1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 23
Текст из файла (страница 23)
59. Для системы материальных точек (хч, уч), ..., (хо; уе) с масса- ми, соответственно равными ты ...,т„, найти точку (х; у), относи- тельно которой момент инерции системы будет наименьшим. 60. Решить задачу 59 при дополнительном условии: точка (х; у) а з должна лежать на окружности х- + у- = 1. 61. Для системы материальных точек (хм 1?ч), ..., (х„; у„) с масса- ми, соответственно равными ты ..., гпчо найти прямую хсоао+ усйпа — р = О, относительно которой момент инерции системы будет наименьшим. 62.
Если в электрической цепи, имеющей сопротивление Л, те- чет ток 1, то количество тепла Я, выделяющееся в едивицу време- ни, опРеделЯетсЯ законом ДжоУлн Ленца: Я = Яо?зл?, Яо - соплю Как следует разветвить ток 7 на токи 1ы ..., Т„при помощи и прово- дов, сопротивленин которых Вы ..., Ле, чтобы выделение тепла было наименьшим? Найти наименьшее значение Я. ОТВЕТЫ 1. 1) Минимум и(7; — 2) = — 39; 2) максимум и(1;0) = 4; 3) экстремумов нет; 4) нестрогий минимум и = 0 при д = 2х+ 1. 2. 1) Минимум и(0; — 2/3) = — 4/3; 2) минимум и(1; 2) = — 25, максимум чл( — 1; — 2) = 31; 3) минимум и(0; 0) = О, максимум и( — 5/3; 0) = 125/27,: 4) минимум и(1/3;2) = — 47/9, максимум и( — 1/3;0) = — 7/9; 5) если а > О, то максимум и( — а: — а) = а; если а < О, то минимун1 и( — а; — а) = а; если а = О, то экстремумов нет. 3.
1) Максимум и(1;3) = 9; 2) минимумы и(~1;0) = — 1; 3) минимумы и(ъ/2; — ч/2) = и( — Г2; ъ?2) = — 8; 4) максимум и(0; 0) = О, четыре минимума и(~1/2;*1) = — 9/8; 5) максимум и(3;6) = 324, 6) максимум и(2;3) = 108, нестрогий минимум и(0;у) = О, у Е Е (О; 6), нестрогий максимум и(0, :у) = О, у Е ( — оо; 0) ч1 (6:+ос). 4. 1) Максимум и( — 1; — 1) = — 3; 2) минимум и(4;2) = 6; 3) максимум чл( — 3; — 3) = — 81; 4) экстремум и( тз/аз/Ь; фЬз/о) = 3 ч/оЬЬ, если а ф О, Ь ф 0; минимум, если Ь/а > О, максимум, если Ь/а < О.
5. 1) Минимум и(2;4) = — 8; 2) экстремумов нет; 45. Экеньрезьузььь функций 3) минимум и(0; — 2) = 1: 4) экстремумов нет; 5) два минимума и(~1; ~2) = — 4, два максимума и(~1;~2) = = 4; нестрогий экстремум и = 0 в точках эллипса хз,т3+ у-',г12 = 1; минимум при ху > О, максимум при хтуг < 0: оо .ч. мо ( Г;ьГ.Ь = 'Рть'+Ё', - . о; ь ,Ь,Г.;ьГно = — ие Гь' о. ь .„, ° о. 6. 1) Минимум и( — 2;0) = — 2тье; 2) максимум и( — 4; — 2) = 8гез; 3) минимум и(0;0) = 0; 4) экстремумов нет: 5) минимум и(0; 0) = — 1; 6) минимум п(1; 3) = — е гз, максиму м и( — 1г26; — Згг26) 26с — тг 52.
7) минимум и(0; 0) = 0; если а > Ь, то два максимума и(~1: 0) = = агге; если а < Ь, то два максимума и(0; ~1) = Ьгге; если а = Ь, то нестРогий максимУм и = агге = Ь,те в точках окРУжности кз + дз = 1. 7. 1) Минимум п(1;2) = 7 — 101п2; 2) экстремумов нет; 3) два минимума ть(~4: ~4) = 32(1 — 41п2): 4) два минимума ть(х1тьть2е: ~1Г~/2е) = — 1,Г(2е), два максимума и(+1ггъ'2е; '+1ггтг2е) = 1гг(2е).
8. 1) Максимум и(тггг3;тгггб) = 3/Згг2: /к кд ЗтГЗ г 2к 2к1 ЗььгЗ 2) максимум и( —; — ( = —, минимум и( —; — ) = — —; /7к 7к 7 3) максимумы и( — +(1+п)к; — +(Ь вЂ” п)к) = — +2Ьг+ (,12 '12 б ь' 5к +2+ ьгьЗ, минимумы и~ — + (Ь+ п)к; — — + (п — Ь)к) = — — + 'ь 12 12 ) б + 2пк — 2 — хГЗ, Йь ть Е х; 4) максимумы и(2тьЬ; 0) = 2, Ь 6 х. 9. Стационарные точки ф1;0), (О;0), минимум то(~1;0) = — 1.
Нельзя, так как ггп в стационарных точках не является ни положи- тельно определенной, ни отрицательно определенной, ни неопределен- ной квадратичной формой. 11. Да, см., например, 8, 4). 12. Нет, см., например, 6, 5). 13. 1) Минимум и( — 2г3; — 1г3; — 1) = — 1гг3, 2) максимум и( — 3; 2; — 1) = 22; 3) экстремумов нет, 4) минимум и(6; — 18;2) = — 112, 5) максимум и(4:4;2) = 128; 6) максимум и(7; 7; 7) = 7т, нестрогий максимум или минимум и = 0 в точках плоскости д = О, не лежащих ца прямых щ = О, з = О, х+ Зз = 49. 14.
1) Минимум и(1; 1;1) = 5, максимум и( — 1;1; — 1) = — 3; 2) минимум п(8;4; 2) = 60; 3) минимум ть(1г2,1;1) = 4, максимум и( — 172; — 1; — 1) = — 4; 4) нестрогий минимум и = 3 в точках прямой х = у = з, кроме точки (О; 0; 0). 15. 1) Максимум и(ктг2; тгг2;кгг2) = 4; 1ла Гл. П дифференциальное исчисление функций нескольких переменных с1 71 5 г 1 7 1 2) максимум и~ —;0; — ) = —, минимум и( — —;0; — — ) = '~10' ' Ю) е' ' ' ' '(, 10' ' 10) , Ге 3) максимум и(4; 6;10) = 13 1п2+ 3!п3+ 51п5. 16.
«Максимум и(с;с; ...; с) = с'~с, с = 2/(пэ+ и+ 2); 2) минимум и(,о.,о,о) („, «(б/а)1~(*о~0 хо а~-УЛ'~-Ох хбьдплО 6=1 2 и 17. «Максимум и(2;3) = 5; 2) минимум и(1;0) = — 7; 3) максимум и(3; — « = 13/3; 4) нестрогий максимум и = 1 в точках окружности хе + дэ = 3; 5) нестрогий минимум и = — 4 в точках окружности х~ + уа = 25.
18. «Минимум и1( — 1; « = — 5, максимум их( — 1; « = 1, 2) минимум и1(0, — 2) = 1, максимум их(0;16/7) = — 8/7; 3) минимум и1( — 1; 2) = 1, максимум иа( — 1;2) = — 2; 4) минимум и1(0;О) = 2у2, максимум аа(0;О) = ч/2, минимум иэ(0;0) = — ч/2, максимум ил(0;0) = — 2ч/2. 19. «Максимум и(1/2;1/2) = 1/4; 2) минимум и(18/13; 12/13) = 36/13; 3) максимум и(2; « = 3; 4) минимум и(1: 0) = О, максимум и(1/3;1/3) = 1/27; 5) минимумы и(5к/8+ кй;Зк/8+ кб) = 1 — 1/ч/2, максимумы и(к/8 + и б; — и /8+ кб) = 1+ 1/ъ 2, б Е Е.
20. «и(а/2; б/2) = аб/4, минимум, если аб < О, максимум, если аб > 0; ( аЬ аЬ 1 аЬ 2) минимум и(,,;, „) = Ье — ае ' мум, если а- < бх, при а = б, экстремумов нет; 4) и(а/3; 26/3) = (4/27)абэ, минимум, если а < О, максимум, если а > О, и(а; 0) = О, минимум, если а > О, максимум, если а < О. 21.
«Минимум а(3;4) = — 20, максимум а( — 3:, — 4) = 30; 2) минимум и( — 4; « = 9, максимум и(4; — « = — 7; 3) два минимума и(~1/т/2; ~1/~ 2) = 1/2 и два максимума и(т.1/ч/2; ~1/т/2) = 3/2; 4) два минимума и(~3, :+2) = — 50 и два максимума иф4: ~3/2) = = 425/4; 5) минимум и( — г/аА; — г/6А) = — гА, максимум и(г/аА;г/ЬА) = = г4, где А = т/ах + ба/~аб~. 22.
«Минимум а(0;0) = 2; 2) минимум и(1;0) = 1. Метод Лагранжа неприменим в случаях «, а) и 2), так как ранг матрицы (6) в точках минимума не равен единице. 23. «Минимум и( — 4; — 4) = 1/2, максимум и(4;4) = 3/2: 2) максимум и( — 1/2; — 1/2) = — 21п2. Х 5. Эксплреллулгил функций 24. Нет, см., например, .22г 2).
25. 1) Минимум и(6;4;3) = 156; 2) максимум и(2;4;6) = 6912; 3) максимум и(2; 2; 2) = 512; 4) максимум и(т/6; к/6; к/6) = 1/8; 5) минимум и( — 1; 2; — 2) = — 9, максимум и(1; — 2; 2) = 9; 6) минимум и( — 2; 2; — 2) = — 8, максимум и(2; — 2; 2) = 8; 7) минимумы и(1; 1; — 1) = и(1, — 1, 1) = и( — 1; 1; 1) = =и( — 1; — 1; — 1) = — 1, максимумы и(1; 1; Ц = и(1; — 1; — 1) = и( — 1; — 1; 1) = 8) минимум и(б;6;3) = 108; и( 9) минимумы и(0; 0; ~с) = сл, максимумы и(~а; 0; 0) = ал: 10) минимУм глав;л1л/Ь;сй/с) = г(л, д = л/и+ л/Ь+ л/ст 26. 1) Максимум и(11/4; — 5/2; — 11/4) = 605/32; 2) минимумы и(2;2;1) = и(2;1;2) = и(1;2;2) = 4, максимумы и(4/3; 4/3; 7/3) = и(4/3; 7/3, :4/3) = и(7/3; 4/3; 4/3) = 112/27; 3) максимум и(1;1:,1) = 2, минимум и( — 1;1;1) = 0; 4) два минимума и(0;~1/л/2,:~1/л/2) = 1 и два максимума гл(~2/л/3; ~1/л/3; ~1/л/3) = 2; 5) минимулл и( — 2; 1;4) = 11, максимум и(2; — 1; — 4) = 59; 6) два минимума и(~13/Я82; ~2/уТ822; 73/л/182) = 17/56, два максиму ма и(0; ~3/л/ГЗ; =г2/л/13) = 1.
27. 1) Минимум и( —; ...; — ) = А, где А = (~ — ) г=л л'А АЛ л'с 1Л 2) минимум и( —;...; — ) = А, где А = (~ —,); и, ин и л'а а'г а 3) минимум и( —; ...; — ) =— и' 'и) и" п л' 1 Гаг 1 Ган 'г 4) минимум и( — л — ... — л — ) = А, где А = ~~ „ла Ьд (,.4'л/ Ь '"' 4'л/ Ь ) — г, г=л ° А и 5) максимум и(а — ...а — ') =( — ) лла' где А=~ел. г,=л г=л аг ан 'г Гаг ин Л 6) минимул| и( — —; ..., — — ) = —.4, максимум и( —; ...; — ) = А""г А) ' '' .
(А'"' А) = А, где А = 1 ~ а,". 28.1) М=14, т= — 6; 2) М=13, т= — 5; 3) М=21, т= — 3; 4) ЛХ = 13, т = — 1; 5) М = 9 + 4л/2, т, = — 7; 6) ЛХ = 4, т = - 1; 7) М = 1г т = О. 8) М = фе, т = -2е. 29.1) ЛХ=З, т=1, 2) ЛХ=10, т=2; 3) М=4, т=1; 4) ЛХ = 6, т = — 1; 5) М = 8, гп = — 216; 6) ЛХ = Зл/3/2, т = О. 30.1)а) ЛХ=4, гп=2гб) М=12, т= — 6: 2) М=225, т=25; 3) М = 4, т = — 1/2; 4) т = 2л/3/9, т = — 2л/3/9; Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 128 5) М=81, т= — 81; 6) ЛХ=4еь, т= — 1. 31.1) ЛХ=ЗЗ, т=О; 2) ЛХ=7, т= — 6; 3) М = 1 + тГ2, т = -1))2) 4) ЛХ = 300, т = О.
32. ЛХ =,/и, т = О. 33.1) М= /5 — 1, т= — ч)5 — 1; 2) ЛХ = 3))7(4 + ч)2); т = З))7(4 — ч72); 3) ЛХ = 7, пь = 1; 4) ЛХ = 1, т = — 1)2. 34. 1) Не су)цествуют; 2) М = ъ~2, т = — 1; 3) М = 2, т = 0; 4) ЛХ = е ', т = О. 35. Верно только при к = 1, см., например, 34, 1). 37. 1) 19у278; 2) 3 Л,)5) 3) (ОьГ5- 15)71750; 4) 8~,7130. 38.
18))5;16)5). 39. 3173 об. 40. ч"2, 2/т7о. 41. ~а — Ь|. 42. 13; — 1,1). 43. ~/Г1. 44. 256))13. 45. 1) 1е)'6)~)~; 2) 1а))12) . 1) 4чЗдз. 2) 8 ХХгз 3) 8уЗабс; 4) а)1)е 47 Я 9 ' 27 ' 9 ' 2с 3 113н Зч)27 )) х 3 У Зх ' ' 96 ' 52. Йьл ч . 53. ' )12)ь) 54.Основание квадрат состороной ь)217-Ь2)Х, высота чГ21')2+ ее.
1) — Ял ье'ьс; 2) 56. 1) н ъ)аз: 2) п( 1))оь 1 е=) е=! ху = — х,у,. п 58. Числа т, и) ы тй, ..., тн, М должны образовывать геометри- ; пч-1 ческую прогрессию: ( ) ЛХе наибольшее зна- 1/)и~ ц ) ЛХ)1)н-ц ) чение скорости. П н и 1 ч-ч 1 ч 59. х = — т;х„у = — т,уо где М = ~~ т,. ЛХ )=1 ю=ь )=1 п и 1х 1ч 60. х = — т,,х„у = — т,,у„где 1 2)х у — ау) 61. о = — а|ю18, р = хсоаа+ уе1по, где х = 2 хх — х х — уу+у у' бб. Геол~етричеекие приложения 129 1 тгрь ху = о -Е о 1 — тих,уь и г=! - = (~-.',) ' 62 1, = — 1„1 ' = (,19А1г где А1 В; ' 9 6.
Геометрические приложения СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ х — хо У вЂ” Уе д — де 1 (хд; Уо) 1й(хо'Уд) — 1 [2) Если гладкая поверхность задана неявно уравнением г'(х;у;х) = О, то уравнения касательной плоскости и нормали в точке [хо,.уо,хо) поверхности записываются следующим образом: [хо; Уо' хо) [х хо)+ +хи(хо' Уо' го)(у — Уо) + с[[хо; Уо; го)[з — хо) = О, [3) х — хе У Уо д — де Ге (хо; УО; до) Гу (хо,' Уо; дд) Г~ Оео; Уе; де) [4) В случае, когда гладкая поверхность задана параметрически уравнениями х = х[п;о), У = У[ие и), х = д[иео), уравнения касательной плоскости и нормали в точке хо = х[ио,'оо), Уо = У[но',оо), хо = г(ио'.,оо) 9 Под дед.
Л.д.Кудрявцево, ч.э 1. Касательная плоскость и нормаль. Касательной плос- костью к поверхности в некоторой ее точке называют плоскость, со- держащую все касательные к кривым [см. [1, 9 17[), проведенным на поверхности через эту точку [точку касания). Прямую, проходя- щую через точку касания и перпендикулярную касательной плоскос- ти, называют нормальной прялеой (или нормалью) к поверхности в этой точке. Если гладкан поверхность [см., например, [3, А650.4[, или [4, Ло 7.1О,М 7.20[) задана уравнением г = 1" [х; 11), то уравнения касательной плоскости и нормали в точке [хо,.уо;го) поверхности имеют вид г — зо = 1,'[хо', Уо)[х — хо) + Л',(хо, Уо)[у — Уо), [1) 130 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
