1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Определение интеграла Римана, его свойства. Пусть на изл!еримом по Жордану множестве Х с й" определена функция 1, т=т(Х) =(Лв е,=1,...,А!) "-разбиение Х, О, =(Е!!!, !=1,...,Аг)--- произвольный наоор точек ЕО! Е Л„ ! = 1,...,А!. Величину п а, = а,(1,:О,) = ~ '1(Е~О)р(Х,) (1) !=1 называют интегральной суммой Римана от 1 по Х. Определение. Число 1 называют интегралом Римана от 1 по Х с Й", если й > О Вб > О'4т(Л) ВО, (/т(Х)! < б ~ !1 — ох((;О,)! < в), (2) и записывают !пп 0,(1;0,) = 1.
! — !о Функцию 1 называют в этом случае интегрируемой по Риману на множестве Х (или по множеству Х) (далее, длн краткости, интегрируемой на Х (по Х)). Для указания размерности Я" иногда употребляют термин п-кратный интеграл Римана. Двукратный интеграл часто называют двойным., трехкратный - тройным. Интеграл Римана от 1 по Х обозначают /1(х)дх или ~~ ( !(х!,...,хо)йх!...дх„„ х Х а иногда и / 1(х) дХ.
В Яз и й~ часто используют обозначения бл. Краткий интеграл Римана и его свойства ша В терминах последовательностей определение интеграла, равносильное данному ранее, таково: число 7 называют интегралом Р мана от г' по Х с Е, если для любой последовательности разбиений т,„(Х), у которой 1нп ~т,„(х)~ = О, и для любой последовательности наборов точек О,, !нп о,„,(т';0 ) = Б (4) Критерий Коши интегрируемости функции г' по множеству Х: ~й > О Вб > О Чтз(Х) ч7тз(Х) ЧО„чО„ (~тг(Х)( < б, ~тг(Х)~ < б.=ь ~о„(7';0„) — о„((;0„)~ < г).
(5) Интеграл Римана определен лишь по множествам, измеримым по !Бердану, поэтому далее указание на это свойство множеств иногда не повторяется. Пусть Ха С Х, Х измеримое по !Бердану множество, т(Х) разбиение Х. Обозначим тз = то(Л) = (Л, Е т(Х): Х, Г! Хо = 0), (6) о„(т;О,) = ~ з(с~'~)р(Хз). (7) е Х. С»ь Теорема 1. Если функцил Г" ограничена на излерилзолг лноззсестве Х, Ло ~ Х и р(Ха) = О, то интеграл Р лана от т' по Х существует тогда и только тогда, когда существует !нп и „(т"; 0 ), (»~ — »о и если этот предел существует, то / Г"(х) с!х = 1нп о„(7": 0„). (6) ~», — о х Из теоремы следует, что если функции 7 определена и ограничена на измеримом множестве Х, то при нахождении предела ее интегральных сумм можно исключать из них слагаемые, соответствующие тем элементам разбиений, замыкания которых содержат точки фиксированного множества меры нуль.
Таким множеством являетсн, например, граница измеримого множества. Из теоремы следует также, что если две ограниченные функции, определенные на измеримом множестве Х, различны лишь на множестве меры нуль, то они обе либо неинтегрируемы по Х, либо интегрируемы и интегралы от них по Х равны. Теорема 2. Если т' интегрируема на Л', то существует такое подлнозкество Хо С Л., 1з(Хо) = О, что Г" огРаничена на Х ~ Хо. (Сьь также задачу оО.) Теорема 3.
Если функции интвгрируема на открьзтол мнозкестве, то она ограничена на нем. (См. также задачу 47.) 160 Гл. 2. Кратные, приеолинейные и поаерхностные интегралы Определение сумм и интегралов Дарбу. Пусть функция 1 определена и ограничена на измеримом множестве Х, т(Х) = = (Х„| = 1, ..., Лг) — его разбиение, |п,=ш11, М,=зпр1, |=1,...,Л.
Х, ' ' Х Соммы и п е, = е,(1") = ~ шй11(Х,)., Я, = Я,(1) = ~МО1(Х,) (9) г=1 |,=1 называют соответственно нижней и верхней суммалш Дарбу, а 1л = 1л(1) = 1л(1;Х) = зпр ег(Г), (10) г1Х1 1* = 1*(1) = 1*(1; Х) = ш1 Я„(1) соответственно нижнил| и верхним интегралал|и Дорбу от 1 по Х. Критерии интегрируемости ограниченных функций. Для того чтобы ограниченная на измеримом множестве Х функция 1 была интегрируема на нем, необходимо и достаточно выполнения одного из следующих условий.
1. 1пп (Я,(1) — ег(1)) = О. /гаях)/ — |О м 11. 1пп ~и|(1;Х|)р(Х,) = О, где го(1;Х;) = зпр ~Дх )— '~г1ХД вЂ” |О лчг" ЕХ, — 1(хо)~ колебание 1 ца элементе Л'„| = 1, ...,11', разбиения т(Х). 1П. 1„(1) = 1*(1) (критерий Дарбу). 1Ъ'. 'ге > О Вт(Х): Б,(1) — е,(Я) < ю При выполнении для ограниченной на измеримом множестве Х функции 1 хотя бы одного из этих условий для интеграла от 1 по Х справедливы формулы 1(х)ах = 1пп о.„„,(1;О, ) = зпр е, (1) = т — |со огегг (1) 1п1 Б, Ц) = 1пп ~. Ю, (12) |и — | о тетй где т„,(Х), т, Е В, какая-либо последовательность разбиений с условием 1пп ~тт(Х)~ = О, О, какая-либо последовательность наборов, соответствующих этим разбиениям.
Достаточное условие интегрируемости. Ограниченная на замкнутом изн|еримом множестве Х функция, у которой множество точек разрыва имеет меру нуль по Жордану, интегрируема на Л. (Более общее условие интегрируен|ости функции дает теорема Побега.) В частности, непрерывная на замкнутом измеримок| множестве функция иптегрируема на этом множестве. уй.
Кратный интеграл Римана и его свойства Свойства* ) кратного интеграла Римана. 1) Пусть Х ..- измеримое множество; тогда /1дх = р(Х). х 2) Пусть функция иптегрируема по множеству Х; тогда она интегрируема и по любому измеримому подмножеству Л. 3) Пусть Х, Хт, Хг измеримые множества, Х = Хт 0Х2, р(Х1 П Хг) = О; тогда длн интегрируемости функции 7" по Х необходимо, а при ограниченности 7" на Х и достаточно, чтобы 7' была иитегрируема по Хт и по Лг, при этом / 7(х) дх = / Я(х) дх+ / 7'(х) дх Х Хг (аддитивность интеграла по множествам).
4) Пусть функции 7" и д интегрируемы по Х; тогда для любых чисел о и з функция о7+Дд ицтогрируема по Х и / (о7(х) + Дд(х)) йх = о / Д(х) Пх + Д ~ д(х) дх Х (линейность интеграла). о) Пусть функции 7 и д интегрируемы по Х: тогда: а) произведение Рд интегрируемо по Х; б) если 1пГ ~д(х)~ > О, то частное 7"7'д интегрируемо по Х. Х 6) Пусть функции 7 и д интегрируемы по Х и 7" (х) < д(х), х е Х; тогда /йх)д < /д(х)дх. 7) Пусть функции 7 интегрируема по Х; тогда и функция ~~~ интегрируема по Х и /' 7'(.) * / ~7'(.)~ .. 8) Пусть функция 7' интегрируема иа Х, пеотрицательна на Х, Хт измеримое подмножество Х: тогда / 7 (х) г)х < / Дх) г1х.
х, х 9) Пусть функция 7" интегрируема на множестве Х, иыеюц1ем внутреннюю точку Хо, 7" неотрицательна на Л, непрерывна в точ- *) В учебниках и учебных пособинх рнд этих свойств доказывают длн ограниченных функций. В задаче б2 предаожено найти доказательство их без этого ограничении. 11 Под ред. Л.д.Кудрявцева, т.э 162 Гл. 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы ке хо и У(хо) > 0:, тогда / 3'1х) с1х > О. Х 10) Пусть функция ф интегрируема по Х, Хам Ь Е Ь1, последовательность таких измеримых множеств, что Хй С Л, Ь Е И, 111п 11(Хь) = р(Х); тогда х, Х (полная аддитивнасть интеграла по множествалг).
11) Пусть функции 1 и д интегрируемы по множеству Х положительной меры, 1пХ множество всех внутренних точек Х, д не меняет знака на шХ; тогда; а) существует такое число Л, что ш1 7 < Л < ьпр ) и 1пХ пХ / 1ФдЮ с1х = Л / д(х) "х' х х б) если к тому же Х - линейно связное" ) множество или замыкание линейно связного множества и ф непрерывна на шХ, то существует такая точка й Е шХ, что / 1ФдФ д = 1® /д1х) д х (теорема о среднем). Теорема П сбег а. Для того чтобы ограниченная на измерилголг множестое функция была интегрируема по Рилеану на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы множество всех ее точек разрыва имело лгеру нуль по Лебегу за). 2.
Связь между кратными н повторными интегралами. На плоскости множество Х вида Х = )(х; у): а < х < Ь, 'р)х) < у < ф(х)) 113) называют элементарным относительно Рис. 8д оси Оу (рис. 8.1). Здесь функции ~р и ф не- прерывны на )а; Ь) и 7з(х) < гр1х) на 1а; Ь). Аналогично определнют множоство, элементарное.
относительно вси Ох (рис. 8.2). *) Множество называют лпнейве связным, если любые еге две тезки межие саедииить непрерывной кривой, лежащей в атем миазаестве. **) Определение миажества меры нуль ее Дебегу см. в задаче 73 из 17. ул. кратный интеграл Римана и его свойства 162 Теорема 4. Если функция г" интегрируема на множестве Х вида (13), элементарном относительно оси Оу, то Ь ьда) П(х ) '"=1 1~(")" (14) х а Правая часть в (14) является повторным интегралом, т.
е. результатом последовательного вычисления сначала интеграла по у при фиксированном х, а затем интеграла по х от получившейся функции, Если функция Д(х; у) непрерывна на множестве Х, то каждый из этих интегралов существует. О более общем случае см. (3). Если мноя1ество Х элементарно относительно оси Ох (см. рис 8.2), то для интегрируемой по Х функции г"(х;у) верно равенство н вЬ) Цй(х;у)дхс1у = / ду / Дх;гу)сЬ. (15) х с ( ) Множество Х, элементарное относи- Рнс. 8.2 тельно каждой из осей Ох и Оу, называют элементарным.
Для него верно каждое из равенств (14) и (15), в частности, ь щг) й щи) (16) Иг) с 1 Это равенство используют для перемены порядка интегрирования в повторном интеграле. В пространстве множество Х вида Х = ((х: у) э): (х; у) Е Х', сг(х; у) < з <,0(х; у)) (17) называют элементарным относительно осн Ог. Здесь множество Х' — проекция Х на плоскость Оху измеримо, а о(х;у) < <,3(х;у) на Х'. Аналогично определяют множество, элементарное относительно оси Оу или Ох.
Множество, элементарное относительно каждой из координатных осей, называют элементарным. Теорема 5. Если функция г" интегрируема на множестве Х вида (17), элементарном относительно оси Оэ, то в(гж) х; у; г) дх дуда = //сгхау / 7(х; у:, г) с(г. (18 к' о1аж) Повторный интеграл в правой части (18) является результатом последовательного вычисления сначала интеграла по г при фиксированных х и у, а затем двойного интеграла по х, у. 11* 184 Гл. 2.
Кратные, криволинейньсе и поиврхностные интегралы 3. Замена переменных в кратном интеграле. Теорема 7. Пусть* ) Х С 17", 17 С П" измеримые области, ьт -- отобралсение ГС на Х такое, что; 1) из взаимно однозначно на ГС; 2) д непрерывно дифференцируемо на О. Если функция 1(х) интегрируема на Л, то функция 1(р(в) ~д(и) ~ интегрируема на и и ~й )д = ~У(р(и))~1(и)~д (21) *) Иижниа символы х и и указывают на разные обозначения точек х = = (хсь.лх„) и и = (ин ..ли„) из СС Если множество Х' на плоскости Оху элементарно, например, относительно оси Оу, т. е, имеет вид (13), то вычисление тройного интеграла от 1 по х, у, г сводится к вычислению трех однократных интегралов: Я~(х;у;х) дх,с1удг = з( дх / ду / 1"(х;у;г) дг.
(19) х Ж аСх:Ы При соответствующих предположениях тройной интеграл может быть вычислен и как повторный интеграл, в котором порядок интегрирования отличен от указанного в (18), (19). Возможен и другой способ сведения тройного интеграла к повторному. Пусть 1 - проекция множества Х на ось Ог, Х'(г) -— сечение Х плоскостью г = сопят б 1 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
