1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 26
Текст из файла (страница 26)
9. х — бу+ 9е = 16, 5х + Зу + 9е+ 16 = О. 10. х + 2у — е + 5 = О. 1 1. 1) (О; 3; 3), (О; 3; -7), (5; 3; -2), ( -5; 3; -2), (О; -2; -2), (О; 8; -2); 2) (1; 1; 0), (1; -1; 0), (О; 0; 0), (2; 0; 0); 3) (О;2Л;-2Л), (О;-2Л;2Л), (2; — 4;2), (-2;4;.-2), (4;-2;О), ( — 4;2;0). 12. 1) 2х — 2у + 4т = хч/222; 2) х — у + 2 = ~ч/51 3) х + 2У вЂ” 2 = О, х + 2У = О. 13. 1) 4х — 2д — 3» = 3: 2) Зх+ 4У = 24, Зх — 28у = 120. 14. 1) х + у = 1 ~ У'21 2) 2х + 2у — в = 4. 15. 4х — 5у — 2г + 2 = О.
да. + у Н * = чав л а' й 17. 9ав/2. 20. ~~ (хо + до)/(хо + уо + 1). 22. х — 2 = (у — 10/3)/3 = (е + 4)/4. 23. ( — 1;2 х ч/5; 1). 24. (20/7;15/7;2), ( — 20/7:, — 15/7; — 2). 26. атосов(2/3), атосов( — 2/3), аносов( — 1/3). Ы2 Гл. и Дифференяиалъное исчисление фунняий неснолъних оеременнъъх 10: 0' е+ ~/~в+ уо/У 1~'хо+ Ро)) 2иее 28. 1) —; 2) агссоз ъ ъ. зо -- аппликата точки пересечения; Ь~/а-'+ Ье 3) н/2. 29.;г/2.
зъ. Е ЧЕЗ ъччсъч ~Ел — ~~~р ъъъ ~е, 2) / с —:-ъ! ъ-';О~ = ч Тъ-';; ъ) ./ ъиъь Н = чъ. 33. 1) (О;0) узловая точка с касательными х = 0 и у = О, 2) (О; 0) точка возврата первого рода с касательной у = 0,: 3) (О;0) точка возврата первого рода с касательной х = (); 4) (1;0) узловая точка с касательными у = Цх — 1); 5) ( — 1; 0) изолированная точка; б) (О; 0) узловая точка с касательными д = О, х = 0; 7) (О;0) точка самоприкосновепия с касательной:г.
= 0; 8) (О;0) — . изолированная точка; 9) (О; — 1) узловая точка с касательными у = ~х/т73 — 1; 10) (~2;0) узловые точки с касательными у = х2,,~2/5(х — 2), у = ~2, 7215 (х + 2); 11) (О;0) точка возврата второго рода с касательной у = 0: 12) (О;0) точка самоприкосновения с касательной х = 0; 13) (О;2) -- изолированная точка; 14) (О:,0) точка самоприкосновения с касательной х = О. 34.
1) (О; 0) -- изолированная точка при а < О, узловая с касательными р = х „~ах при а > О, точка возврата первого рода с касательной р = 0 при а = 0; 2) (О; 0) узловая точка с касательными у = хх: 3) (а;.0) узловая точка с касательными у = х(х — а); 4) (О; 0) -- изолированная точка при Ь < а, узловая точка с касательными 9 = хох/~(Ь~ — аз при Ь > а, точка возврата первого рода с касательной х = 0 при 6 = а; 5) если а < О, то при Ь = (2а/3);/ — а/3 изолированная особая точка ( — ~( — а73; 0), при 6 = ( — 2а/3) ь/ — а/3 узловая точка ( ~(" — а,13; 0) с касательными у = х;à — а/3(ьуЗх — ьà — а), если а = Ь = О, то (О; 0) точка возврата первого рода с касательной р = О, при остальных значениях а и Ь особых точек нет; б) если а < Ь < с, то особых точек нет, если а = Ь < с, то (а; 0) —..
изолированнап точка, если а < Ь = с, то (Ь;0) — узловая точка с касательными д = х~Л вЂ” а(х — 6), если а = Ь = с, то (а;0) —.— точка возврата первого рода с касательной у = О. 35. 1) (~2;0) точка возврата первого рода с касательной у = 0; (О;х2) точки возврата первого рода с касательной х = 0; 2) (О; 0) узловая точка с касательными у = хх; рб. Геол~егпричеение приложения 14З 3) (нл;0), 14 Е л точки возврата первого рода с касательны- ми х=1сл; 4) (О;0) узловая точка с касательными д = хх; 5) (О;0) точка возврата с касательной у = 0; 6) (О;0) узловая точка; 7) (О;0) -. точка прекращения; 8) (е;е) узловая точка с касательными д = х, х ч-д = 2е. 36.
1) п = 2, точка возврата второго рода с касательной у = 0: 2) и = 2, узловая точка с касательными у = х4х/5; 3) п = 2, узловая точка с касательными у = хт/35х; 4) и = 3, касательные д = О, д = х2х/ъ'3; 5) п = 3, касательные у = О, д = хъ~2х; 6) п = 3, касательные д = О, х = 0; 7) п = 3, касательные у = О, у = хх; 8) п = 4, касательные д = О, х = О.
ЗТ. п = 3, кривая особых точек не имеет. 38. 1) 4у = хг, :2) дг = 4х; 3) у = 1+ 1п х; 4) д = хагсшпх+ иг1 — г-'; 5) параметрические уравнения огибающей х = — 7" 14), у = Гф— — 1.~'(1)' 6) хг+уз = рг; 7) 9уг = 4хз 8) 8уз = 27тг. 39. 2ху = хе. 40. хг)з+ дг/3 = аг/3 За а 42. Дуга зпициклоиды х = — соа1 — — соа31, 4 4 За, а я у = — а1пг — — а1п31, )1( ( —. 4 4 ' 2 43. Ц у = хВ; 2) д = хх, 3) ху = О, .хг + уг ф 0; 4) ., + —,, = 1. 44 та+ хдг+ уг 0 45.
~ — 3) г + уг = 9,. 46. Астроида хг7з + 14г1з = ~Хг1з без вершин. 47.1) у=О, у=4(х — 1); 2) у=хх/2; 3) у=4хг/3; 4) огибающей нет; 5) у = О, у = (х/2)4, ха+ уз ~ 0; 6) у = — х4/4. 48. у = оег/(2д) — дхгД2иог) 49. 1) д = — 4х; 2) у = 1/4хг; 3) парабола х = дг без вершины; 4) у = — х х 2; 5) у = ех, кроме точки (О; 0); 6) у = х2еи; 7) у = х ~ 1; 8) у = (18 гх) /4. 50. Ц х(у + х) = О, состоит из двух прямых семейства, огибающей нет; 2) у = О, является огибающей; 3) у = О, состоит из особых точек кривых семейства, является огибающей; 4) у = О, состоит из особых точек кривых семейства, огибающей нет; 5) у = х х 2, является огибающей; 144 Гл. и Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 6) (у — х)Яу — х)й — 4) = О, состоит из огибающей у = х х2 и прямой у = х, содержащей точки перегиба кривых семейств; 7) у = х2хе, является огибающей; 8) х(х+ 2) = О, состоит из огибающей х = — 2 и прямой х = О, содержащей узловые точки кривых семейства; 9) х(хз — 4) = О, состоит из огибающей х = ~~Г4 и прямой х = О, содержащей узловые точки кривых семейства; 10) у(б~у — 2 ) = О, состоит из огибающей у = 2~/5е и прямой у = = О, содержащей точки возврата второго рода.
51. 1) (х — 1)х+ (у — 2)з = хз: 2) хе+уз = Вз; 3) хе+ уз + ел — ху — ух — хх = ЗВз/2; 4) хе+уз+ с" — 2ху — 2дх — 2х = О, ха+у'+хе ф О. 52. 1) (ч ~ ч(хе + уз)з = Вз — хз; 2) (х ~ чссхх + уз)з = 2Вх. 53. ~хдх~ = У~(4я4У]. ГЛАВА 2 КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3 7.
Мера Жордана. Измеримые множества Для объединения 5 счетной совокупности кубов одного ранга полагают р(о) = +со. Меру пустого множества считают равной нулю, т. с. р(И) = О. Для произвольного множества Х С й" объединение всех кубов ранга к, й = О, 1, ..., лежащих н Х, будем обозначать зь(Х), а объединение всех кубов ранга й, их1оющих с Х непустос пересечение Яь1Х). Эти множества могут быть, в частности, и пустыми. Множество Яъ(Х) иногда называют покрытием Х кубами ранга 1г. Верны включения (3) зь(Х) С Х С Яь(к), зь (Х) С зь.ь11Х), Я.1Х) Э Яьы(Х), 1 = 0,1,...
(4) (5) 10 Под род. Л.д.Кудрявцево, т.з СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ Разбиекиец (иногда сетью) ранга й пространства Я" называют совокупность всех замкнутых кубов вида 1,) = 1к: гп;(10" ( ач ( 1т, + 1)/10ь, г = 1, ...,и), где т, любые целые числа, з, '= 1,...,п; сами зти кубы называют кубами ранга к, к = О, 1,2, ...
Кубы в Я1 являются отрезками, в Яз квадраталги. Если два куба рангов 1ч и к имеют общую точку, то либо один из зтих кубов (большего ранга) содержится в другом, либо пересечение кубов является гранью одного из них или общей гранью обоих 1при 1ч = кг), в частности вершиной, Число 10 '"" называют л~ерой куба ранга к 1дликоб в й', площадью в й, объемом в Я", и > 3) и обозначают рЯ), т. е. р1ф = 10 (1) Вместо р1ьг) используют также обозначение шва Ц.
Мера объединения 5 конечной совокупности Х кубов ьг, у = 1,...,Ж, одного ранга Й есть р1о) = Х .10 ь". 146 Гл. 2. Кратные, нриоолинейные и пооерхноетные интегралы Обозначим для краткости еь = оь(Х) и Яь = Яь(Х). Из (4), (5), (2) следуют неравенства р(еь) < р(еь 1), р(Яь) > р(Яь<ь,), й = 0,1, ... (б) Члены последовательностей р(еь) и р(5ь), й = 0,1, ..., либо неотрицательные числа, либо +ос. Если зти последовательности числовые, то в силу монотонности и неотрицательности они имеют пределы неотрицательные числа или -ьоо.
Если среди членов последовательности р(еь) или р(Яь) есть +со, то считают, что и ее предел есть +ос. Конечный или бесконечный предел последовательности р(еь(Х)) называют внутренней (или нижней) мерой Жордана множества Х и обозначают рл(Х) или р(Х), т, е. ре(Х) = И(Х) = !нп р(еь(Х)). (7) Конечный или бесконечный предел последовательности рфь(Х)) называют внешней (или верхней) мерой Жордана множества Х и обозначают р*(Х) или р(Х), т.
е. р*(Х) = р(Х) = !!п1 р(Нь(Х)). (8) Определение меры 1Кор дан а. Если внутренняя и внешняя моры 1Кордаца множества Х конечны и равны, т. е. ре(Л) = р" (Х) = р(Х), (9) то число р(Х) называют мерой Жордана множества Л, а само множество называют измеримым по Жордану. Для пустого множества зто определение совпадает с прежним, т. е.
р(ю) = О. Мору Жордана множества в !7~ называют длиной, в Ф площадью, в !7е, и > 3, объемом. Вместо термина "измеримое" в Й употреблнют также термин еноадрируемое", а в 17~ енуйируелте", Для указания размерности пространства меру Жордапа множества Х в !7о иногда обозначают р„(Х). Для краткости часто будем говорить "мера" и "измеримое множество", подразумевая, если нет дополнительного указания, 'мера Жорданае и еизмсримое по Жордану множество". Непосредственно из определения вытекают следующие простейшие свойства меры: мера всякого измеримого множества неотрицательна; всякое измеримое множество ограничено; осли р(Х)=0, аХ1 СХ, топ р(Л1)=0; если р(Х) = О, Х .
замыкание Х, то и р(Х) = 0; если Х1 и Хз измеримы и Хг С Хз, то р(Х1) < р(Хз) (монотонность меры). у 7. Мера Жордана. Измеримые множества 147 Справедлив следующий Критерий из мер и мости. Для того чтобы л|ножество Х бьто измерил|ым, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным и чтобы мера его границы была равна нулю, т. е. М[дХ) = О, где дХ граница Л. Верны следующие утверждения о мере Жордана. Объединение и пересечение конечной совокупности измеримых л|ножеств, а также разность двух измеримых множеств являются измеримыми множествами. Мера объединения конечной совокупности попарно непересекаюшихся измеримых множеств равна сумме мер этих множеств [аддитивнасть меры).
Пусть Л' С Й"', Хн С Й" '". Множество 1х = [х';хн) Е Йа: х' = [х|,,х ) я Л', хн = [х т|,...,х„) Е Ха) называют произведением множеств Х' и Хн и обозначают Л' х Х". Если множество Х' измеримо в Й, а множество Х" измеримо в Й" ', то множество Х' х Хн измеримо в Й" и 11о(Х' х Лн) = р„,[Х') . р, (Ха).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
