1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В частности, если Х' измеримое множество в Й", то всякий цилиндр Х = Х' х [а; Ь) с основанием Х' измерим в Й" и дгг[Х) = [Ь вЂ” а) ра — |[Х ). Если Х' ограниченное л|ножество в Й, а мера множества Л" в Й" "' равна нулю, то и 11„(Х' х Хн) = О. В частности, если мера основания цилиндра равна нулю, то и мера цилиндра в Й" равна нулю.
График любой непрерывной на компакте *) функции измерим, и его мера равна нулю. Всякая спримлнемая кривая в Й" измерима, и ее мера равна нулю. Разбиения измеримого множества. Пусть Х измеримое множество в Й'. Конечную совокупность т[Л) = 1Х, 7 = 1, ..., 1|г) непустых измеримых множеств называют разбиением Х, если: 1) рг[Хьг|Х|)=О, Иф1, 1с,1=1,...,дг; 2) [) Х =Х. |=-1 Для всякого разбиения т[Л ) верно равенство гз 71(Х,) = 71[Х).
1=1 Число [т[Х) [ = шах гйа|п Л ч *) Компакт ограниченное замкнутое множество. |О* 148 Гл. 2. Кратные, криоолинейные и поаерхноетные интегралы где л11ашХ1 .-- диаметр множества Хт 1 = 1, ..., 11л, называют лгелкостью разбиения г(Х). Пусть т(Х) и т'(Х) -- разбиения измеримого множества Х и длн каждого множества Х' Е г'(Х), 1 = 1, ..., Дг', существует множество Хь, Е т(Х), 1 < к < га, такое, что Хл С Хь,; тогда разбиение г'(Х) называют описанньлм о разбиение т(Х) и пишут т'(Х) М м т(Х) и т(Х) и т'(Х). Если г(Х) < т'(Х) и т'(Х) -4 тн(Х), то т(Х) М тн(Х).
Длн любых двух разбиений т'(Х) и тн(Х) измеримого множества Х существует такое разбиение т(Х) этого множества, что т(Х) м м т'(Х) и т(Х) м тн(Х). Для всякого измеримого множества существуют разбиения сколь угодно малой мелкости. Длн любого открытого измеримого множества существуют разбиения сколь угодно малой мелкости, все элементы которых имеют положительную меру. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Доказать, что куб 1;1 ранга чае в Я" измерим по Жор- дану и его мера Жордана совпадает с введенной в (1) мерой, т. е. равна 10 а Если й < йо, то никакой куб ранга к не лежит в ф поэтому зь(Л1) = йЛ, Лл(зь(ЛЛ)) = О.
Если Е = йе то зь,(Л)) = 42, Лл(зьаЯ)) = = 10 "'". Если Й > Йо, то опять-таки зь(1,1) = 41 и р(зь(лй)) = 10 Значит, — Лап Лле(Л.,1) = 1лш р(зл(41)) = 10 Л.— гал Данный куб 1„1 есть множество пн 7пл+ 1 41=~х: а (х < *, 4=1пп1~, 10"' 10Л' гДе та Е л, 1 = 1, ...,и, ПРи й < йо Лл(ел Я)) --. некотоРые положи- тельные числа.
Пусть й > 1о. Объединение Кь(Л)) всех кубов ран- га Й, имеющих с 4„Л непустое пересечение, есть множество т, 1 т,+1 1 Кь(л,)) = (х: — ' — — ( х, < ' + — 1. 10Л' 10Л ' 10ьа 10Л 1 Этот куб с ребром длины 1 2 10Ь 'а -~-2 — + — = 10л' 10ь 10' содержит (10л ла + 2)п кубов ранга Е Поэтому 1л(Кл(я)) (РЗЛ вЂ” Ьа + 2)п 10 — Лп 10 — Лап (1 + ) Лл*(® = 11ллл р(Бл.Ю)) = 10 ьа'. ' ре(0) = р*(О) = РЮ = 10-"".
а Э 7. Мера Жердана. Измеримые мнегсестеа 149 Пример 2. Доказать, что на отрезке есть открытое множество, неизмеримое по Жордану. Л Укажем такое множество на отрезке [О; 1], следуя идее Г. Кантора. Сначала отметим, что если а и Ь " концы отрезков ранга И, то середина отрезка [а;Ь] является концом отрезка ранга И + 1. Дейст- 5(т -~- зз) вительно, а = —, Ь = —, где лци е л, и — [а+ Ь) = 10" ' 10ь' ' ' 2 10ы ' , а каждое число такого вида есть конец отрезка ранга Й + 1. Опишем процесс индуктивного построения требуемого множества. Будем называть интервалом ранга 1с интервал, получаемый из отрезка ранга й исключением его концов.
Первый шаг. Интервал 1-го ранга, имеющий меньший конец в середине отрезка [О; 1], обозначим Лы Удалив Аз из [О; 1], получим два отрезка, совокупность которых обозначим Дз. Концы каждого из них являются концами отрезков 1-го ранга, следовательно, середины отрезков из Дз являются концами отрезков 2-го ранга. Второй шаг. В каждом отрезке из Дз возьмем интервал 2-го ранга, имеющий меньший конец в середине отрезка.
Таких интервалов будет два, их объединение обозначим А . Удалив Аз из имевшихсн двух отрезков, получим четыре отрезка, совокупность которых обозначим Дз. Длина каждого отрезка из Дз не больше 1/22. Их концы являются концами отрезков 2-го ранга, поэтому их середины концы отрезков 3-го ранга. Допустим, что на п-м шаге получены множество А„объединение 2" ' интервалов ранга п, и совокупность Д„ из 2н отрезков, образующаяся после удаления Ае из 2" ' отрезков, составляюших И„ы Длина каждого отрезка из ~3п не больше 1/2", их концы являются концами отрезков ранга и. Тогда [и+ 1)-й шаг состоит в следующем. Середина каждого отрезка из Д, является концом отрезка ранга и+ 1. В каждом отрезке пз Д„выберем интервал ранга и + 1, имеющий меньший конец в середине этого отрезка.
Объединение выбранных 2" интервалов обозначим А„эс, После удаления из отРезков Дн этих интеРвалов полУчим совокУпность 2"м' отРезков, которую обозначим Веьы Длина каждого из этих отрезков не больше 1/2еь', их концы являются концами отрезков ранга и+ 1. Тем самым индуктивный процесс задан полностью. В результате этого процесса получаем последовательность множеств Ле, и = 1, 2, ... Каждое из них открыто как объединение 2" интервалов ранга и. Множество А = [) А„открыто и неизмеримо по Жордапу.
в=1 Первое выполнено потому, что А есть объединение открытых множеств А„. Докажем второе, вычислив внешнюю и внутреншою меры А. »50 Гл. 2. Кратные, нриоолинейные и пооерхноетные интегралы Установим, что р*[А) = 1, доказав, что каждый отре;юк Яь с [О; Ц ранга й, 1е = 0,1,2, ..., .имеет с А непустое пересечение. Обозначим В» — — [О; Ц»» А», Ва = Во» '» Аа, и = 2,3,..., т, е. Ва - объединение непересекающихся отрезков совокупности /д„. Допустим, что»,)» Р1 А = Я, т. е.
1,)ь О А„= О для любого и,. При и = 1 из того, что Яь й А» = О, следует, что Я». с В». Из того, что С»» с В„для и > 1 и»„г» П Ааь» = О, следует, что Я» с В„ь» = В„) »»Аан ъ Методом индукции доказано, что Ц» с В„с В„о» = В„», А„ь» для любого и. Поскольку В„есть объединение непересекающихся отрезкон сонокупности Д„, отрезок»„»» содержится в одном из них, и, значит, его длина не преносходит 1»2", т. е, 1»10» < 1»2" для любого и,. Зто неверно, поэтому неверно и допущение Яь Р1 А = О Объединение Яь всех отрезков (,)» С [О; Ц фиксированного ранга й совпадает с [О; Ц, поэтому р(Я») = 1 при любом й, а значит, и 1»" [А) = 1.
Найдем внутреннюю меру А. Интервал ранга и не содержит ни одного отрезка ранга 1г, если й < и. Если же й > п, то интервал ранга п содержит 10» "' — 2 отрезков ранга 1г. Множество Аа состоит из 2о» непересекающихся интервалов ранга и, поэтому оно не содержит отрезков ранга Й при и < и, а если н > и, то А содержит 2" » (10» " — 2) отрезков ранга й. В объединении А = [) А„только и=-» множества А»,...,А»» содержат отрезки ранга 18 остальные нх не содержат. Поэтому » вЂ” » » †» » — 1 1»[е») ~~, 2о — » [10» — и 2) 10 — » ~~, ~ 2а л,=» о=» 1/ 1» 2»» 1 13 1 1 = — ~1 — ) — — [2 — 1) = — — —.— + —, 8 » 5" ' ) 10" 8 8 5» 10" ' откуда»»о[А) = 1пп К[а») = 1»8.
Следовательно, »»о[А) < р" [А) и А »-л .о неизмеримо. Используя описанное здесь множество А, можно указать в й", п > 2, открытыо множества и даже области, нсизмеримыо по Жордану. а ЗАДАЧИ 1. Доказать, что в Ла куб ранга 1г содержит (10' » — 2)а кубан ранга 1 < Й, не пересекающихся с его границей. 2.
Доказать, что для куба (;» ранга и в й" имеется: 1) 3' — 1 кубов ранга й, имеющих с»,) непустое пересечение, но не совпадающих с»,): 2) (10» " + 2)" кубов ранга 1 > й, имеющих с Я непустос пересечение. 47. Мера Жардаиа. Измеримые мнажестеа 151 3. Пусть Х с й". Доказать, что: 1) если для некоторого Иа Яь, 1Х) есть объединение счетной совокупности кубов ранга Иа, то и длн любого й = О, 1, ...
Яь(Х) является объединением счетной совокупности кубов ранга й 1т. е. если в последовательности д(Яа) один из членов есть +ос, то и все ее члены есть +со); 2) последовательность ее1Х) не обладает свойством, указанным в 1) длн последовательности Яь(Х). 4. Доказать, что открытый куб ранга 1 в й" измерим по Жордану и его мера равна мере замкнутого куба ранга И, т. е. 10 "".
5. Доказать, пользуясь определением меры Жордана, измеримость и найти меру; 1) отрезка [а;5] в йл; 2) интервала (а:5) в йл; а 3) замкнутого прямоугольника в й, стороны которого параллельны координатным осям и иьлеют длины а и Ь; 4) открытого прямоугольника в й с такими жс сторонами, что и в 3); 5) замкнутого параллелепипеда в й', и > 3, ребра которого параллельны координатным осям и имеют длины ал, аа, ..., аа, 6) открытого параллелепипеда в й"', и > 3, с такими же ребрами, что и в 5).
6. Пользуясь определением меры Жордана, доказать измеримость множеств: 1) ~(хл,хз); хл > О, хз > О, хл + ха < 1); 2) ~(хл,ха): — 1 < хл < 1, 0 < ха < ь71 — х' ); 3) 1Лхл,хз): О ( хл ( 1, О ( хз ( е" ); 4) 1хл,хз); 1 < хл < е, О < ха <!пхл); 5) ~(хл, 'ха): О ( хл ( л, О ( хг ( зла хл).
7. Доказать, что внутренння и внешняя меры Жордана ограниченного множества конечны. 8. 1) Доказать, что множество с конечной внешней мерой Жордана ограниченно; 2) указать неограниченное множество с конечной внутренней мерой. 9. Доказать, что измеримое по Жордану множество ограниченно. 10. Доказать, что: 1) внутренняя мера множества., имеющего хотя бы одну внутреннюю точку, либо положительное число, либо +ос; 2) множество с положительной внутренней мерой имеет внутренние точки; 3) мера изхлеримого по Жордану хлножсства, не имолощего внут- Р 2 да.
2. Кратные, нриоолинейньде и пооерхноетные интегралы ренних точек, равна нулдо. 11. Доказать, что непустос пересечение замкнутого и-мерного куба с открытым множеством в Я" имеет положительную внутреннюю меру. 12. Пусть Х замкнутое множество в Я", Йь(Х) его покрытие кубами ранга Й.
Доказать, что каждая точка Х является внутренней точкой множества Йь(Х). 13. Пусть Хд с Хз с Я". Доказать, что дде(Хд) < рде(Хз) и д" (Х,) < р*(Х,). 14. Пусть Х ограниченное множество в Я", Лд с Л. Доказать, что: 1) Бд.(Х дд Лд) = Яь(Х) дед(Хд); 2) оь(Х дд Хд) = оо(Х) д, Йь(Хд). 15. Пусть Х --- ограниченное множество в Я", Хд с Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
