и = 1(х;у) = ~у~ все точки оси х являютсл критическими, так как в каждой ее точке функция определена, частная производная Д = О, а частнан производнан ~„' не существует.
Точки экстремума функции следует искать толысо среди ее критических точек. Если у функции и = 1(хс,х11 ,х,) н точке экстремума существуют частные производные по всем переменным, то все они равны нулю в этой точке: — =О, (1) — =О,..., — =0 Эхе Эхе Условия (1) не являются достаточными условиями существования экстремума. Например, для функции и = ху они выполняются в начале координат, однако эта точка не является точкой экстремул1а функции.
Точки, координаты которых удовлетворнют системе уравнений (1), называют стационарнь1ми точками функции и. Точки экстремума дифференцирусмой функции следует искать только среди ее стационарных точек. 112 Гл. |. Дифференниалъное исчисление функчий нескольких перелкенных Достаточные условия строгого экстремума. Пусть функция и = Г" (х), х Е Я", дважды непрерывно дифференцируема в окрестности стационарной точки хо. Тогда точка х"; 1) является точкой строгого минимума функции, если д2У(хо) > 0 п пРичем Равенство имеет место только пРи Условии ~л| 41х, = 0; 2 т=1 2) является точкой строгого максим|ума функции, если с(2У(хо) ( 0 пРичен| Равенство имеет место только пРи Условии 22 дх, = 0; 2 ю=-1 3) не является точкой экстремума, если 4421(х~) принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Эти условия не явлнютсн необходимыми. Например, функция и = = х4 + у4 имеет в точке (О; 0) строгий минимум, хотя условие 1) не выполнено, так как 412и(0;0) = 0 при любых дх и ду. Условия 1), 2), 3) означают соответственно, что квадратичная относительно дифференциалов независимых переменных дх, форма (2) |,=1 положительно определенная, отрицательно определенная, неопределенная. Согласно критерию Сильвестра (см., например, [20)), условие 1) выполняется тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы дчг" (хе) дчт(хе) дх| дх1дхе (3) длг"(хе) дет'(хе) дх1дхн д*н квадратичной формы (2) положительны:, условие 2) выполняется тогда и только тогда, когда главные миноры нечетного порндка отрицательны, а четного порядка положительны. В частном случае функции двух переменных достаточные условия строгого экстремума можно сформулировать следующим образом.
Пусть функция и = Г(х; у) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности стационарной точки (хе, уо). Тогда точка (хо, .до): 1) является точкой строгого минимума, если в этой точке д2ф д| ( дхе дхду д'т" д'~ дх ду дуе Ь1= —,, >О, длг" дхе >О; уо. Экстремумы функций 2) является точкой строгого максимума, если в этой точке ыз дет' дхе д-' г" дх ду д" ф дх ду дет' ду' Ьг — — —, <О, д'г дхг >О; 3) не является точкой экстремума, если в этой точке дет" д'г" дхг дхду д'т" д' г" дх ду гЭуе <О; удаетсн разрешить относительно каких-то т переменных, например, относительно переменных хв ...,хев т. о.
хг = уг(х ег,,х,), хг — уг(хпеы " хп) хт — ут (хтжг ', ..., хн), 8 Под ред. ггкд.иудрнедеее, д.а 2. Условный экстремум. Пусть на открытом множестве С С С йн заданы функции 1(х), цг(х), ..., х (х), т, < Я, и пусть Е множество точек, координаты которых удовлетворяют цдг(х) = О, ..., 1 (х) = О. (4) Уравнения (4) называют уравнениями связи или ограничениями. Точку хо Е Е называют точкой условного строгого максимума функ- ции 1(х) относительно уравнений связи (4), если существует такая окрестность точки хо, для всех точек х ф хе которой, удовлетво- ряющих уравнениям связи, верно неравенство г'(х) < 1'(хо). Если при тех же условиях выполняется неравенство Г(х) > 1(хо), то точ- ку х" называют точкой условного строгого минимума функции 1(х) при ограниченинх (4).
Например, функции и(;х;у) = ху относительно уравнения связи це(х, у) = у — х = 0 в точке (О; 0) игиеет условный строгий минимум, так как ел(0; 0) = О, а в точках (е; г), г у: О, принадлежащих уравнению связи у — х = О, значения функции положительны: и(в;г) = ег > О. Аналогично вводится понятие нестрогого условного экстремума. Точки условного максимугиа и минимукга называют точкалт ус- ловного экстремулга.
Значения функции в этих точках ее услов- ными экстремумами. Условный экстремум иногда называют от- носительным экстрвлулгом. Прямой метод нахождения точек условного экстре- мума (метод исключения). Если уравнения связи атее(хг,хг.....:хн) = О, 1 = 1,2, ...,т, (5) 114 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных то исслеДование фУньции и = 7(хч, .хл1..., хн) на Условный экстРемУм при ограниченилх (5) сводится к исследованию на обычный (безусловный) экстремум функции и — т переменных х 01,...,х„: и = 1(91, ...,'9„,;х,;; ...:х„1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
